广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，则在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知椭圆的左、右焦点分别为、C，A为椭圆上的一点（不在轴上），则△ABC面积的最大值是 （ ）
A．15B．12C．6D．3
3．已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为 （ ）
A．B．
C．或D．或
4．△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，
则 （ ）
A．B．C．D．
5．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在直线方程为 （ ）
A．2x－y＋13＝0B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0D．x－6y＋27＝0
6．已知圆C过圆C1：x2＋y2＋4x－2y－10＝0与圆C2：(x＋3)2＋(y－3)2＝6的公共点．若圆C1，C2的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为 （ ）
A．B．C．D．更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D的夹角的余弦值为 （ ）
A． B．C．D．
8．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；
④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4B．3C．2D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A. 若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B. 直线l在平面α外，则直线l上不可能有两个点在平面α内
C. 如果直线l上有两个点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
D. 如果a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，则AC，BD，是异面直线
10．有一组样本数据x1，x2，…，，其中x1是最小值，是最大值，则（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，……，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，……，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，……，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，……，x6的极差
11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)、B(0，2)，则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时， D．当∠PBA最大时，
12．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ的最小值为
B．平面平面BCD
C．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，
PQ与AD所成角的余弦值为
D．当，时，点D到直线PQ的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，，则＝______．
14．设，，若，则___________．
15．已知两个正数x，y满足，则使不等式恒成立的实数m的范围是______．
16．如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，
一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，
其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．
四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17(10分)．已知函数是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式．
18(12分)．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2， 2)和原点O.
（1）求圆C的方程；
（2）相互垂直两条直线l1，l2都过点A(－1， 0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，
求此时直线l1的方程．
19(12分)．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率．
(第19题图) (第21题图)
20(12分)．在锐角△中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，求△内切圆半径的取值范围.
21(12分)．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，△PAD是正三角形， 平面，分别是的中点．
（1）求证：平面平面．
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
22(12分)．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点F1射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点F2，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线y＝4上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点F2，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.
汕头市潮阳实验学校2023-2024第一学期期中考试答案
高二数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 【答案】D
【详解】由题意得，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2. 【答案】B
【详解】由三角形面积公式可知，
当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，
其中，
则△面积的最大值是，
故选：.
3. 【答案】D
【详解】若焦点在x轴上，则．由，得，所以，
此时椭圆C的标准方程为．
若焦点在y轴上，则．由，得，
此时椭圆C的标准方程为．
综上所述，椭圆C的标准方程为或．
故选：D.
4. 【答案】C
【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因为，所以；
故选：C
5. 【答案】D
【详解】解：因为点关于l：的对称点为，
所以反射光线的方程为.
故选：D.
6. 【答案】B
【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为
故选：B
7. 【答案】B
【详解】解：法一：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，
所以，
故，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
故选：B．
法二：延长B1D，BC交于点E，易知所求角即二面角B1－AE－B，易证AB⊥AE, AB1⊥AE,
故二面角B1－AE－B的平面角为∠B1AB＝，．
8. 【答案】C
【详解】解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9． 【答案】BD
【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；
对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，故直线在平面无交点或仅有1个交点，故B正确；
对C，若直线与平面相交，直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；
对D，如果是异面直线，，则异面，则是异面直线，故D正确.
故选：BD
10．【答案】BD
【详解】对于A，令样本数据为，
则的平均数为2，而的平均数为3，两者不相等，A错误；
对于B，不妨令，，…，从小到大排列，
所以的中位数等于的中位数等于，B正确；
对于C，令样本数据为，
可知的平均数是5，的平均数是5 ，
所以的方差，
的方差，
所以，C错误；
对于D，不妨令，，…，从小到大排列，则，
，D正确.
故选：BD.
11. 【答案】ACD.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
12. 【答案】ABC
【详解】取的中点，连接，由题意可知：，
因为，所以，
又易知，
因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故B正确；
以为原点，分别为轴建立坐标系，
则，
当，时，，，
，，设PQ、DP夹角为α，
csα＝，sinα＝,
所以点D到直线PQ的距离为，故D错误；
设，，由得，，
，
当时，，故A正确；
当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，
，，，，
设PQ与AD所成的角为，
则，
所以PQ与AD所成角的余弦值为，故C正确；
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
14. 【答案】9
【详解】由，得，
解得
，，，
．
故答案为：9
15．【答案】
16. 【答案】；
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，cs∠PBA＝＝；过P作AB的垂线，垂足为M，当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，下坡路段长MB＝PB･cs∠PBA＝．
四、解答题：
17．【详解】（1）因为是R上的奇函数，则， …………2分
此时，经验证，满足，所以； …………4分
（2）由 …………6分
…………8分
即得不等式的解集为． …………10分
18．【答案】（1）(x＋2)2＋y2＝4 （2）x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
【小问1详解】
由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)． …………1分
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2， …………2分
解得a＝－2. …………3分
因为圆心C(－2，0)，半径r＝2， …………4分
所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4. …………5分
【小问2详解】
由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0， …………6分
设l1的斜率为k，则l2的斜率为， …………7分
所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， …………8分
l2：，即x＋ky＋1＝0. …………9分
由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等， …………10分
所以，解得， …………11分
所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. …………12
19．（1）; （2）
【详解】试题解析：（1）由频率分布直方图知，
所以. …………2分
该企业的职工对该部分评分不低于80的概率为. …………4分
（2）受访职工中评分在的有：人，记为a，b，c；受访职工中评分在的有：人，记为A，B，从这5名受访职工中随机抽取2人，…………6分
所有的可能结果有10种，分别为：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}， …………8分
此2人评分都在包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3个， …………10分
∴从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率.…………12分
20．(1)(2)
【详解】（1）因为，
故
…………1分
…………2分
…………3分
…………4分
注意：本题也可先证明公式：tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC，再求C，如果直接引该用公式且结果运算正确，得2分，结果错误不得分．
（2）由正弦定理： …………5分
故 …………6分
…………7分
…………10分
因为在锐角△中，所以，得，所以．…………12分
21. 【答案】【小问1详解】
平面，平面， …………2分
平面平面． …………3分
【小问2详解】
法一：设的中点为，连接， …………4分
因为是正三角形，故，
而平面平面，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，…………5分
由四边形为正方形且分别为的中点得，…………6分
故可以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
故，，， …………7分
，，． …………8分
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，
且，则，
，． …………9分
设平面的一个法向量为，
则，令，则， …………10分
，
整理可得，方程无解， …………11分
故假设不成立，即不存在满足条件的点． …………12分
法二：（略解）取AD中点H，连结GH，EH，
作MH⊥FH于Q，连结GQ，易证EF∥GH，
故平面EFG即平面EFHG，又易证GH⊥平面PAD，
进而可得MQ⊥平面EFHG，且易求得MQ＝，
故∠MGQ即为GM与平面EFHG所成的角，
假设∠MGQ＝，那么GQ＝3＜GH，
而EH上的点到点G的距离的最小值即为GH＝4，故GQ＝3是不可能的，所以假设不成立，
即PA不存在点M使得GM与平面EFGH所成的角为．
22. 【答案】【小问1详解】
由已知可设椭圆方程为， …………1分
则，， …………2分
又
所以， …………3分
故椭圆C的标准方程为 …………4分
【小问2详解】
设AB方程为，由，得，…………5分
设，则 …………6分
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点， …………7分
由得，则直线BM方程为，…………8分
令，则
，又， …………9分
则， …………10分
所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点. …………11分
则点（0，）即为所求点. …………12分1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
D
C
D
B
B
C
9
10
11
12
13
14
15
16
BD
BD
ACD
ABC
[－2，4]
9
m≤
，