浙江省杭州市钱塘联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份浙江省杭州市钱塘联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题，共13页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，已知直线，在平面直角坐标系中，圆，下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是
A.B.C.D.
2.高二年级有男生310人，女生290人，用分层随机抽样的方法按性别比例从全年级学生中抽取样本，若抽取的样本中男生有31人，则该样本的样本容量为
A.30B.40C.50D.60
3.在下列条件中，点与点，，一定共面的是
A.B.
C.D.
4.已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是
A.3，4B.2，8C.2，4D.5，8
5.已知直线：，：，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知向量在向量上的投影向量是，且，则
A.B.C.D.
7.已知是椭圆的上顶点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 A.B.C.D.
8.在平面直角坐标系中，圆：与圆：相交于，两点，若对于直线上的任意一点，均有成立，则半径的取值范围是
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的有
A.直线在轴上的截距为1
B.直线的倾斜角
C.直线必过定点
D.点到直线的距离为1
10.教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”.提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率直方图如图所示，则下列结论中正确的是
A.样本的众数为67.5
B.样本的80百分位数为72.5
C.样本的平均值为66
D.该校男生中低于的学生大约为300人
11.先后两次郑一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次郑出的点数之和是6”，表示事件“第二次郑出的点数是偶数”，表示事件“两次郑出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则
A.事件，为互斥事件B.事件，为对立事件
C.D.事件，为相互独立事件
12.已知长方体的棱，，点满足：，，下列结论正确的是
A.当，时，到的距离为
B.当时，点到平面的距离的最大值为
C.当，时，四棱锥的体积为
D.当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得的概率分别为，，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个的概率为______.
14.在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为______.
15.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则______.
16.椭圆的左焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，，的重心为，直线的斜率取值范围是______.
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知的三个顶点是，，，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程.
18.（12分）
如图，在正四面体中，已知是线段的中点，在上，且
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若正四面体的边长为2，求的值.
19.（12分）
已知点，，求：
（1）过点，且周长最小的圆的标准方程；
（2）直线被过点，且圆心在直线上的圆所截得的弦长.
20.（12分）
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.
21.（12分）
如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
22.（12分）
已知椭圆：的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线、的斜率分别为和.
（1）求证：；
（2）若为坐标原点，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？
2023学年第一学期钱塘联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
8.圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2.
∴，
∵圆与圆相交，
∴.
∵对于直线上任意一点，均有成立，
又，当直线过点时，.
∴.
故答案为：.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
12.A：，则，即，故在上运动，
所以到的距离为，即棱与的距离，错；
B：，则，故在底面上运动，
所以，当在上时，的到平面的距离最大，
而，面，面，则面，
所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，对；
C：，则，故为中点，
如下图，，，
所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即，的交点，
∴，对
D：，则，故在上运动，
根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，对；
故答案为：BCD
三.填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.14.115.16.
16.解：设椭圆的半焦距为，由已知，
设，因为重心为，
所以，
所以，
又所以，
所以，
所以直线的斜率，
当且仅当时等号成立，
又，
所以直线的斜率取值范围是
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）线段的中点，
所以，所以，
即.
（2）因为，所以边的高所在直线的斜率为
所以边上高所在直线为
即.
18.
（2）由（1）可得知
19.（1）当为直径时，过，的圆的半径最小，从而周长最小.
即的中点为圆心，半径，
则圆的标准方程为.
（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，
即，
由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是.
.
故所求圆的标准方程是.
圆心到直线的距离，
弦长
解法二：待定系数法
设圆的标准方程为，
则
故所求圆的标准方程为.
圆心到直线的距离，
弦长
20.（1）因为，
由椭圆定义，轨迹是以点，为焦点，长轴长为的椭圆
设椭圆方程为，
则，∴
又∵，则，
∴椭圆的方程为；
（2）由，解得或，
因此.
设直线的方程为，设，.
由得.
，故.
又，的交点在，之间，故.
因为直线的斜率为1，
所以.
又四边形的面积，
当时，取得最大值，最大值为，所以四边形面积的最大值为
21.如图，取的中点，的中点，连接，，，
因为，是的中点，所以，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因，，是的中点，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，.
又，，平面，
所以平面
（2）以为坐标原点，，分别为，轴，平行为轴，建系如图所示，
设，则，，，，
，，
设平面的法向量为，
，
取可得，，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则，
解得，
从而，
取平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22.解：（1）由题意可得：，解得：，，
故椭圆方程为：
设过点与圆的切线的直线为，动圆的半径为，则
化简，得
所以，是方程的两根，
由韦达定理知，.
（2）设点，，将代入
消去得
则，得，
所以
因为，所以将换成得
则直线的斜率
所以直线的方程为
由椭圆的对称性可知，直线必过轴上一定点
所以，化简得
这是一个与无关的方程，所以，即直线过定点.
因为，所以点的轨迹是以为直径的圆上的一段弧，
故存在点，使得为定值.
方法二
设点，.
直线的方程为，代入
消去得，
所以，（*）
因为，所以，即，
化简得，将（*）代入并化简得
，解得或
当时，直线方程为，过点，不合题意，舍
当时，直线方程为，过定点
因为，所以点的轨迹是以为直径的圆上的一段弧，
故存在点，使得为定值.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
D
C
B
A
B
题号
9
10
11
12
答案
ACD
ABD
CD
BCD