河南省信阳市潢川县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河南省信阳市潢川县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程2x2﹣5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，5，6B．2，﹣5，﹣6C．2，5，﹣6D．5，2，﹣6
3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．若点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
5．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
7．在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是（ ）
A．x （x+1）＝110B．x （x﹣1）＝110
C．2x （ x+1）＝110D．x （x﹣1）＝110×2
8．由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣4
C．其顶点坐标为（4，2）
D．当x＞4时，y随x的增大而增大
9．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；
（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点．连接OQ与半圆交于点D；
（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①BD平分∠ABC；②∠DAB＝67.5°；③CE＝OE；④BC∥OD．
所有结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是 ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为 °．
13．请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ．
14．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解方程：
（1）8x＝2x2；
（2）x2﹣16＝2（x+4）．
17．（8分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣2＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2经过原点，求a的值．
19．（8分）下面是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程：
已知：∠MON．
求作：射线OP，使得OP平分∠MON．
作法：如图，
①在射线OM上任取一点A，以A为圆心，OA长为半径作圆，交OA的延长线于点B；
②以O为圆心，OB长为半径作弧，交射线ON于点C；
③连接BC，交⊙A于点P，作射线OP．
射线OP就是要求作的角平分线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OB是⊙A的直径，点P在⊙A上，
∴∠OPB＝90° （ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥BC．
∵OB＝OC，
∴OP平分∠MON （ ）（填推理的依据）．
20．（12分）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）与x轴的交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ；
（3）在坐标系中画出此抛物线；
（4）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ；
（5）若抛物线与x轴的交点记为A，B，该图象上存在一点C，且△ABC的面积为6，请直接写出点C的坐标 ．
21．（8分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150．
（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
22．（11分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
23．（12分）如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．
（1）求证：△OC1M≌△OA1E；
（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；
（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
2022-2023学年河南省信阳市潢川县九年级（上）期中数学答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．
解析：解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
2．
解析：解：方程整理得：2x2﹣5x﹣6＝0，
则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣5，﹣6，
故选：B．
3．
解析：解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
4．
解析：解：点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（﹣2，3），
故选：C．
5．
解析：解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝20cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得：OB＝25；
故轮子的半径为25cm．
故选：C．
6．
解析：解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
7．
解析：解：设参加聚会的有x名学生，
根据题意得：
x（x﹣1）＝110，
故选：B．
8．
解析：解：∵y＝3（x﹣4）2﹣2，
∴抛物线开口向上，故A不正确，不符合题意；
对称轴为直线x＝4，故B不正确，不符合题意；
顶点坐标为（4，﹣2），故C不正确，不符合题意；
当x＞4时，y随x的增大而增大，故D正确，符合题意；
故选：D．
9．
解析：解：由作法得PO垂直平分AB，OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝90°，AOD＝∠COD＝45°，
∵∠ABD＝∠AOD＝22.5°，∠CBD＝∠COD＝22.5°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，所以①正确；
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣22.5°＝67.5°，所以②正确；
过E点作EH⊥BC于H点，如图，
∵BE平分∠OBC，EO⊥BO，EH⊥BC，
∴EO＝EH，
∵CE＞EH，
∴CE＞OE，所以③错误；
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，所以④正确．
故选：C．
10．
解析：解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（5，0），
所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．
解析：解：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是：Δ＝b2﹣4ac．
故答案是：Δ＝b2﹣4ac．
12．
解析：解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，
∵∠AOC＝∠B，
∴∠B＝2∠D，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠D+2∠D＝180°，
解得，∠D＝60°，
故答案为：60．
13．
解析：解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
14．
解析：解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案为：﹣1或2或1．
15．
解析：解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．
解析：解：（1）8x＝2x2，
2x2﹣8x＝0，
2x（x﹣4）＝0，
∴2x＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝0，x2＝4；
（2）x2﹣16＝2（x+4），
（x+4）（x﹣4）﹣2（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣4﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝6．
17．
解析：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
18．
解析：（1）证明：Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2）
＝4a2﹣4a2+8
＝8，
∵8＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2经过原点，
∴0＝a2﹣2
解得：，
∴a的值为．
19．
解析：（1）解：如图，射线OP即为所求；
（2）证明：∵OB是⊙A的直径，点P在⊙A上，
∴∠OPB＝90° （直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥BC．
∵OB＝OC，
∴OP平分∠MON （等腰三角形的三线合一）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的三线合一．
20．
解析：解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；
故答案为：x＝1，（1，﹣4）；
（2）当y＝0时，
x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），
当x＝0时，
y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；
故答案为：（3，0）和（﹣1，0），（0，﹣3）；
（3）如图所示，
（4）由函数图象可知，
当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣4≤y＜0；
故答案为：﹣4≤y＜0；
（5）设点C的纵坐标为yC，
则，
∴，
解得：yC＝3，
把yC＝3代入y＝x2﹣2x﹣3中得，
x2﹣2x﹣3＝3，
解得：，
∴点C的坐标或．
故答案为：或．
21．
解析：解：（1）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500，
即每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+200x﹣1500；
（2）∵w＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500，
∴当x＝20时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．
22．
解析：解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点A，有16a+3＝2．
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令y＝0，得．
解得，（C在x轴正半轴，故舍去）．
∴点C的坐标为（，0）．
∴．
由，可得．
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
23． 解析：（1）证明：∵正方形OABC，
∴∠A1OE+∠A1OM＝∠C1OM+∠A1OM＝90°，
∴∠A1OE＝∠C1OM，
在△OC1M和△OA1E中，，
∴△OC1M≌△OA1E（ASA）；
（2）解：∵△OC1M≌△OA1E（已证），
∴OE＝OM，
在△EON和△MON中，，
∴△EON≌△MON（SAS），
∴EN＝MN，
∴△OMN的边MN上的高等于△OEN边EN上的高，即OA1的长a，为定值；
（3）p不会发生变化，是定值2a．
理由如下：根据（1）（2），△OC1M≌△OA1E，△EON≌△MON，
∴MN＝EN，A1E＝C1M，
∴△MNB1的周长p＝MN+NB1+MB1，
＝EN+NB1+MB1，
＝EB1+MB1，
＝A1E+A1B1+MB1，
＝C1M+A1B1+MB1，
＝A1B1+B1C1，
∵正方形OABC的边长为a，
∴A1B1＝B1C1＝a，
∴p＝2a，是定值．