3.3.2+抛物线的简单几何性质（七大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份3.3.2+抛物线的简单几何性质（七大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册），文件包含332抛物线的简单几何性质七大题型原卷版docx、332抛物线的简单几何性质七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共89页， 欢迎下载使用。
题型一：抛物线的几何性质
题型二：直线与抛物线的位置关系
题型三：中点弦问题
题型四：焦半径问题
题型五：弦长、面积问题
题型六：定点定值问题
题型七：最值问题
【知识点梳理】
知识点一、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
对称性：关于x轴对称
抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
顶点：坐标原点
抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．
离心率：．
抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，．
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比
知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．
知识点三、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为．
1、抛物线，．
2、抛物线，．
3、抛物线，．
4、抛物线，．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
知识点四、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点．
（2）直线的斜率存在．
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
知识点五、直线与抛物线相交弦长问题
1、弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2），
（3）直线的方程为．
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型例题】
题型一：抛物线的几何性质
例1．（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（ ）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为
例2．（多选题）（2023·高二校考课时练习）下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在x轴上
B．焦点到准线的距离等于10
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
例3．（多选题）（2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．
C．
D．若直线的倾斜角为，且，则
变式1．（多选题）（2023·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
变式2．（多选题）（2023·甘肃兰州·高二校考期末）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴
变式3．（多选题）（2023·高二课前预习）已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4yB．x2＝－4y
C．x2＝2yD．x2＝－2y
变式4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：直线与抛物线的位置关系
例4．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？
例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.
例6．（2023·高二课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
变式5．（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程.
（2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合.
变式6．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
题型三：中点弦问题
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长
例8．（2023·高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
例9．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .
变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
变式8．（2023·云南昆明·高二安宁中学校考阶段练习）已知A，B为抛物线C:上的两点，，若M为线段AB的中点，则直线AB的方程为 .
变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ．
变式10．（2023·吉林长春·高二统考期末）过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段的中点，则直线的方程是 ．
题型四：焦半径问题
例10．（2023·高二课时练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A．4B．C．8D．
例11．（2023·云南昭通·高二校考期中）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（ ）

A．2B．C．5D．
例12．（2023·全国·高二专题练习）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·全国·高二专题练习）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线轴相切
C．为定值
D．若，则
变式14．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高二期中）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（ ）
A．8B．16C．24D．32
变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
变式17．（2023·高二课时练习）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．8
变式18．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（ ）
A．4B．C．D．
题型五：弦长、面积问题
例13．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求的面积（为坐标原点）.
例14．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过其焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点，求的长．
例15．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知直线：恒过抛物线的焦点F，
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
变式19．（2023·高二课时练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.
变式20．（2023·高二课时练习）已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求线段AB的长及的面积.
变式21．（2023·陕西西安·高二校考开学考试）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
变式22．（2023·高二单元测试）已知抛物线的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由．
变式23．（2023·高二单元测试）已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．
题型六：定点定值问题
例16．（2023·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.
(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．
例17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.
例18．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
变式24．（2023·江苏南京·高二校考阶段练习）已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
变式26．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式27．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.
变式28．（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.
变式29．（2023·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
题型七：最值问题
例19．（2023·全国·高二专题练习）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
例20．（2023·高二课时练习）如图所示，P是抛物线上的动点，点B，C在y轴上，圆内切于，求的面积的最小值.

例21．（2023·全国·高二期中）设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
变式30．（2023·上海·高二期末）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；
(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．
变式31．（2023·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值；
(2)设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，求面积的最小值．
变式32．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.
(1)求点的坐标；
(2)设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
变式33．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
变式34．（2023·黑龙江·高二统考期中）如图，已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的准线与轴的交点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）求的最大值.
变式35．（2023·陕西延安·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且点．
(1)求的值；
(2)求的最大值．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（ ）
A．44B．4C．4或44D．1或4
3．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东江门·高三校联考阶段练习）已知圆与轴相交于E，F两点，与抛物线相交于A，B两点，若抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（ ）
A．48B．24C．12D．36
6．（2023·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知抛物线：的焦点为，准线与坐标轴交于点，过点的直线与及准线依次相交于，，三点（点在点，之间），若，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北石家庄·高三校联考期中）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．
二、多选题
9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是B．
C．当时，D．
11．（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为B．
C．的最小值为D．的最小值为
12．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．以MF为直径的圆与轴相切
C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点．若，则 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上三点，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为
15．（2023·浙江·模拟预测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，从点分别向准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则弦的长为 .
16．（2023·高二课时练习）设是抛物线上任意一点，是直线上任意一点，记，则 .
四、解答题
17．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
18．（2023·全国·高二随堂练习）有一条光线沿直线从右向左射到拋物线上的一点，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的另一个交点是，是抛物线的顶点，是抛物线的焦点，求弦的斜率和的面积.
19．（2023·高二课时练习）已知抛物线，p为方程的根.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
21．（2023·河南·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．
(1)若线段中点的横坐标为2，求线段的长；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
图形
标准方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径