江西省吉安市六校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江西省吉安市六校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了下列各点中，点M等内容，欢迎下载使用。
1．下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．8cm，8cm，14cm
C．6cm，7cm，11cmD．1cm，2cm，4cm
3．下列各点中，点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
4．如图，△ABC≌△AEF，则∠EAC等于（ ）
A．∠BAFB．∠CC．∠FD．∠CAF
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．将一张正方形按图1，图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，DF，则∠BFD的度数为 ．
8．如图，△ABC中，若AC＝AD＝DB，且∠BAC＝108°，则∠ADC＝ ．
9．如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是 ．（写出一种情况即可）
10．斜边和一条 分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”）．
11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 ．
12．△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，△ABD和△BCD是等腰三角形，那么∠BAC的度数是 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A＝∠2，∠1＝∠B．
（1）判断△ABC的形状；
（2）判断CD是否与AB垂直．
14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为 ；
（2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
15．A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3），根据下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点；
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置．
16．如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长BD、CE交于点P．求∠BPC的度数．
17．平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
①AB的长为 ； ②点C的坐标为 ；
②你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请画出M点，并求出M的坐标，并直接写出△MDB周长的最小值；如果不能，说明理由．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数．
19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝6，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
20．（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC＝ ；②线段AD，BE之间的数量关系 ；
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝12，DE＝7，求AB的长度；
（3）如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝4，CP＝3，DP＝7，求BD的长．
21．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBF；
（2）当A、E、F三点共线时，如图2，若BF＝2，求AF的长；
（3）如图3，若∠BAD＝15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE＝30°时，求△DEF的面积．
22．如图，等边△ABC的边长为6cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？
（3）当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如能，请求出此时点M、N运动的时间．
23．【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为 ；∠BEC＝ °；
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？说明你的理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，DE为△ABC的中位线，将△CDE绕点C旋转，当DE所在直线经过点A时，求BE的长．（直接写出答案）
2022-2023学年江西省吉安市六校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．8cm，8cm，14cm
C．6cm，7cm，11cmD．1cm，2cm，4cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＞5，能摆成三角形，不符合题意；
B、8+8＞14，能摆成三角形，不符合题意；
C、6+7＞11，能摆成三角形，不符合题意；
D、1+2＜4，不能摆成三角形，符合题意．
故选：D．
3．下列各点中，点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（1，2）．
故选：A．
4．如图，△ABC≌△AEF，则∠EAC等于（ ）
A．∠BAFB．∠CC．∠FD．∠CAF
【分析】根据全等三角形的性质可得∠CAB＝∠FAE，再利用等式的性质可得∠CAE＝∠FAB．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴∠CAB＝∠FAE，
∴∠EAF﹣∠CAF＝∠BAC﹣∠CAF，
∴∠CAE＝∠FAB，
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据高定义求出∠CDB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠A，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝2BD，AB＝2BC，再把BD＝1代入求出即可．
【解答】解：∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∵∠BCD＝30°，BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，∠B＝90°﹣∠BCD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
故选：C．
6．将一张正方形按图1，图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】可以动手具体操作一下看看，可以直观形象的得到答案．
【解答】解：由于图3的虚线平行于底边，剪去的三角形后，展开的是矩形，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
7．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，DF，则∠BFD的度数为 60° ．
【分析】根据正多边形的性质，由六边形ABCDEF是正六边形ABCDEF，得∠A＝∠AFE＝120°，AB＝AF，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理推断出∠ABF＝∠AFB＝30°，进而解决此题．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠AFE＝120°，AB＝AF．
∴∠ABF＝∠AFB．
∴∠ABF+∠AFB＝180°﹣∠A＝60°．
∴∠ABF＝∠AFB＝30°．
同理，∠EFD＝30°．
∴∠BFD＝∠AFE﹣（∠AFB+∠EFD）＝120°﹣（30°+30°）＝60°．
故答案为：60°．
8．如图，△ABC中，若AC＝AD＝DB，且∠BAC＝108°，则∠ADC＝ 48° ．
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝108°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝108°，
∴∠DAC＝108°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+108°﹣＝180°，
解得：α＝48°．
故答案为：48°．
9．如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是 OA＝OB（或∠A＝∠B或∠C＝∠D） ．（写出一种情况即可）
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，只要添加一个符合的条件即可．
【解答】解：已知OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
添加OA＝OB，利用SAS可得△AOC≌△BOD，
添加∠A＝∠B，利用AAS可得△AOC≌△BOD，
添加∠C＝∠D，利用ASA可得△AOC≌△BOD，
故答案为：OA＝OB（或∠A＝∠B或∠C＝∠D）．
10．斜边和一条 直角边 分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ”）．
【分析】根据直角三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
故答案为：直角边；斜边、直角边；HL．
11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 18 ．
【分析】由EF垂直平分线段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，最小值就是线段AD的长，即可求解．
【解答】解：连接MA，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴DM+MC＝AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵AD＝13，
∴DM+MC的最小值就是线段AD的长，
∴△CDM周长的最小值为DM+MC+CD＝13+5＝18，
故答案为：18．
12．△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，△ABD和△BCD是等腰三角形，那么∠BAC的度数是 36°或（）°． ．
【分析】分为两种情况：当AD＝BD，BD＝BC时，根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，推出∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，求出∠C＝∠ABC＝2∠A，根据三角形内角和定理求出即可；当AD＝BD，BC＝DC时，设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：当AD＝BD，BD＝BC时，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵△ABD和△BCD是等腰三角形，
∴AD＝BD，BD＝BC，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
即∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠BAC＝36°；
当AD＝BD，BC＝DC时，
设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°，
在△BDC中，2x+2x+3x＝180，
x＝，
则∠BAC＝（）°，
故答案为：36°或（）°．
三．解答题（共11小题）
13．如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A＝∠2，∠1＝∠B．
（1）判断△ABC的形状；
（2）判断CD是否与AB垂直．
【分析】（1）证出∠ACB＝90°，则可得出结论；
（2）求出∠CDB＝90°，可得出CD⊥AB．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．
∵∠A＝∠2，∠1＝∠B，
∴∠A+∠2+∠1+∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）CD⊥AB．
∵∠A+∠B＝90°，∠A＝∠2，
∴∠2+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．
14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为 22.5° ；
（2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解答】解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，
∴∠BAD＝45°，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，
∴∠2＝22.5°；
故答案为：22.5°．
（2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
15．A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3），根据下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点；
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置．
【分析】（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；
（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．
【解答】解：（1）存在满足条件的点C，如图所示，C就是所要求的点；
（2）如图所示，P就是所要求的点．
16．如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长BD、CE交于点P．求∠BPC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，即可解决问题；
（2）结合（1）根据对顶角相等即可得∠BPC的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AMB＝∠PMC，
∴∠BPC＝∠BAC＝40°．
17．平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
①AB的长为 2 ； ②点C的坐标为 （﹣2，6） ；
②你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请画出M点，并求出M的坐标，并直接写出△MDB周长的最小值；如果不能，说明理由．
【分析】①过C点作CE⊥y轴于E点，如图，利用点A、B的坐标得到OA＝4，OB＝2，则利用勾股定理可计算出AB＝2，再证明△BCE≌△ABO得到CE＝OB＝2，BE＝OA＝4，从而得到C点坐标；
②作B点关于x轴的对称点F，则F（0，﹣2），连接DF交x轴于M，根据两点之间线段最短得到此时MD+MB的值最小，△MBD的周长最小，过DH⊥x轴于H点，如图，与①中的证明方法一样证明△ADH≌△BAO得到DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，则D（﹣6，4），接着利用待定系数法求出直线DF的解析式为y＝﹣x﹣2，则可确定M点的坐标为（﹣2，0），利用计算出DF和BD，从而得到△MDB周长的最小值．
【解答】解：①过C点作CE⊥y轴于E点，如图，
∵A、B两点坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝＝2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴CE＝OB＝2，BE＝OA＝4，
∴C（﹣2，6）；
故答案为：2；（﹣2，6）；
②作B点关于x轴的对称点F，则F（0，﹣2），连接DF交x轴于M，此时MD+MB的值最小，△MBD的周长最小，
过DH⊥x轴于H点，如图，
与①中的证明方法一样证明△ADH≌△BAO，
∴DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴D（﹣6，4），
设直线DF的解析式为y＝kx+b，
把D（﹣6，4），F（0，﹣2）分别代入得，
解得，
∴直线DF的解析式为y＝﹣x﹣2，
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝2，
∴M点的坐标为（﹣2，0），
∵DF＝＝6，DB＝AB＝×2＝2，
∴△MDB周长的最小值为6+2．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数．
【分析】通过“等边对等角”的性质，可以找出各角之间的关系，利用三角形内角和为180°求解即可．
【解答】解：设∠B＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°，
∵DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝x°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝2x°，
在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
解得x°＝36°，
∴∠B＝36°．
19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝6，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
【分析】（1）证明△ADE为等边三角形，可得结论；
（2）在BC上截取BH＝BE，证明两对三角形全等：△EBF≌△HBF，△CDF≌△CHF，可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，
又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴D、E分别是AC、AB的中点，
∴AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AE＝3；
（2）证明：在BC上截取BH＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴∠EFB＝∠HFB＝60°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝60°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFB＝120°，
∴∠CFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFD＝60°，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CHF（ASA）．
∴CD＝CH，
∵CH+BH＝BC，
∴BE+CD＝BC．
20．（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC＝ 120° ；②线段AD，BE之间的数量关系 AD＝BE ；
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝12，DE＝7，求AB的长度；
（3）如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝4，CP＝3，DP＝7，求BD的长．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数；
（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD＝BE＝AE﹣DE＝5，∠ADC＝∠BEC，求出∠BEC＝135°，得出∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．由勾股定理求出AB即可；
（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝4，∠BEC＝∠APC＝150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝3，求出∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE＝DP+PE＝10，再由勾股定理求出BD即可．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
故答案为：120°；
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
故答案为：AD＝BE．
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE＝AE﹣DE＝12﹣7＝5，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∴AB＝＝＝13；
（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：AP＝4，CP＝3，DP＝7
则△BEC≌△APC，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝4，∠BEC＝∠APC＝150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝3，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，
∵∠APD＝30°，
∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，
又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE＝DP+PE＝7+3＝10，
在Rt△BDE中，BD＝＝＝2，
即BD的长为2．
21．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBF；
（2）当A、E、F三点共线时，如图2，若BF＝2，求AF的长；
（3）如图3，若∠BAD＝15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE＝30°时，求△DEF的面积．
【分析】（1）证明△ACE≌△BCF（SAS），即可解决问题；
（2）先由全等三角形的性质和三角形的外角性质，证出∠ACD＝∠DFB＝90°，再由勾股定理即可解决问题；
（3）作FH⊥BC于H．先证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，再求出CF，FB，FH的长，然后根据S△DEF＝S△ECD+S△CDF﹣S△ECF计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ECF都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CAE＝∠CBF；
（2）解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝3，
由（1）得：∠CAD＝∠DBF，
∵∠ADB＝∠CAD+∠ACD＝∠DBF+∠DFB，
∴∠DFB＝∠ACD＝90°，
∴AF＝＝＝5；
（3）解：过点F作FH⊥BC于H，如图3所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝CE＝CF，
同（1）得：△ACE≌△BCF（SAS），
∴BF＝AE，∠ACE＝∠BCF＝30°，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBF＝30°，
∵FC＝FB，FH⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝，FH＝CH＝，CF＝BF＝2FH＝3，
∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴EC＝CF＝CD＝3，
∴S△DEF＝S△ECD+S△CDF﹣S△ECF＝×32+×3×﹣×3×3＝．
22．如图，等边△ABC的边长为6cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？
（3）当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如能，请求出此时点M、N运动的时间．
【分析】（1）首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ANC≌△AMB（AAS），可得CN＝BM，设出运动时间，表示出CN，MB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动t秒后重合，
则t+6＝2t，
解得t＝6，
∴点M、N运动6秒后重合；
（2）设点M、N运动t秒后，△AMN是等边三角形，
如图1，AM＝tcm，AN＝（6﹣2t）（cm），
当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
即t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴当点M、N运动2秒时，△AMN是等边三角形；
（3）如图2，
设点M、N运动t秒，
则CN＝（t﹣6）（cm），BM＝（18﹣2t）（cm），
假设△AMN是等腰三角形，
则AN＝AM，∠ANM＝∠AMN，
∴∠ANC＝∠AMB，
又∵∠B＝∠C，
∴△ANC≌△AMB（AAS），
∴CN＝BM，
即t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，
∴当点M、N运动8秒时，△AMN是等腰三角形．
23．【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为 BD＝CE ；∠BEC＝ 60 °；
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？说明你的理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，DE为△ABC的中位线，将△CDE绕点C旋转，当DE所在直线经过点A时，求BE的长．（直接写出答案）
【分析】（1）证△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）证△ABD∽△ACE，得∠ADB＝∠AEC＝135°，＝＝，则∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，再求出＝＝，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出BE的长即可．
【解答】解：（1）∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°，
综上所述，∠BEC的度数为60°，线段BD与CE之间的数量关系是BD＝CE，
故答案为：BD＝CE，60．
（2）不成立，BD＝CE，∠BEC＝45°，理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，
∵Rt△ABC和Rt△ADE中，sin∠ABC＝，sin∠ADE＝，sin45°＝，
∴＝＝，
∴＝，
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝135°，＝＝，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴BD＝CE；
（3）分两种情况：
①如图4，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝2，DE∥AB，CE＝BC，CD＝AC，
∴∠CDE＝∠A＝30°，＝＝，
由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝，∠ADC＝∠BEC＝180°﹣∠CDE＝150°，
∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣60°＝90°，
设BE＝x，则AD＝x，AE＝AD+DE＝x+2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x+2）2＝42，
解得：x＝或x＝（舍去），
∴BE＝；
②如图5，同①得：△ACD∽△BCE，
则＝＝＝，∠AEB＝90°，
设BE＝y，则AD＝y，AE＝AD﹣DE＝y﹣2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：y2+（y﹣2）2＝42，
解得：y＝或y＝（舍去），
∴BE＝；
综上所述，BE的长为或．