2024无锡江阴四校高二上学期期中联考试题数学含答案

这是一份2024无锡江阴四校高二上学期期中联考试题数学含答案，共10页。试卷主要包含了已知向量，若，则实数的值为， 国家体育场cm，ABC 10等内容，欢迎下载使用。

考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。
一．单项选择题：（本题包括8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知直线l的方程为x+3y−2=0，则直线的倾斜角为（ ）
A. −30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 8 B. 7 C. D. 14
3.若圆x2+y2=1与圆x−42+y−a2=16有3条公切线，则a=（ ）
A. −3 B. 3 C. 3或−3 D. 5 （题4图）
4. 国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A. 12 B. 24 C. 10 D. 103
5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.B.C．D．
6.若直线y＝-x＋b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A． B． C． D．
7. 设F是椭圆 x24+y23=1上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线x+3y−12=0上的动点，则|PA|−|PF|的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
8. 长方体ABCD−A'B'C'D'中，AB=BC=2，AA'=3，上底面A'B'C'D'的中心为O'，当点E在线段CC'上从C移动到C'时，点O'在平面BDE上的射影G的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分）．
9．下列说法错误的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为
B．直线在y轴上的截距为3
C．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
D．过两点，的直线的方程都可以表示为
下面四个结论正确的是（ ）
A．若A，B，C三点不共线，面ABC外任一点O，有OM=13OA+13OB+13OC，则M，A，B，C四点共面
B．有两个不同的平面α，β的法向量分别为u，v，且u=(1,2,−2)，v=(−2,−4,−4)，则α∥β
C．已知向量a=(1,1,x)，b=(−3,x,9)，若x<310，则a,b为钝角
D．已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若m,n=23π，则l与α所成角为π6
11．已知点P为圆C:(x−2)2+(y−3)2=1(C为圆心)上的动点，点Q为直线l:kx−y−3k+5=0上的动点，则下列说法正确的是( )
A．若直线l:kx−y−3k+5=0平分圆C的周长，则k=2
B．点C到直线l的最大距离为5
C．若圆C上至少有三个点到直线l的距离为12，则
D．若k=−1，过点Q作圆C的两条切线，切点为A，B，当QC⋅AB最小时，则直线AB的方程为3x+3y−17=0
12．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，ΔABC是直角三角形，且AC=BC=1，AA1=3，E为B1C的中点，点F是棱A1C1上的动点，点P是线段A1B上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积是20π
B．异面直线AB与B1C所成角的余弦值是24
C．当点P是线段A1B的中点时，三棱锥P−B1CF的体积是312
D．PE+PF的最小值是2
填空题：（本题包含4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知，若，则 ．
14．已知圆M:(x−2)2+(y−2)2=5过点D(3,0)的直线l被圆M截得的弦长为4，则直线l的方程为 . .
15．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若圆心在坐标原点，直径为a的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，请写出一个以(±3，0)为焦点的“圆椭圆”方程 ．
16． 经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作倾斜角为60°的直线AB，交椭圆于A，B两点，若AB=a，则椭圆的离心率为 ．
解答题：（本大题包含6大题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．
（本小题满分10分）
已知 ∆ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−7=0．
(1)求顶点C的坐标. （2）求直线BC的方程.
（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、B两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.
（本小题满分12分）
如图，在矩形和中，，，，，，，记.
将用，，表示出来；
当时求与夹角的余弦值；
(2)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）
已知圆C：，直线l：．
（1）若直线l被圆C截得的弦为AB，求弦AB长度的最小值；
（2）已知点P是圆C上任意一点，在直线上是否存在两个定点M，N，使得？若存在，分别求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，∆ABC是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点P(−1,−1)且与x轴平行的直线与椭圆E恰有一个公共点，过点P且与y轴平行的直线被椭圆E截得的线段长为3．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设过点P的动直线与椭圆E交于M，N两点，T为y轴上的一点，设直线MT和NT的斜率分别为k1和k2，若1k1+1k2为定值，求点T的坐标．
2023—2024学年度秋学期四校期中联考答案
高二数学
单选
D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.A
多选
9.ABC 10.AD 11.ACD 12.BC
填空题：
2 ．
14． x=3或3x+4y-9=0 . .
15． （答案不唯一） ．
16． 277 ．
解答题：
17.⑴ ∵边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−7=0
∴kAC⋅kBH=−1,且∴kBH=12，∴kAC=−2……………2分
∵ΔABC的顶点A5,1，∴直线AC方程;y−1=−2x−5,即2x+y−11=0
与2x−y−5=0联立，&2x+y−11=0&2x−y−5=0,解得：&x=4&y=3，∴顶点C的坐标为4,3…………… 5分
⑵∵CM所在直线方程为2x−y−5=0，设点Mm,2m−5
∵M是AB中点，A5,1，∴B2m−5,4m−11
∵B2m−5,4m−11在BH所在直线方程为x−2y−7=0上
∴2m−5−24m−11−7=0,解得：m=53,B−53，−133…………… 8分
∴BC的方程为：y−3=2217x−4,即22x−17y−37=0…………… 10分
18.解：（1）设椭圆的半焦距为，，，
的最大面积为，，
，分
，
椭圆的方程为；分
（2）由题知，设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得：，
∴，得，分
，，分
∴，
设，，
在上单调递增，在单调递减，
∴当时，，
故分
19.解：（1）因为，，，
记，所以，且，，
由空间向量的线性运算法则，可得
分
（2）当时，
分
（3）假设存在使得平面，故，，
由（1）知，,
可得分
由，得分
化简得，解得，满足条件.
故存在，使得平面分

解：（1）因为直线l：，即，可知直线l过定点分
且，即定点在圆C内，直线l与圆C相交，
又因为圆C：，即，则圆心，半径，
如图，易得．分
（2）满足题意的定点M，N存在，证明如下：
设，，，
因为，等式两边平方得．
又因为，整理得．分
所以，解得或，
所以满足题意的定点为，或，．分
（本小题满分12分）
（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面分
（2）在三棱锥中，连接，
因为为中点，是以为斜边的等腰直角三角形，则，
由（1）知，平面，所以以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意知，，又，则，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，分
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为分
（3）如（2）建系及图可知，平面的法向量为，平面的法向量为，，
设，则，，
因为平面，面，
所以，解得，
所以，
又因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，分
又为内的动点（含边界），
所以，解得，
所以（），分
令，则，（） ，
所以=
=
因为
所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为分
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得b＝1，且1a2+y2=1，可得y=1−1a2，由题意可得21−1a2=3，
可得a2=4，所以椭圆的方程为：x24+y2=1；分
（2）设T(0,t)，显然直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为：x=m(y+1)−1=my+m−1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+m−1x2+4y2=4，整理可得：(4+m2)y2+2m(m−1)y+(m−1)2−4=0，
∆=4m2(m−1)2−4(4+m2)[(m−1)2−4]>0，即m>52，
y1+y2=−2m(m−1)4+m2，y1y2=(m−1)2−44+m2=m2−2m−34+m2，分
由题意可得1k1+1k2=x1y1−t+x2y2−t=(my1+m−1)(y2−t)+(my2+m−1)(y1−t)(y1−t)(y2−t)
=2my1y2+(−mt+m−1)(y1+y2)−2t(m−1)y1y2−t(y1+y2)+分
=2m(m2−2m−3)−(−mt+m−1)∙2m(m−1)−2t(m−1)(4+m2)m2−2m−3+2tm(m−1)+t2(4+m2)
=−8m(t+1)+8t(t+1)2m2−2(t+1)m+4t2−3＝，因为其值为定值，所以t=−1时，定值为－8，
所以T(0,−1)分