2024届江西省南昌市外国语学校高三上学期10月月考（第二次保送考试）数学试题含答案

这是一份2024届江西省南昌市外国语学校高三上学期10月月考（第二次保送考试）数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，若且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根据真子集的定义即可得解.
【详解】，
因为且，
所以满足条件的集合的个数为.
故选：C.
2．已知，则复数的虚部为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义及复数虚部的定义即可得解.
【详解】由，得，
则，
所以复数的虚部为.
故选：B.
3．已知点是椭圆的两个焦点，若椭圆的离心率的取值范围是，则以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为（ ）
A．0B．2C．4D．不确定
【答案】C
【分析】利用离心率的定义结合圆与椭圆的对称性判定即可.
【详解】因为椭圆的离心率越大，椭圆越扁平，
当时，，此时以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为2个，即椭圆的上下顶点，
因为椭圆离心率，即椭圆变扁平，所以此时以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为4个.
故选：C
4．箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，已知其中一人摸到的是白球，则另外一人摸到的也是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
设事件为“其中一人摸到的是白球”，事件为“另一人摸到的是白球”
因为两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
可得，
所以所求概率为.
故选：A.
5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）
A．B．20C．D．
【答案】D
【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而求最大的一份.
【详解】设5份从小到大依次为，公差为且，则，
所以，
所以.
故选：D
6．已知角终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意确定，进而根据角的终边过的点求得，结合角的范围和诱导公式，即可求得答案.
【详解】由题意角终边上有一点，
因为，故，
故，
由于，故，
又，故，
故选：D
7．某人为购房于2019年12月初向银行贷款360万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因资金充足准备向银行申请提前还款，计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）
（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：1年按12个月计算）
A．183000元B．224500元C．274500元D．283000元
【答案】C
【分析】根据题意，得出所少还款的部分为按原计划还款时后60个月的利息，根据“等额本金还款法”，结合数列的知识计算后60个月的利息，从而得到结果.
【详解】根据题意，截止2024年12，两种还款方式所还利息相同，且两种还款方式最终所还本金相同，所以按现计划的所有还款数额比按约定所有还款数额少的部分为：
按原计划还款时，在2024年12月起到原计划结束时，所还的利息，共计60个月的利息，
因为每月还本金为元，
所以2024年12月还完后本金还剩余元，
所以2025年1月应还利息为，
2025年2月应还利息为，
2025年3月应还利息为，
最后一次应还利息为，
所以后60个月的利息合计为元，
所以该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所还款数额少元，
故选：C.
8．关于的方程至少有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求出极大值与极小值，再根据给定根的情况结合三次函数的图象性质列式求解即得.
【详解】令函数，依题意，函数至少有两个零点，
求导得，显然，否则恒有，在上递增，最多一个零点，
当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
而，由函数至少有两个零点，得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
二、多选题
9．如图，在长方体中，为的中点，是棱上一点（包含端点）（ ）
A．的最小值为
B．存在点，使得
C．存在点，使得
D．存在点，使得
【答案】ABD
【分析】把面和沿摊平，当三点共线时，最小，计算后判断A，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法判断空间的垂直、平行，计算角度，判断BCD．
【详解】把面和沿摊平，可见当三点共线时，最小且最小值为，A正确；
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，设，，
，，，即与重合时，，B正确；
，若，即，因此，，不合题意，C错；
取，则，，，易知，是等边三角形，，D正确，
故选：ABD．
10．已知事件满足则下列结论正确的是（ ）
A．A与互斥B．A与相互独立
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念，性质及条件概率公式一一判定即可.
【详解】由题意可知，
所以相互独立，
由相互独立事件的性质可知A与相互独立，且与B相互独立，即A错误，B正确；
所以，即C正确，D正确.
故选：BCD
11．已知定义在上的函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为周期函数，且周期
B．是的一条对称轴
C．为奇函数
D．
【答案】BCD
【分析】由递推式有，进而有，即可得、判断A、B；根据周期性有判断C；最后由周期性、对称性求判断D.
【详解】由题设，则，
所以，故是的一条对称轴，B对；
且，则为周期函数，且周期，A错；
所以且定义域为R，故为奇函数，C对；
，D对.
故选：BCD
12．已知抛物线的焦点为是上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【分析】利用抛物线的性质结合平面向量的坐标表示计算一一判定即可.
【详解】由题意可知，所以，
对于A项，，
故，即A正确；
对于B项，若，
又，解得，故，即B正确；
对于C、D项，当，直线位置不固定，故弦长不定，即C错误；
同样当，点位置不固定，故弦长不定，即D错误.
故选：AB
三、填空题
13．圆与圆有且只有一个公共点，写出一个满足条件的圆心的坐标 .
【答案】
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆的圆心分别为，半径分别为，
若两圆只有一个公共点，则两圆相切，
若两圆外切，则需要，
若两圆内切，则需要，
故不妨令.
故答案为：
14．已知向量，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用向量垂直的坐标表示，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】向量，由，得，即，又，
因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
15．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，再由为奇函数，求得，进而得到取得最小值.
【详解】由函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数，
又由为奇函数，所以，解得，
因为，所以当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
16．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该四棱锥体积的最大值为，则该球的体积为 .
【答案】
【分析】当四棱锥体积的最大值时，四棱锥的底面面积得保证是最大，所以先根据面积公式，证明此时四棱锥底面必须是正方形，然后得出此时四棱锥是正四棱锥，由图可知四棱锥中相关量之间的关系，得出，代入到四棱锥体积公式得到，所以构造函数，，根据求函数的导函数即可得到函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大值是64，求出后，然后球的体积即可求出.
【详解】若四棱锥体积最大，需满足四棱锥底面积最大，并且高也最大，先求底面积最大；
由图可知：
,
若使四边形面积最大，则四边形是正方形，此时四棱锥是正四棱锥;
所以若四棱锥体积的最大值为，则此时四棱锥一定是正四棱锥，并且四棱锥的底面和顶点一定不在球的大圆同侧.
因为，设在保证底面是正方形的前提下，
设正方形的边长是，四棱锥的高为，外接球的半径为,所以.
此时四棱锥的体积为：，
由图可知：在中，，
整理得：，
所以，即：
令其中，所以，即，
所以，
所以在上单调递减，
当时，，
所以在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，即，
所以此时球的体积为
故答案为：
四、解答题
17．在中，内角的对边分别为，且满足
(1)求；
(2)若的面积，求的周长.
【答案】(1)；
(2)9.
【分析】（1）利用正余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由正弦定理可知，
因为中，，所以；
（2）由三角形面积公式及（1）可知：，
由余弦定理，
所以的周长为.
18．美团跑腿是美团新推出的同城帮买帮送服务，上线一个月时间里，“跑腿”业务已覆盖北京､上海､广州､南京､常州､济南､厦门等20个城市.美团公司为了解某地美团跑腿服务的需求情况，随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下频数分布表：
(1)若把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关？
(2)从样本中每月使用跑腿服务次且年龄在内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在内的人数分别为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
【答案】(1)二联表见解析，有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关；
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）由已知计算补全列联表，再由卡方计算观测值并与临界值比对即可；
（2）根据分层抽样确定抽取人数，利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【详解】（1）由已知可得
所以，
故有%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关；
（2）由数表可知符合题意的且年龄在和分别有100人和60人，由分层抽样的定义可得两区间各抽取5人和3人，
则可知可取0，1，2，3，
，，
分布列如下：
故.
19．如图（1）所示，在中，垂直平分.现将三角形沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）.
(1)求证：；
(2)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，先证明和为等边三角形，再取的中点，连接，证明平面，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）先证明，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接，
在中，由，
得，
故，所以，
因为垂直平分，
所以，
所以即为二面角的平面角，所以，
所以为等边三角形，
因为，所以为等边三角形，
取的中点，连接，则，
又平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）在中，因为，
所以，
因为平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为 ，
则，可取，
设，由得，
所以，得，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
，
所以当时，取得最大值，
此时直线与平面所成角最大，
所以当直线与平面所成角最大时，.
20．已知公差的等差数列的前项和为，且成等比数列，，数列的前项和为，已知.
(1)求和；
(2)若时，恒成立，求整数的最小值.
【答案】(1)；
(2)11.
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的定义与性质计算可得，结合与的关系计算可得；
（2）结合（1）的结论，利用指数函数与幂函数的增减速度性解决恒成立问题即可.
【详解】（1）由题意可知，
又，
故，
由，作差可得，
且，
又若，此时不符合题意，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，即；
（2）由上可知，恒成立即，
由指数函数与幂函数的增减性可知，指数函数增长速度越来越快，
易知当时，，当时，，
故当时，恒成立，所以.
21．已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；
（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点，，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
所以，直线的方程为，
化简为直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设，，
联立，得，
得，
所以中点的横坐标为，纵坐标为，
即，将换成得，
得的中点的坐标为，
即，得，
22．已知函数.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的为自然对数的底数.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.
【详解】（1）函数，则不等式，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，依题意，，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，即当时，，
而当时，，
因此，
于是
，
即有，
所以.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
(1)若，总有成立，则；(2)若，总有成立，则；
(3)若，使得成立，则；(4)若，使得成立，则.
每月1次
50
40
40
90
每月次
80
80
100
60
每月次
60
75
56
47
每月10次以上
10
5
4
3
青年
中年
合计
使用频率高
使用频率低
合计
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
青年
中年
合计
使用频率高
150
110
260
使用频率低
250
290
540
合计
400
400
800
X
0
1
2
3
P