2023-2024学年上海市静安区久隆模范中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区久隆模范中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如果y关于x的函数y＝（k2+1）x是正比例函数，那么k的取值范围是（ ）
A．k≠0B．k≠±1C．一切实数D．不能确定
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝±
3．已知反比例函数的图象经过（3，﹣1），那么对此函数描述正确（ ）
A．y随x增大而增大
B．x＜0时，y随x增大而减小
C．y随x增大而减小
D．x＜0时，y随x增大而增大
4．下面计算正确的是（ ）
A．4+＝4B．÷＝3C．•＝D．＝±2
5．的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k≥﹣2且k≠0D．k≤﹣2
二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）
7．计算：＝ ．
8．函数的定义域是 ．
9．已知一次函数y＝kx+5的图象经过点（﹣3，2），则是k＝ ．
10．最简二次根式与是同类根式，则x+2y＝ ．
11．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
12．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根为一正一负，则实数m的取值范围是 ．
13．在实数范围内因式分解：3x2﹣x﹣1＝ ．
14．如果f（x）＝，那么f（4）＝ ．
15．如果a+b＝﹣c，则方程ax2+bx+c＝0必有一解为x＝ ．
16．利用旧墙为一边，再用13m长的篱笆围成一个面积为20m2的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是 .（旧墙长为7m）
17．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，﹣1），则当y＞1时，自变量x的取值范围 ．
18．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是 ．
三、简答题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
19．计算：﹣（2+）（2﹣）．
20．解不等式：2（x﹣1）≥x．
21．解方程：3x2﹣2＝6x．
22．解方程：3x2﹣（x﹣2）2＝12．
四、解答题（本大题共5题，23、24题6分，25、26题8分，27题10分，满分38分）
23．已知y＝y1+y2，其中y1与x2成正比例，y2与x成反比例，并且当x＝时y＝5，当x＝1时y＝﹣1，求y与x之间的函数关系式．
24．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若去掉彩条后的面积是144cm2，求横、竖彩条的宽度．
25．已知关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．
（1）若x＝1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根；
（2）试说明无论k取什么实数值，此方程总有实数根．
26．甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．
27．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，点P是函数y＝（k＞0，x＞0）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）点B的坐标是 ，k＝ ；
（2）当S＝，求点P的坐标；
（3）求出S关于m的函数关系式．
附加题
28．阅读材料，解答问题：
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0且a≠b，则a+b＝ ，ab＝ ；
（2）间接应用：在（1）条件下，求+的值；
（3）拓展应用：已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，则﹣n＝ ．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）
1．如果y关于x的函数y＝（k2+1）x是正比例函数，那么k的取值范围是（ ）
A．k≠0B．k≠±1C．一切实数D．不能确定
【分析】根据正比例函数的定义，列出方程求解即可．
解：∵函数y＝（k2+1）x是正比例函数，
∴k2+1≠0，
∴k取全体实数，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如y＝kx（k≠0）的形式，叫正比例函数．
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝±
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程变形得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．已知反比例函数的图象经过（3，﹣1），那么对此函数描述正确（ ）
A．y随x增大而增大
B．x＜0时，y随x增大而减小
C．y随x增大而减小
D．x＜0时，y随x增大而增大
【分析】先根据题意求出函数解析式为，根据反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，即可判断．
解：∵反比例函数的图象经过（3，﹣1），
∴k＝﹣3，函数经过二、四象限，
在每个象限内，y随x的增大而增大，
故D说法正确，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；②当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
4．下面计算正确的是（ ）
A．4+＝4B．÷＝3C．•＝D．＝±2
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
解：A、4与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝3，所以B选项的计算正确；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找出所求有理化因式即可．
解：的有理数因式是，
故选：A．
【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
6．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k≥﹣2且k≠0D．k≤﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）
7．计算：＝ 2 ．
【分析】先化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则求出即可．
解：原式＝2÷＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
8．函数的定义域是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列不等式求得．
解：根据题意得：2x﹣6≥0，
解得x≥3．
【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．已知一次函数y＝kx+5的图象经过点（﹣3，2），则是k＝ 1 ．
【分析】把点的坐标代入函数解析式可求得k的值．
解：
∵一次函数y＝kx+5的图象经过点（﹣3，2），
∴2＝﹣3k+5，解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
10．最简二次根式与是同类根式，则x+2y＝ 3 ．
【分析】根据最简二次根式与是同类根式，可得2+x＝5﹣2y，进一步化简即可．
解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2+x＝5﹣2y，
∴x+2y＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 m＞ ．
【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，2m+1＞0，解不等式即可得结果．
解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限，
则2m+1＞0，
解得：m＞．
故答案为：m＞﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，k＞0时，函数图象位于一三象限；k＜0时，函数图象位于二四象限．
12．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根为一正一负，则实数m的取值范围是 m＞ ．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根．由方程有实数根以及两实数根为一正一负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根，
由已知得：，即，
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
13．在实数范围内因式分解：3x2﹣x﹣1＝ 3（x﹣）（x﹣） ．
【分析】3x2﹣x﹣1＝0时，x＝，根据求根公式的分解方法和特点可知：3x2﹣x﹣1＝3（x﹣）（x﹣）
解：∵3x2﹣x﹣1＝0时，x＝，
∴3x2﹣x﹣1＝3（x﹣）（x﹣）．
故答案为：3（x﹣）（x﹣）．
【点评】本题考查了在实数范围内因式分解，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
14．如果f（x）＝，那么f（4）＝ ﹣2﹣ ．
【分析】把x＝4代入f（x）求出f（4）的值即可．
解：把x＝4代入得：f（4）＝＝﹣2﹣．
故答案为：﹣2﹣．
【点评】此题考查了分母有理化，以及函数值，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
15．如果a+b＝﹣c，则方程ax2+bx+c＝0必有一解为x＝ 1 ．
【分析】根据ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，可判断当x＝1时满足条件，于是判断出方程的根．
解：∵ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，
∴当x＝1时，a+b+c＝0，
∴此方程必有一个根为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好a+b+c＝0、a﹣b+c＝0、4a+2b+c＝0的条件，此题比较简单．
16．利用旧墙为一边，再用13m长的篱笆围成一个面积为20m2的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是 5m，4m .（旧墙长为7m）
【分析】首先设长方形的一边长为xm，那么另一边长为（13﹣x）÷2（m），可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
解：设长方形的一边长为xm，那么另一边长为（13﹣x）÷2（m），
由题意得x（13﹣x）÷2＝20，
解得x＝5，x＝8，
根据旧墙长为7m，可得出x＝8不合题意舍去．
那么长方形场地的长和宽分别为5m，4m．
故答案为：5m，4m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用已知表示出长与宽再利用矩形面积得出等式方程是解题关键．
17．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，﹣1），则当y＞1时，自变量x的取值范围 ﹣3＜x＜0 ．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，﹣1），可以求得k的值，从而可以得到该函数图象在第几象限，从而可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围．
解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（3，﹣1），
∴﹣1＝，得k＝﹣3，
∴y＝，
∴该函数图象在第二、四象限，当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0；
∴当y＞1时，则＞1，x＜0
解得，﹣3＜x＜0，
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
18．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是 x＜0或1＜x＜5 ．
【分析】根据k1x+b﹣＜0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．
解：如图所示：关于x的不等式k1x+b﹣＜0的解集是：x＜0或1＜x＜5．
故答案为：x＜0或1＜x＜5．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键．
三、简答题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
19．计算：﹣（2+）（2﹣）．
【分析】先分母有理化，再利用平方差公式计算，然后合并即可．
解：原式＝﹣（1+）﹣（4﹣3）
＝﹣1﹣﹣1
＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
20．解不等式：2（x﹣1）≥x．
【分析】先去括号，再把x的系数化为1即可．
解：去括号得，2x﹣2≥x，
移项得，（2﹣）x≥2，
x的系数化为1得，x≤，即x≤﹣4﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
21．解方程：3x2﹣2＝6x．
【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
解：移项，得3x2﹣6x＝2，
二次项系数化为1，得，
配方（x﹣1）2＝，
由此可得，．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
22．解方程：3x2﹣（x﹣2）2＝12．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：方程化为x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x+4＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
四、解答题（本大题共5题，23、24题6分，25、26题8分，27题10分，满分38分）
23．已知y＝y1+y2，其中y1与x2成正比例，y2与x成反比例，并且当x＝时y＝5，当x＝1时y＝﹣1，求y与x之间的函数关系式．
【分析】首先设y1＝kx2，y2＝，进而可得y＝kx2+，然后再把x＝时y＝5，当x＝1时y＝﹣1代入可得关于k、a的方程组，解出k、a的值，可得函数关系式．
解：∵y1与x2成正比例，y2与x成反比例，
∴y1＝kx2，y2＝，
∵y＝y1+y2，
∴y＝kx2+，
∵当x＝时y＝5，当x＝1时y＝﹣1，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x2+．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，关键是掌握正比例函数和反比例函数的函数关系式的形式．
24．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若去掉彩条后的面积是144cm2，求横、竖彩条的宽度．
【分析】设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为xcm，根据去掉彩条后的面积是144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为xcm．
根据题意，得：，
整理，得：x2﹣18x+32＝0，
解得：x1＝2，x2＝16（舍去），
∴．
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
25．已知关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．
（1）若x＝1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根；
（2）试说明无论k取什么实数值，此方程总有实数根．
【分析】（1）先把方程的根代入方程，可以求出字母系数k值，然后根据根与系数的关系由两根之积可以求出另一个根；
（2）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0，即可解答．
【解答】（1）解：把x＝1代入方程有：
1+2（2﹣k）+3﹣6k＝0，
解得k＝1．
故方程为x2+2x﹣3＝0，
设方程的另一个根是x2，则：
1•x2＝﹣3，
解得x2＝﹣3．
故k＝1，方程的另一根为﹣3；
（2）证明：∵关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0中，
Δ＝4（2﹣k）2﹣4（3﹣6k）＝4（k+1）2≥0，
∴无论k取什么实数值，此方程总有实数根．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式．解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系．
26．甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．
【分析】（1）根据图象中坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据分析可知：当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，可得方程x+5﹣（x+15）＝15，解之即可．
解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，
，，
解得：，，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5（0≤x≤60），乙气球的函数解析式为：y＝x+15（0≤x≤60）；
（2）由初始位置可得：
当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，
且此时甲气球海拔更高，
∴x+5﹣（x+15）＝15，
解得：x＝50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合实际情境分析函数图象．
27．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，点P是函数y＝（k＞0，x＞0）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）点B的坐标是 （3，3） ，k＝ 9 ；
（2）当S＝，求点P的坐标；
（3）求出S关于m的函数关系式．
【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）分两种情形，用坐标表示出不重合的四边形的边长，进而表示出面积，求解即可；
（3）分两种情形求解即可：①当点P1在点B的左侧时；②当点P2在点B或B的右侧时．
解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA＝OC＝3，
∴B（3，3）．
又∵点B（3，3）在函数的图象上，
∴k＝9．
故答案为：（3，3），9．
（2）分两种情况：①当点P1在点B的左侧时，
∵P1（m，n）在函数上，
∴mn＝9．
∴则S＝m（n﹣3）＝，
∴m＝，
∴n＝6．
∴P1（，6）；
②当点P2在点B或B的右侧时，
∵P2（m，n）在函数上，
∴mn＝9．
∴S＝n（m﹣3）＝mn﹣3n＝，
∴n＝，
∴m＝6．
∴P2（6，）．
（3）当0＜m＜3时，S＝9﹣3m．
当m≥3，x＝m时，P的纵坐标是，
由题意S＝9﹣3×＝9﹣
【点评】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键．
附加题
28．阅读材料，解答问题：
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0且a≠b，则a+b＝ 7 ，ab＝ 1 ；
（2）间接应用：在（1）条件下，求+的值；
（3）拓展应用：已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且mn+1≠0，则﹣n＝ ﹣1 ．
【分析】（1）由韦达定理即可求解；
（2）结合（1）的过程，将（+）平方后变形为，再代入数据即可得出结论；
（3）令，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，可得a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，可得，将其代入﹣n即可求解．
解：（1）∵实数a，b满足：a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0且a≠b，
∴a，b是方程x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝7，ab＝1．
故答案为：7，1；
（2）由（1）得（+）2＝（）2+（）2+＝＝＝49，
∵a+b＝7，ab＝1．
∴a＞0，b＞0，
∴+＝7（取正，负值舍去）；
（3）令，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵mn≠﹣1，
∴，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故﹣n＝a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，巧妙的找出a、b（、n）是某方程的两个根是解题的关键．