2023-2024学年陕西省西安三中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安三中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．有理数4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．4
2．在，﹣3.14，﹣，﹣0.77⋯，，1.6262262226⋯（每两个6之间依次增加一个2），其中无理数的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．点P（t+3，t+2）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（1，2）D．（1，0）
4．已知一次函数y＝﹣2x+4，那么下列结论正确的是（ ）
A．y的值随x的值增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点（1，2）
D．当x＜2时，y＜0
5．下列各数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝3，b＝，c＝2D．a＝5，b＝12，c＝13
6．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）
A．20cmB．8cmC．16cmD．40cm
7．若一次函数y＝（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞C．m＜D．m＞
8．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．如图，正方形ODBC中，OC＝1，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ．
11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣结果为 ．
12．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），目标B的位置为（4，30°），现有一个目标C的位置为（3，m°），且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ．
13．已知如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、D（﹣5，9），设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．
三、解答题（本大题共11小题，共81分）
14．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．已知5a﹣2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分，求3a﹣b+2c的平方根．
16．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD为BC边上的中线，且AD＝12，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
17．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P点是x轴上一动点，直接写出PB+PC长度的最小值为 ．
18．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
19．已知，直线l1：y＝﹣3x+12与x轴和y轴分别相交于A、B两点，直线y＝x的图象向下平移2个单位长度得到直线l2：y＝kx+b（k≠0）且与y轴交于C点．
（1）求直线l2的解析式；
（2）证明：直线l1和直线l2相交于一点A；
（3）求△ABC的面积．
20．已知，求2a2﹣8a+1的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
（1）化简：＝ ；
（2）计算：；
（3）若，求3a2﹣18a+1的值．
21．尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与分别交x轴于点B和点C，点A是直线与y轴的交点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）在直线y＝x+1上是否存在点P，使得S△BCP＝5S△AOC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
23．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（﹣2，3），B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），请判定此三角形的形状，并说明理由．
（3）已知A（2，1），在x轴上是否存在一点P，使△OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．
24．如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．
（1）如图1，点B′落在边AD上，若AE＝2，则AB′＝ ，FB′＝ ；
（2）如图2，若BE＝2，F是BC边中点，连接B′D、FD，求△B′DF的面积；
（3）如图3，点F是边BC上一动点，作EF⊥DF，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DB′F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．有理数4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．4
【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．在，﹣3.14，﹣，﹣0.77⋯，，1.6262262226⋯（每两个6之间依次增加一个2），其中无理数的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
解：，
故在，﹣3.14，﹣，﹣0.77⋯，，1.6262262226⋯（每两个6之间依次增加一个2），无理数有﹣，1.6262262226⋯（每两个6之间依次增加一个2），共2个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．点P（t+3，t+2）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（1，2）D．（1，0）
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出t的值，进而得出答案．
解：∵点P（t+3，t+2）在直角坐标系的x轴上，
∴t+2＝0，
解得：t＝﹣2，
故t+3＝1，
则P点坐标为（1，0）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出t的值是解题关键．
4．已知一次函数y＝﹣2x+4，那么下列结论正确的是（ ）
A．y的值随x的值增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点（1，2）
D．当x＜2时，y＜0
【分析】根据一次函数的性质可对选项A进行判断；根据k＝﹣2＜0，b＝4＞0可对选项B进行判断，将点（1，2）代入一次函数的解析式可对选项C进行判断，由y＜0时，﹣2x+4＜0，从而求出x即可对选项D进行判断；
解：对于一次函数y＝﹣2x+4，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
故选项A不正确；
对于一次函数y＝﹣2x+4，
∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+4经过第一、二、四象限，
故选项B不正确；
对于一次函数y＝﹣2x+4，
当x＝1时，y＝﹣2×1+4＝2，
∴一次函数y＝﹣2x+4的图象必过点（1，2），
故选C正确；
对于一次函数y＝﹣2x+4，
当y＜0时，﹣2x+4＜0，解得：x＞2，
故选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标，解答此题的关键是理解：①对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y的值随x的值增大而增大，当k＜0时，y最x的增大而减小，②当k＞0且b＞0时，函数的图象经过第一、二、三象限；当k＞0且b＜0时，函数的图象经过第一、三、四象限；当k＜0且b＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限；当k＜0且b＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．
5．下列各数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝3，b＝，c＝2D．a＝5，b＝12，c＝13
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
解：32+42＝52，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意；
42+52≠62，则以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，故选项B符合题意；
32+（）2＝（2）2，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故选项C不符合题意；
52+122＝132，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
6．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）
A．20cmB．8cmC．16cmD．40cm
【分析】要求铁丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
解：如图，把圆柱的侧面展开，
则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条铁丝的最小长度是长方形的对角线AB的长的2倍．
∵圆柱的底面周长是24cm，高是16cm，
∴AC＝16cm，BC＝12cm，
在Rt△ABC中，
∴AB2＝AC2+BC2＝162+122＝400（cm2），
∴AB＝20cm．
∴需要金色铁丝的长度最少为40cm，
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
7．若一次函数y＝（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞C．m＜D．m＞
【分析】由“当x1＜x2时，y1＞y2”，利用一次函数的性质可得出4﹣3m＜0，解之即可得出m的取值范围．
解：∵一次函数y＝（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，
∴4﹣3m＜0，
∴m＞．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
【分析】根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、A′的坐标，由题意可知m﹣6+m＝0，解得m＝3．
解：∵直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，
∴A（m，0），
将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到y＝﹣（x+6）+m＝﹣x﹣6+m，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′，
∴A′（m﹣6，0），
∵点A′与A关于原点O对称，
∴m﹣6+m＝0，
解得m＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求得A、A′的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．
解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
10．如图，正方形ODBC中，OC＝1，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ﹣ ．
【分析】在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数
解：∵OB＝＝，
∴OA＝OB＝，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣结果为 ﹣2a﹣2b ．
【分析】根据数轴，得出a＜0，b＞0，|a|＞|b|，进而得出a+b＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∴＝﹣a﹣b﹣（a+b）＝﹣a﹣b﹣a﹣b＝﹣2a﹣2b．
故答案为：﹣2a﹣2b．
【点评】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a，b的取值范围是解本题的关键．
12．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），目标B的位置为（4，30°），现有一个目标C的位置为（3，m°），且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 （3，300°）或（3，120°） ．
【分析】由目标A的位置为（2，90°），可知用这种方法表示物体的位置时，前边的数表示与中心点的距离，后边的数表示角度；观察点C的位置，距离中心点有多远，在哪一个角度上，就不难写出C的位置怎么标记了．
解：通过观察图形，点A位于图中距离中心点的第二个圈上，且位于90°角处，它的位置是（2，90°）．
∴用有序数对确定位置时，第一个数表示该点在距离中心点的第几个圈上，第二个数表示该点在哪个度数的直线上．
∴C（3，300°）或（3，120°）．
故答案为：（3，300°）或（3，120°）．
【点评】本题考查有序数对在实际生活中的实际应用，理解有序数对所表示的实际意义是做此题的关键．
13．已知如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、D（﹣5，9），设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是 （﹣2，6） 时，点M在整个运动过程中用时最少．
【分析】根据时间t的表达式，利用B，D点坐标特点构造等腰直角三角形，找到EF和DF之间关系，放在同一个三角形中，两边之和大于第三遍找到与AE关系，AE为垂线的时候最短，即可找到F点坐标．
解：M在整个过程共用时：t＝＝AF+DF，
如图分别作CD∥x轴，BC∥y轴，使直线CD、BC交于C，
∵D的坐标为（﹣5，9），B（4，0），
∴BC＝|yD|＝9，CD＝|xB﹣xA|＝|4+5|＝9，
∴BC＝CD，
∵∠BCD＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
如图过点F作EF⊥CD于点E，连接AE，
∴△DEF也是等腰直角三角形，
∴EF＝DF，
∴t＝AF+DF＝AF+EF≥AE，
当AE⊥CD时，AE取得最小值，即AE＝BC＝9，
∴tmin＝9，
此时，AE'与BD交于点F'，
∴F'的横坐标等于A点的横坐标，
∴xF'＝﹣2，
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点B（4，0）和点D（﹣5，9）代入解析式得，
解得，
∴解析式为y＝﹣x+4，
将x＝﹣2代入y＝﹣x+4，得y＝6，
∴当F的坐标为（﹣2，6），点M在整个运动过程中用时最少，
故答案为：（﹣2，6）．
【点评】本题考查了直角坐标系下动点问题，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下F点的坐标，对于一般学生来说难度较大．
三、解答题（本大题共11小题，共81分）
14．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用二次根式的运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的运算法则计算即可；
（4）利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根及立方根的定义计算即可．
解：（1）原式＝（5﹣7）÷2
＝﹣2÷2
＝﹣1；
（2）原式＝4﹣+
＝；
（3）原式＝+12﹣（4﹣）
＝+12﹣3
＝12﹣2；
（4）原式＝1﹣3﹣3+4
＝﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．已知5a﹣2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分，求3a﹣b+2c的平方根．
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
解：∵5a﹣2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，
∴5a﹣2＝8，3a+b﹣1＝9，
∴a＝2，b＝4，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+2c＝3×2﹣4+2×3＝8，
3a﹣b+c的平方根是±2．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
16．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD为BC边上的中线，且AD＝12，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
【分析】（1）根据勾股定理份逆定理进行证明；
（2）根据三角形的面积公式列方程求解．
【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD＝5，
∵AD2+BD2＝144+25＝169＝132＝AB2，
∴∠ADB＝90°，即：AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AC＝AB＝13，
∴S△ACD＝，
即：12×5＝13DE，
解得：DE＝．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理及三角形的面积公式是解题的关键．
17．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P点是x轴上一动点，直接写出PB+PC长度的最小值为 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接BC交x轴于点P，连接PC，此时PB+PC的值最小，最小值＝PC1．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2；
（3）连接B′C交x轴于点P，连接PC，此时PB+PC的值最小，最小值＝PC1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
18．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）由题意可知：BD＝12米，CD⊥BD，AB＝DE＝1.7米，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256，
所以，CD＝16（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝16+1.7＝17.7（米），
答：风筝的高度CE为17.7米；
（2）∵风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变，
∴此时的CD﹣16﹣7＝9（米），
即此时在Rt△CDB中，BD＝12米，有BC＝＝＝15（米），
相比下降之前，BC缩短长度为20﹣15＝5（米），
∴他应该往回收线5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
19．已知，直线l1：y＝﹣3x+12与x轴和y轴分别相交于A、B两点，直线y＝x的图象向下平移2个单位长度得到直线l2：y＝kx+b（k≠0）且与y轴交于C点．
（1）求直线l2的解析式；
（2）证明：直线l1和直线l2相交于一点A；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据一次函数图象的平移规律解答；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征解答即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）解：直线y＝x的图象向下平移2个单位长度得到直线y＝x﹣2，
则直线l2的解析式为y＝x﹣2；
（2）证明：对于直线y＝﹣3x+12，当y＝0时，﹣3x+12＝0．
解得：x＝4，
当x＝0时，y＝12，
则点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，12），
对于直线y＝x﹣2，当x＝4时，y＝0，
∴直线l1和直线l2相交于一点A；
（3）解：直线y＝x﹣2与y轴的交点C的坐标为（0，﹣2），
∴BC＝12+2＝14，
则S△ABC＝×14×4＝28．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、一次函数图象与坐标轴的交点，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
20．已知，求2a2﹣8a+1的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
（1）化简：＝ ；
（2）计算：；
（3）若，求3a2﹣18a+1的值．
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出a的值，再得出a2﹣4a＝1，再把已知变形得出答案．
解：（1）＝＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝﹣1；
（3）因为a＝＝3﹣2，
所以a﹣3＝﹣2．
所以（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8．
所以a2﹣6a＝﹣1．
所以3a2﹣18a+1＝3（a2﹣6a）+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二3．次根式化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
21．尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
【分析】（1）根据题意直接写出y1，y2与x之间的关系式；
（2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可．
解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40；
方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32．
∴y₁与x之间的关系式为y1＝15x+40，y2与x之间的关系式为y2＝15.2x+32；
（2）当x＝10时，y1＝15×10+40＝190；
y2＝15.2×10+32＝184，
∵190＞184，
∴选择方案②更为优惠．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y1，y2与x之间的关系式．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与分别交x轴于点B和点C，点A是直线与y轴的交点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）在直线y＝x+1上是否存在点P，使得S△BCP＝5S△AOC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B，C的坐标；
（2）存在，由点A，B，C的坐标，可得出OA，OC，BC的值，结合S△BCP＝5S△AOC，可求出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．
解：（1）当y＝﹣x+3中的x＝0时，y＝﹣×0+3＝3，
∴点A的坐标为（0，3）；
当y＝x+1中的y＝0时，x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，0）；
当y＝﹣x+3中的y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（4，0）；
（2）存在，∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（4，0），
∴OA＝3，OC＝4，BC＝5．
∵S△BCP＝5S△AOC，
∴•BC•|yP|＝5×OA•OC，
∴×5|yP|＝5××3×4，
∴|yP|＝12，
∴yP＝±12，
当y＝12时，x+1＝12，
解得：x＝11，
∴点P的坐标为（11，12）；
当y＝﹣12时，x+1＝﹣12，
解得：x＝﹣13，
∴点P的坐标为（﹣13，﹣12）．
综上所述，点P的坐标为（11，12）或（﹣13，﹣12）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出各点的坐标；（2）利用三角形的面积及一次函数图象上点的坐标特征，求出点P的坐标．
23．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（﹣2，3），B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），请判定此三角形的形状，并说明理由．
（3）已知A（2，1），在x轴上是否存在一点P，使△OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）利用公式代入即可；
（2）利用公式求出AB，AC，BC的长，再由勾股定理逆定理即可判断；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解．
解：（1）∵A（﹣2，3），B（4，﹣5），
∴AB＝＝10；
（2）直角三角形，理由如下：
∵A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），
∴AB＝＝，
AC＝＝，
BC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）存在，
∵A（2，1），
∴OA＝＝，
当AO＝OP＝时，P（）或（﹣，0），
当AO＝AP时，过点A作AD⊥x轴于D，
∴OD＝DP＝2，
∴P（4，0），
当PA＝PO时，
设PA＝PO＝x，则PD＝2﹣x，
∵AP2＝AD2+PD2，
∴x2＝12+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴P（），
综上，P（）或（﹣，0）或（4，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键
24．如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．
（1）如图1，点B′落在边AD上，若AE＝2，则AB′＝ ，FB′＝ ；
（2）如图2，若BE＝2，F是BC边中点，连接B′D、FD，求△B′DF的面积；
（3）如图3，点F是边BC上一动点，作EF⊥DF，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DB′F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．
【分析】（1）根据题意，折叠的性质可得△BEF≌△B′EF，根据在Rt△AB′E中，AE＝2，B′E＝4，设BF＝x，则由等面积法可得：，可得：，从而可得答案；
（2）如图，延长FB′交AB于K，设KE＝x，KB′＝y，则∠EB′K＝90°，由勾股定理可得：，结合面积法可得：，可得y＝2x﹣4，可得，由S△DKF＝S长方形ABCD﹣S△AKD﹣S△BFK﹣S△DCF可得三角形面积，结合，从而可得答案；
（3）分两种情况讨论：由△DB′F是以DF为腰的等腰三角形，当DF＝DB′时，如图，过D作DH⊥B′F于H，证明△DHF≌△DCF（AAS），可得HF＝CF，可得3CF＝8，即，当DF＝B′F时，同理△DHF≌△DCF（AAS）设HF＝CF＝n，DH＝CD＝6，可得DF＝B′F＝BF＝8﹣n，利用勾股定理可得：（8﹣n）2＝n2+62，从而可得答案．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，AB＝6，BC＝8，AE＝2，
∴∠A＝∠B＝90°，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，
∴△BEF≌△B′EF，
∴BE＝B′E＝4，
在Rt△AB′E中，AE＝2，B′E＝4，
∴，
设BF＝x＝B′F，则由等面积法可得：
，
解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）∵四边形ABCD是长方形，AB＝6，BC＝8，BE＝2，F是BC边中点，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，，
∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，
∴B′F＝BF＝4，BE＝B′E＝2，∠B＝∠EB′F＝90°，
∴B′F＝CF＝4，
如图2，延长FB′交AB于K，设KE＝x，KB′＝y，
∴∠EB′K＝90°，
∴由勾股定理可得：
，
∴x＝2y﹣2，
∴，
∴，即y＝2x﹣4，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴，
∴S△DKF＝S长方形ABCD﹣S△AKD﹣S△BFK﹣S△DCF
＝
＝；
∵，
∴，
∴；
（3）∵△DB′F是以DF为腰的等腰三角形，
当DF＝DB′时，如图3，过D作DH⊥B′F于H，
∴B′H＝FH，
由折叠可得：∠BFE＝∠B′FE，而EF⊥DF，
∴∠B′FE+∠DFB′＝90°＝∠BFE+∠DFC，
∴∠DFB′＝∠DFC，
∵∠DHF＝∠C＝90°，DF＝DF，
∴△DHF≌△DCF（AAS），
∴HF＝CF，
∴BF＝B′F＝2FH＝2FC，
∴3CF＝8，即，
当DF＝B′F时，同理△DHF≌△DCF（AAS），
设HF＝CF＝n，DH＝CD＝6，
∴DF＝B′F＝BF＝8﹣n，
∴由勾股定理可得：（8﹣n）2＝n2+62，
解得：，即；
综上：或．
【点评】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，二元一次方程组的解法，本题难度大，属于压轴题．