2023-2024学年山东省淄博市张店区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市张店区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在式子；；；；；；中，分式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．4xy2﹣4x2y﹣y3＝y（4xy﹣4x2﹣y2）
D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
4．若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（ ）
A．1B．xC．﹣xD．4
5．数学老师计算同学们一学期的总评成绩时，将平时、期中和期末的成绩按2：3：5计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、96分，则小红一学期的数学总评成绩是（ ）
A．90分B．91分C．92分D．93分
6．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍B．扩大9倍C．不变D．扩大3倍
7．为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）
A．众数为14B．极差为3
C．中位数为13D．平均数为14
9．分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．3B．6C．1或﹣2D．0或6
10．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式：x2y﹣y3＝ ．
12．能使分式的值为零的x取值是 ．
13．为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛．如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 ．（填“小洋”或“小亮”）．
14．关于x的方程＝﹣2的解为正数，则a的取值范围为 ．
15．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，a2﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解a3﹣1＝ ＝ ．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．（1）因式分解：﹣9x2y+12xy2﹣4y3；
（2）利用因式分解计算：（﹣2）101+2100．
17．（1）化简：；
（2）先化简：，再从﹣1，0，1中取一个你喜欢的数代入求值．
18．解方程：
（1）．
（2）．
19．将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0）．
（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 ；
A.＞
B.＝
C.＜
（2）请证明你的选择．
20．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．
（1）求两次所购数量分别是多少？（列分式方程求解）
（2）商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下150件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
21．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为16＝52﹣32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．
则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有 都是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；
（2）继续探究，他们发现8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4k（k≥2，且k为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想；
（3）根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．
23．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：；
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当x＞﹣3时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0＜x＜1时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．在式子；；；；；；中，分式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：在式子；；；；；；中，
分式有：；；；，
即分式有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
解：A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意；
D、当x＝1时，x+1≠0，分式有意义，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．4xy2﹣4x2y﹣y3＝y（4xy﹣4x2﹣y2）
D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据题目中给出的选项逐一进行正确地因式分解即可得出答案．
解：∵a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），因此选项A不正确；
∵x2﹣4+3x＝（x﹣1）（x+4），因此选项B不正确；
∵4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2+y2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2，因此选项C不正确；
∵x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），因此选项D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解，理解因式分解的定义，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
4．若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（ ）
A．1B．xC．﹣xD．4
【分析】考虑x2﹣A有公因式x﹣1，x+2即可．
解：A＝1或x或4时，分子分母有公因式，可以约分．
故选：C．
【点评】本题考查约分，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．数学老师计算同学们一学期的总评成绩时，将平时、期中和期末的成绩按2：3：5计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、96分，则小红一学期的数学总评成绩是（ ）
A．90分B．91分C．92分D．93分
【分析】按2：3：5的比例算出本学期数学学期总评成绩即可．
解：小红一学期的数学总评成绩是（分），
故选：A．
【点评】此题考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．
6．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍B．扩大9倍C．不变D．扩大3倍
【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝＝9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7．为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设初一年级平均每小时植树x棵，根据初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同列出方程解答即可．
解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：
，
故选：D．
【点评】此题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据题意得出方程解答．
8．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）
A．众数为14B．极差为3
C．中位数为13D．平均数为14
【分析】根据众数、中位数、平均数与极差的定义逐一计算即可判断．
解：由图表可得：14岁的有4人，故众数是14，故选项A符合题意；
极差是：16﹣12＝4，故选项B不合题意；
中位数是：＝14，故选项C不合题意；
平均数是：（12+13×3+14×4+15×2+16×2）÷12＝14.75，故选项D不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查众数、极差、中位数和平均数，熟练掌握众数、极差、中位数和平均数的定义是解题的关键．
9．分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．3B．6C．1或﹣2D．0或6
【分析】先解分式方程可得x＝m﹣2，再由题意可得m﹣2＝1或m﹣2＝﹣2，求出m即可．
解：将原式去分母得：
2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m，
2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m，
x＝m﹣2，
∵方程有增根，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴m﹣2＝1或m﹣2＝﹣2，
∴m＝6或m＝0，
当m＝0时，方程无解，
∴m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的解法，理解方程增根的定义是解题的关键．
10．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论．
解：∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故A不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故B不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴•＝（﹣），故C符合题意；
﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故D不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
12．能使分式的值为零的x取值是 x＝1 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．
解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得：x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛．如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 小亮 ．（填“小洋”或“小亮”）．
【分析】根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定．
解：由折线统计图可得，
小洋的波动大，小亮的波动小，
∴小亮的成绩更加稳定，
∴应选小亮．
故答案为：小亮．
【点评】本题考查方差与折线统计图，掌握折线统计图的意义是解答本题的关键．
14．关于x的方程＝﹣2的解为正数，则a的取值范围为 a＜5且a≠3 ．
【分析】解分式方程，用含a的代数式表示出x，根据解为正数得不等式，求解后确定a的取值范围．
解：去分母，得2﹣（5﹣a）＝﹣2（x﹣1），
去括号，得2﹣5+a＝﹣2x+2，
整理，得2x＝5﹣a，
∴x＝．
若方程的解为正数，则＞0且≠1．
∴a＜5且a≠3．
【点评】本题考查了分式方程和不等式，掌握分式方程的解法和不等式的解法是解决本题的关键．
15．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，a2﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解a3﹣1＝ a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1） ＝ （a﹣1）（a2+a+1） ．
【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：a×a×（a﹣1）+1×1×（a﹣1）+1×a×（a﹣1）＝a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）；
原式两边提取a﹣1，可得原式＝（a﹣1）（a2+a+1）．
故答案为：a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）；（a﹣1）（a2+a+1）．
【点评】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．（1）因式分解：﹣9x2y+12xy2﹣4y3；
（2）利用因式分解计算：（﹣2）101+2100．
【分析】（1）先找出公因式﹣y，提出公因式，再用公式法进行因式分解即可；
（2）先统一底数，再提出公因式即可解答．
解：（1）﹣9x2y+12xy2﹣4y3
＝﹣y（9x2﹣12xy+4y2）
＝﹣y（3x﹣2y）2．
（2）（﹣2）101+2100
＝（﹣2）101+（﹣2）100
＝（﹣2）100×（﹣2）+（﹣2）100
＝（﹣2）100×[﹣2）+1]
＝2100×（﹣1）
＝﹣2100．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是找出式子中的公因式．
17．（1）化简：；
（2）先化简：，再从﹣1，0，1中取一个你喜欢的数代入求值．
【分析】（1）先将分式变形，然后通分，再化简即可；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后从﹣1，0，1中取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝a﹣1，
∵a＝0或1时，原分式无意义，
∴a＝﹣1，
当a＝﹣1时，原式＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．解方程：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘x（x+2）得出2（x+2）＝3x，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1），
方程两边都乘x（x+2），得2（x+2）＝3x，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，
所以x＝4是原方程的解，
即原方程的解是x＝4；
（2），
方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无解．
【点评】本题考查了分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0）．
（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 A ；
A.＞
B.＝
C.＜
（2）请证明你的选择．
【分析】（1）根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题；
（2）根据作差比较法，可以证明（1）中的结论成立．
解：（1）由题意可得，
＞，
故选：A；
（2）证明：﹣
＝
＝
＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴＞成立．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．
20．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．
（1）求两次所购数量分别是多少？（列分式方程求解）
（2）商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下150件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
【分析】（1）根据题意找出等量关系即第二批衬衫的单价﹣第一批衬衫的单价＝4元，列出方程，可求得两批购进衬衫的数量；
（2）设这笔生意盈利y元，可列方程为y+80000+176000＝58（2000+4000﹣150）+80%×58×150，可求出商厦的总盈利．
解：（1）设第一批购进x件衬衫，则第二批购进了2x件，
依题意可得：﹣＝4，
解得x＝2000．
经检验x＝2000是方程的解，
答：第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件；
（2）设这笔生意盈利y元，
可列方程为：y+80000+176000＝60（2000+4000﹣150）+80%×60×150，
解得y＝102200．
答：在这两笔生意中，商厦共盈利102200元．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．注意：求出的结果必须检验且还要看是否符合题意．
21．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 甲组 （填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 170cm 和 172cm ．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算；
（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；
（3）根据方差进行比较．
解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
则舞蹈队16名学生身高的中位数为m＝＝166（cm），众数为n＝165（cm），
故答案为：166，165；
（2）甲组学生身高的平均值是：＝164.8（cm），
甲组学生身高的方差是：×[（164.8﹣162）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣166）2+（164.8﹣166）2]＝2.16，
乙组学生身高的平均值是：＝165.4（cm），
乙组学生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣164）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，
∵25.04＞2.6，
∴甲组舞台呈现效果更好．
故答案为：甲组；
（3）∵168，168，172的平均数为（168+168+172）＝169（cm），
且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
∴数据的差别较小，
可供选择的有170cm，172cm，
平均数为：（168+168+170+172+172）＝170（cm），
方差为：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜，
∴选出的另外两名学生的身高分别为170cm和172cm．
故答案为：170cm，172cm．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为16＝52﹣32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．
则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有 奇数 都是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；
（2）继续探究，他们发现8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4k（k≥2，且k为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想；
（3）根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．
【分析】（1）由小明的探究可得，2k+1（k≥1，且为整数）是除1外，所有的奇数．根据探究可求得11、15的智慧分解；
（2）借助小明的探究思路，可证猜想；
（3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数．
【解答】（1）解：∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1（k≥1，且k为整数），
∴智慧数是除1外所有的奇数，
（5+1）2﹣52＝62﹣52＝（6+5）（6﹣5）＝11，
（7+1）2﹣72＝82﹣72＝（8+7）（8﹣7）＝15，
故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8；
（2）证明：设 k≥2，且k为整数，
∵8＝32﹣12＝（2+1）2﹣（2﹣1）2＝（2+1+2﹣1）（2+1﹣2+1），12＝42﹣22＝（3+1）2﹣（3﹣1）2＝（3+1+3﹣1）（3+1﹣3+1），
∴（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；
（3）解：据探究得，智慧数是奇数时k≥1，且k为整数，智慧数是4的倍数时，k≥2且k为整数，
∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，
（2023﹣1）÷3＝674，
4×（674+1）＝2700，
∴第2023个智慧数是2700，
∵2700能被4整除，
∴2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）．
【点评】本题考查了对因式分解的推理，掌握对因式分解的反推是本题的关键．
23．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：；
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞﹣3时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0＜x＜1时，直接写出代数式值的取值范围是 1＜＜2 ．
【分析】（1）由的变化情况，判断2+、的变化情况即可；
（2）由＝2+，即可求解；
（3）由＝3+，再结合x的取值范围即可求解．
解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，2+的值减小，＝3+的值减小；
故答案为：减小，减小；
（2）∵＝2+，
∴当x＞﹣3时，的值无限接近0，
∴的值无限接近2；
（3）∵＝3+，
∵0＜x＜1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴1＜＜2．
故答案为：1＜＜2．
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
年龄/岁
12
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
2
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…
年龄/岁
12
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
2
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…