2024届河北省邢台市五岳联盟高三上学期第四次月考数学试题含答案

这是一份2024届河北省邢台市五岳联盟高三上学期第四次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为或，所以.
故选：C
2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数运算法则可求得，由共轭复数定义可得，作差即可求得结果.
【详解】由得：，，
.
故选：D.
3．已知为第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.
【详解】因为为第二象限角，
所以，，，
则，，，
而的取值不确定.
故选：C.
4．在中，D是边BC上一点，且，E是AD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用基底表示，再结合的关系，即可求得和.
【详解】根据题意，作图如下：
因为D是边BC上一点，且，所以；
又E是AD的中点，所以，则.
故选：A.
5．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选：C.
6．设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.
【详解】因为，
所以，
所以，
即．
又，，
所以，即
或，即（舍去）．
故选：
7．已知函数则“”是“有3个零点”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】令，得到时，，时，，构造，画出函数图象，得到有3个零点时，，再结合对恒成立，求出，得到答案.
【详解】当时，令，得，故，
当时，令，得，则，
令函数的图象，
画出和的图象，如图所示．

由图可知，当时，直线与的图象有3个交点．
因为对恒成立，所以对恒成立，所以．
故当有3个零点时，．
因为是的真子集，
所以“”是"有3个零点”的必要不充分条件．
故选：B
8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】A
【分析】就和分类讨论，后者可根据对称性只需考虑在对应的半圆弧上，前者，后者，而后者可建系处理.
【详解】连接.
若，则，
若不为零，则，这与题设矛盾，若为零，则与重合.
若，则，
设，故，且三点共线.
由对称可知只需考虑在对应的半圆弧上.
当在对应的半圆弧上（除外）时，总在的延长线上，
故此时.
当在对应的半圆弧上，总在之间，故此时
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，
当时，，而，
此时.
当时，则，
由可得，
故
. ，
当时，.
综上，
故选：A
【点睛】思路点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.
二、多选题
9．已知向量，下列结论正确的是（ ）
A．若与垂直，则为定值
B．若与互为相反向量，则m与n互为倒数
C．若与垂直，则为定值
D．若与互为相反向量，则m与n互为相反数
【答案】AD
【分析】根据向量垂直的坐标关系可判断AC，利用相反向量的概念结合条件可判断BD.
【详解】若与垂直，则，则，A正确，C错误；
若与互为相反向量，则，则，，B错误，D正确．
故选：AD.
10．下列函数中，恰有2个极值点的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用导数依次求解选项中函数的极值点各式个数，即可得到答案.
【详解】对选项A，由，得.
令，即，，或，.
即有无数个零点，且零点两侧函数值异号，
故有无数个极值点，故A不正确.
由，得.
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故恰有2个极值点，B正确.
由，得.
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故恰有2个极值点，C正确.
由，得.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故恰有1个极值点，D不正确.
故选：BC
11．已知函数．且，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于点对称
C．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】利用三角函数的性质及平移变换，结合同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】，其中．
因为，，
所以，，则，，，．
当时，，不单调，A不正确．
当时，，故的图象关于点对称，B正确．
，所以将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，C正确．
，则．
因为，所以．
由，得，
所以，
，D正确．
故选：BCD.
12．若函数的定义域为D，对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“A函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“A函数”
B．已知函数，的定义域相同，若是“A函数”，则也是“A函数”
C．已知，都是“A函数”，且定义域相同，则也是“A函数”
D．已知，若，是“A函数”，则
【答案】BD
【分析】题干给出了“A函数”的定义，按照定义，判断函数是否是“A函数”，其中一定注意在定义域中恒成立，选项中不正确的举出反例，正确的严格按照“A函数”的定义证明即可.
【详解】对于选项A，当时，，此时不存在，使得．A不正确；
对于选项B，由，的定义域相同，若是“A函数”，则对于任意，都存在唯一的，使得，则对于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函数”．B正确；
对于选项C，不妨取，，，令，则，
故不是“A函数”．C不正确；
对于选项D，因为，，是“A函数”，
所以在上恒成立．又，所以，且，
即对于任意，都存在唯一的，使得，
因为，所以，
即
由解得．D正确．
故选：BD
三、填空题
13．已知，均为单位向量，且，则 .
【答案】/
【分析】利用单位向量的概念、向量的数量积运算即可得解.
【详解】解：∵，均为单位向量，
∴，，
又∵，
∴，
∴，则.
故答案为：.
14．已知，，且，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】对进行化简运算，再根据基本不等式的性质即可求出最值.
【详解】由题意得，，，且，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立.
所以的最小值为4；
故答案为：4.
15．邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.
【答案】26.4
【分析】应用正弦定理得出BD,最后由正切计算即可.
【详解】在中，，，
则米.在中，，
则米.
故答案为：26.4.
16．已知，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】令，可将不等式化为，利用导数可求得单调性，进而得到，即，由此可得不等式解集.
【详解】不等式可化为：，
当时，，又，；
令，则，
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，，，
即当时，，，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式的求解问题，解题关键是能够将所求不等式转化为的两个函数值大小关系的比较问题，通过对单调性的求解，得到自变量之间的大小关系.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值2，最大值
【分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化简，进而由周期公式计算即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1），
所以的最小正周期.
（2）由，得，
故当，即时，取得最小值2；
当，即时，取得最大值.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的值；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1) 利用正弦定理通过解已知方程即可求出角A的值.
(2) 利用三角形的面积公式求出，结合余弦定理即可求出的周长.
【详解】（1）由题意，
在中，，，
则，
且，
∴，
解得：,
.
（2）由题意及（1）得，
在中， ，的面积为，
的面积，则.
由，得，
所以，故的周长为.
19．已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解.
（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，
所以,
因为，所以，
则.
（2）由（1）可知，等价于.
令，则，
原不等式等价于在上恒成立，
则，解得，
故m的取值范围为.
20．如图，在中，，点M在边BC上，且，.
(1)若，求CM的长；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，利用余弦定理进行计算即可；
（2）在中，利用正弦定理求出,在中,利用正弦定理求出，得到,再进行化简后，利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】（1）因为，，所以.
又，，
所以，
所以.
（2）在中，，则，
在中，，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为.
21．已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）在上有且仅有一个零点，等价于方程在上有且仅有一个实数根，构造函数，利用导数判断其单调性，结合零点存在定理求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
则．
又，所以曲线在处的切线方程为，
即．
（2）在上有且仅有一个零点，等价于方程在上有且仅有一个实数根，
令函数，，
则．
令函数，则在上恒成立，
则在上单调递减．
故当时，，
从而在上恒成立，则在上单调递减．
当时，，
取，则，，
所以存在，使得，
又因为在上单调递减，所以零点是唯一的，即在上有且仅有一个零点.
故a的取值范围为．
【点睛】关键点睛：解答第二问的关键在于函数的结构特点以及x的取值范围，可以采用参变分离，构造函数的方法，根据零点存在定理判断零点个数.
22．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由于在上单调递增，所以在上恒成立，通过构造函数转化为求最值问题；
（2）将的证明转化成 的证明，通过构造，，即可证明，从而原命题得证.
【详解】（1）因为，
所以.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立.
令函数，则.
当时，，
所以在单调递减，
所以，
所以a的取值范围为.
（2）要证，，
只需证，.
因为，
所以，.
要证，，
只需证，，
即证，，
即证，.
令函数，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
令函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
所以，
所以，从而原命题得证.
【点睛】思路点精：
（1）由函数单调性求参数取值范围，通常构造函数转化为求函数最值问题；
（2）要证明不等式成立，可通过转化后，利用构造函数法，结合导数求最值，由此来证得不等式成立.