专题03+均值不等式基础方法15类总结-2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

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目录
一、热点题型归纳
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17702" 【题型一】对勾型 PAGEREF _Tc17702 2
\l "_Tc1472" 【题型二】 添加常数构造“对勾型” PAGEREF _Tc1472 3
\l "_Tc5236" 【题型三】“和定求积”型 PAGEREF _Tc5236 5
\l "_Tc18433" 【题型四】“积定求和”型 PAGEREF _Tc18433 6
\l "_Tc23248" 【题型五】单元（单变量）分离常数型 PAGEREF _Tc23248 7
\l "_Tc29870" 【题型六】“常数”因子法： PAGEREF _Tc29870 8
\l "_Tc24612" 【题型七】“单分母”构造因子法 PAGEREF _Tc24612 9
\l "_Tc8903" 【题型八】“双分母”构造法 PAGEREF _Tc8903 11
\l "_Tc31549" 【题型九】有和有积无常数型 PAGEREF _Tc31549 12
\l "_Tc17000" 【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 PAGEREF _Tc17000 14
\l "_Tc9774" 【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型 PAGEREF _Tc9774 15
\l "_Tc3642" 【题型十二】多元分离型 PAGEREF _Tc3642 16
\l "_Tc7790" 【题型十三】反解消元型 PAGEREF _Tc7790 18
\l "_Tc19838" 【题型十四】换元型 PAGEREF _Tc19838 19
\l "_Tc14135" 【题型十五】较简单的三元均值 PAGEREF _Tc14135 21
\l "_Tc4990" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc4990 23
\l "_Tc30657" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc30657 27
\l "_Tc20321" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc20321 30
知识点综述：
基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.常用不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；
4.重要不等式链：eq \r(,eq \f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)；
【题型一】对勾型
【典例分析】
（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C
【题型二】 添加常数构造“对勾型”
【典例分析】
（2022·吉林延边·高一期末）已知，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.故选：D.

【变式训练】
1.．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若在处取得最小值，则（ ）
A．1B．3C．D．4
【答案】B
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
2.（2022·全国·高一课时练习）若实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将原式变形为，然后利用基本不等式求解出的最小值.
【详解】因为，
取等号时且，即，所以的最小值为，
故选：B.
3.（2021·江苏·高一专题练习）设，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解
【详解】，
，
，
当且仅当，
即时取等号
故选：A

【题型三】“和定求积”型
【典例分析】
（2022·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为（ ）
A．B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【详解】因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B

【变式训练】
1.（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）若，则当取得最大值时，x的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，则，
当且仅当时取“=”.
故选：D.
2.．（2021·全国·高一课时练习）若，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】直接根据基本不等式求最值．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，
当且仅当时，取“=”，故选：D．
3.（2021·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36B．4C．16D．9
【答案】D
【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故选：D.
【题型四】“积定求和”型
【典例分析】
（2021·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由基本不等式求解．
【详解】因为，
所以，，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
【变式训练】
1.（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】利用均值不等式即可得解.
【详解】由均值不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是2.
故选：B.
2.（2021·新疆·巴楚县第一中学高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，正实数且，可得，
则，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值是.故选：B.
【题型五】单元（单变量）分离常数型
【典例分析】
（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【分析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D
【变式训练】
1.（2021·全国·高一课时练习）若，则有（ ）
A．最小值2B．最大值2C．最小值D．最大值
【答案】D
【分析】先将转化为，根据－40，y>0，且xy=10，所以，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为4，故选：C
5.（2021·湖北·宜都二中高一期中）已知则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：C.
6.（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求的最小值即可，注意等号成立的条件.
【详解】由已知得：，且，
∴当且仅当时等号成立.
故选：B.
7.（2021·福建·莆田一中高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由展开利用基本不等式可求解.
【详解】因为，，，则，
所以
，当且仅当等号成立，
所以的最小值为.故选：C.
8.（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.
【详解】由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
9.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室高一期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为3.故选：A.
10.（2021·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意可得，从而可求得答案.
【详解】解：因为，所以，
即，则，
所以，又，所以，所以最大为3.
故选：C.
11.（2021·全国·高一期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号．
，解得或（舍去），
所以，即的最小值.4．此时．
故选：C．
12.（2021·全国·高一专题练习）已知正数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
因此
，
（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
所以.
故选：B.
13.（2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.故选：A.
14.（2022·全国·高一课时练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.
15.（2022·全国·高一）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】由题设可得，根据已知应用基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题设，，∴，又x，y，z为正实数，则，
∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值是4.故选：A
培优第二阶——能力提升练
1.（2021·广东·广州市真光中学高一期中），在处取最小值，则（ ）
A．1B．C．3D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解，注意“一正二定三相等”，求出的值
【详解】∵
∴有基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立
故选：C
2.（2021·天津·油田三中高一阶段练习）函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3B．3
C．6D．6－3
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当时等号成立.故选：.
3.（2021·全国·高一课时练习）已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）
A．25B．50C．20D．
【答案】B
【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.
【详解】由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
4.（2020·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高一期中）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．10B．20C．15D．25
【答案】B
【解析】根据题中条件，由基本不等式，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
5.（2021·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C
6.（2021·浙江·高一单元测试）已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式可求的最小值，从而可求实数的取值范围.
【详解】因为，故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故，
故选：D.
7.（2021·河北正中实验中学高一期中）已知，且 ，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
，
当且仅当，即，又，所以时，等号成立.
故选：C
8.（2022·全国·高一单元测试）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.故选：.
9..（2021·全国·高一课时练习）若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（ ）
A．9B．8C．6D．3
【答案】C
【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.”
【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，
∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3.
故选：C.
10.（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
【答案】D
【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.
【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
11.（2021·广东·执信中学高一期中）已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，，求的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式即可.
【详解】解：正实数，满足等式
（当且仅当时取等号）令则
或（舍弃）故选：．
12.（2021·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知两正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：B
13.（2021·广东·华南师大附中高一期中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ）
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
【答案】D
【分析】根据，变形为，然后由可得，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D.
14.（2021·湖北黄石·高一阶段练习）实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】C
【分析】令，，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】令，，则，，且，，，
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以的最小值是，故选：C.
15.（2022·全国·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
【答案】B
【分析】根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值．
【详解】解：根据 ，当且仅当时，取等号，
化简可得，因为，所以，，
所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，
又因为恒成立，所以，即k的最大值是4
培优第三阶——培优拔尖练
1.（2022·重庆巫山·高一期末）已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意可知，为真命题，
由于时等号成立，
所以.
故选：D
2.．（2021·全国·高一专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）
A．（－1，4]B．（0，4）C．（0，4]D．（1，4]
【答案】C
【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.
【详解】由题意可得对任意恒成立，
由，可得，
当且仅当即时，取得等号，则，解得.
故选：C.
3.（2022·全国·高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，所以故选：D.
4.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时取等号.所以的最大值为.故选：C
5.（2022·全国·高一课时练习）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】令，所以，
设，，
函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，
因为，，所以函数在时，最大值为，
要想不等式在区间上有解，只需，
故选：C
6.（2021·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（ ）
A．－B．C．D．－4
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】解析因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)
＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，
因此有－－≤－，即－－的上确界为－．故选：A
7.（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】因为，所以，所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故选：A
8.（2022·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
9.（2022·全国·高一课时练习）已知，条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.
【详解】因为，由得：，
则，
当且仅当，即时取等号，因此，，
因，，由，取，则，，即，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
10.（2021·江苏·高一单元测试）若正实数，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对等式直接利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】，
，
当且仅当，即等号成立，
故选：B
11..（2020·江苏省震泽中学高一阶段练习）若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】解：，又，，令，
则，，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．故选：A．
12.（2021·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.
【详解】因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.故选：D
·13.（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解.
【详解】根据题意可得，由，所以，
由，可得，即，
，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.
14.（2021·全国·高一专题练习）已知实数，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】用换元法，设，化简后用基本不等式得最小值．
【详解】因为，设，则，
．
当且仅当且即，，时等号成立，
故选：D．
15.（2021·江苏·高一专题练习）已知，，，则 的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用 ，然后利用，将化为，再利用基本不等式求出其最小值，从而得到，再化为积为定值的形式后根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为，，，且，
则 ，
由，可得，
当且仅当时，取得等号，
则，当且仅当时，取得等号，则所求的最小值为．
故选：D
【提分秘籍】
基本规律
对勾型：，
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如
1.
2.
【提分秘籍】
基本规律
对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化
【提分秘籍】
基本规律
如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)
【提分秘籍】
基本规律
如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)
【提分秘籍】
基本规律
分离常数可以从两方面考虑：
1.以分母为主元构造分子
2.直接换元分母（一般式一次型）
【提分秘籍】
基本规律
利用常数代换法。多称之为“1”的代换
【提分秘籍】
基本规律
以分式分母为主元进行构造
【提分秘籍】
基本规律
一般情况下，可以把分母相加（或者倍系数后再相加），与条件所给的 等式，存在倍数关系
【提分秘籍】
基本规律
利用同除，可以得到“1”的代换形式均值
【提分秘籍】
基本规律
求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。
【提分秘籍】
基本规律
求“和”，对“积”用均值，化为关于“和”的一元二次不等式，解不等式可得。
此类题型的基础形式，多是所求的“和”与所给的“和”是相同的。不然，此法不成立。
【提分秘籍】
基本规律
多元分式型，构造分母达到分离的目的。
换元构造
常数代换狗仔
凑配构造
【提分秘籍】
基本规律
反解代入：
多元变量有二次有一次，反解一次代换消元为单变量式子
有些高次可以因式分解，然后再反解代入。达到消元的目的
【提分秘籍】
基本规律
1.复杂的分式型，可以把分母换元（双换元），达到化简的目的。
2.能因式分解的高次多元式子，可以借助因式分解后再换元化简