江西省萍乡市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江西省萍乡市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了下列图形等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形：线段、角、任意三角形、等边三角形、直线、任意四边形中，轴对称图形个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知A，B，C是不在一条直线上的三个点，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB+AC＞BCB．BC+AC＞ABC．AB+BC＞ACD．AB+BC＝AC
3．如图所示，直线m∥n，直角三角形ABC（∠C＝90°）的顶点A在直线n上，若∠β＝43°，则∠α的度数为（ ）
A．47°B．43°C．57°D．53°
4．如图，在△ABC中，AB边上的高是（ ）
A．线段AFB．线段CFC．线段CED．线段CD
5．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠B＝∠ED．∠ACB＝∠DFE
6．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两个点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：BE∥DF．
下列说法错误的是（ ）
A．证法1中证明三角形全等的直接依据是SAS
B．证法2中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法1和证法2都用到了平行四边形的判定
D．证法1和证法2都用到了平行四边形的性质
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 ．
8．王红在电脑中用英文写个人简历时，把其中一句倒排成：则正确的英文为 ．
9．若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的内角和为 ，边数是 ．
10．不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 ．
11．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝∠B′＝60°，则∠C′＝ ．
12．在等腰三角形ABC中，∠B＝50°，若AB＜BC，则∠C＝ ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长BD、CE交于点P．求∠BPC的度数．
14．（6分）如图，已知在△ABC中，高AD，∠BAC角平分线为AE，若∠B＝32°，∠ACD＝54°，求∠EAD的度数．
15．（6分）如图，已知：AC＝AB，AD＝AE，AD⊥AE，AB⊥AC，F为BD的中点，直线AF与EC相交于点H，求证：AH⊥EC．
16．（6分）如图，已知△ABC．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹：在BC上作点D，使点D到AB和AC的距离相等．
（2）过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，作AF⊥BE，垂足为F．求证：EF＝BF．
17．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF．
（2）若AB+AC＝16，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，求AD的长．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．BD和CE有怎样的关系？请说明理由．
19．（8分）已知点P关于x轴的对称点为P1（﹣1﹣2a，5），关于y轴的对称点P2（3，b），求a、b的值．
20．（8分）如图所示，在对△ABC依次进行轴对称和平移两种变换后得到△A1B1C1．
（1）在坐标系内画出轴对称变换的图形，并说明两次变换的步骤．
（2）设点P（a，b）为△ABC的边AB上任一点，依次写出这两次变换后点P对应的坐标．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE＝∠DBF，AC＝BD．求证：
（1）BC＝AD；
（2）∠CAD＝∠DBC．
22．（9分）请在下面的四个等式中选出两个作为条件，然后证明△AED是等腰三角形．
①AB＝DC，
②BE＝CE，
③∠B＝∠C，
④∠BAE＝∠CDE．
你选择的条件是 （只填写序号），
证明：
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知：在△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；
（2）若点P在线段AB上运动，如图②所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）若点P在线段AB的延长线上运动（CE＜CD），如图③所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
2022-2023学年江西省萍乡市十校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．下列图形：线段、角、任意三角形、等边三角形、直线、任意四边形中，轴对称图形个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合各图形的特点即可得出答案．
【解答】解：由轴对称的概念得：线段、角、等边三角形、直线是轴对称图形，共4个．
故选：C．
2．已知A，B，C是不在一条直线上的三个点，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB+AC＞BCB．BC+AC＞ABC．AB+BC＞ACD．AB+BC＝AC
【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可．
【解答】解：∵A，B，C是不在一条直线上的三个点，
∴A，B，C三点构成△ABC，
∴满足三边关系：AB+AC＞BC、BC+AC＞AB、AB+BC＞AC，
∴A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意，
故选：D．
3．如图所示，直线m∥n，直角三角形ABC（∠C＝90°）的顶点A在直线n上，若∠β＝43°，则∠α的度数为（ ）
A．47°B．43°C．57°D．53°
【分析】如图，延长AC交m于点D．由m∥n，得∠ODC＝∠β．由∠ACB＝90°，得∠BCD＝90°，故∠COD+∠CDO＝90°，即∠α+∠β＝90°．那么，∠α＝47°．
【解答】解：如图，延长AC交m于点D．
∵m∥n，
∴∠β＝∠ODC．
∵∠α与∠DOC是对顶角，
∴∠α＝∠DOC．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠ACB＝90°．
∴∠COD+∠ODC＝180°﹣∠OCD＝90°．
∴∠α+∠β＝90°．
∴∠α＝90°﹣∠β＝90°﹣43°＝47°．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB边上的高是（ ）
A．线段AFB．线段CFC．线段CED．线段CD
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高是线段CD，
故选：D．
5．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠B＝∠ED．∠ACB＝∠DFE
【分析】根据AF＝DC求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
即AC＝DF，
A．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两个点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：BE∥DF．
下列说法错误的是（ ）
A．证法1中证明三角形全等的直接依据是SAS
B．证法2中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法1和证法2都用到了平行四边形的判定
D．证法1和证法2都用到了平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：A、证法1中证明三角形全等的直接依据是SAS，不符合题意；
B、证法2中用到了平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
C、只有证法2都用到了平行四边形的判定，符合题意；
D、证法1和证法2都用到了平行四边形的性质，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 丁 ．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：与甲成轴对称的图形是丁．
故答案为：丁．
8．王红在电脑中用英文写个人简历时，把其中一句倒排成：则正确的英文为 Ithisyear14yearsld ．
【分析】本题是镜面反射的知识，可以在这句话的正上方放一面镜子，看镜子里的字母就可以了．
【解答】解：在这句话的正上方放一面镜子，很容易得到正确的英文为Ithisyeas 14 yearsld．
9．若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的内角和为 540° ，边数是 5 ．
【分析】由多边形的外角和为360°，即可得出多边形内角和，根据多边形内角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
该多边形的内角和为900°﹣360°＝540°，
设多边形的边数为n，
（n﹣2）×180°＝540°，
解得：n＝5．
故答案为：540°，5．
10．不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 5 ．
【分析】先设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a＝，b＝，c＝，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解即可．
【解答】解：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，
那么a＝，b＝，c＝，
又∵a﹣b＜c＜a+b，
∴﹣＜c＜+，
即 ＜＜，
解得3＜h＜6，
∴h＝4或h＝5，
∴hmax＝5．
故答案为：5．
11．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝∠B′＝60°，则∠C′＝ 40° ．
【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠C，再由全等三角形的性质可知∠C′＝∠C，可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
12．在等腰三角形ABC中，∠B＝50°，若AB＜BC，则∠C＝ 50° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质和条件：AB＜BC，确定∠B＝∠C＝50°即可．
【解答】解：∵AB＜BC，
∴∠B是底角，
①当∠B＝∠A＝50°时，∠C＝80°，此时AB＞BC，不符合题意；
②当∠B＝∠C＝50°时，条件成立；
综上，∠C＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长BD、CE交于点P．求∠BPC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，即可解决问题；
（2）结合（1）根据对顶角相等即可得∠BPC的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AMB＝∠PMC，
∴∠BPC＝∠BAC＝40°．
14．（6分）如图，已知在△ABC中，高AD，∠BAC角平分线为AE，若∠B＝32°，∠ACD＝54°，求∠EAD的度数．
【分析】根据高、角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵AD为高，∠B＝32°，
∴∠BAD＝58°，
∵∠ACD＝54°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝22°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝11°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝58°﹣11°＝47°，
答：∠EAD的度数为47°．
15．（6分）如图，已知：AC＝AB，AD＝AE，AD⊥AE，AB⊥AC，F为BD的中点，直线AF与EC相交于点H，求证：AH⊥EC．
【分析】作AG⊥BC于G，根据全等三角形的判定得出△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质证明△AGF∽△CBE，利用相似三角形的性质和垂直的定义证明即可．
【解答】证明：作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC，AB⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，BG＝CG，
∴AG＝BC＝BG＝CG，
∵BF＝DF，
∴FG＝BF﹣BG＝，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∠BAE＝90°﹣∠CAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE＝135°，∠CBE＝135°﹣45°＝90°＝∠AGF，
∴，
∴△AGF∽△CBE，
∴∠AFG＝∠CEB，
∴∠CFH+∠FCH＝∠AFG+∠FCH＝∠CEB+∠FCH＝90°，
∴AH⊥CE．
16．（6分）如图，已知△ABC．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹：在BC上作点D，使点D到AB和AC的距离相等．
（2）过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，作AF⊥BE，垂足为F．求证：EF＝BF．
【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于点D即可得点D到AB和AC的距离相等；
（2）结合（1）和BE∥AD，证明∠ABE＝∠E，得AE＝AB，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D，所以点D到AB和AC的距离相等，
点D即为所求；
（2）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE∥AD，
∴∠BAD＝∠ABE，∠CAD＝∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AE＝AB，
∵AF⊥BE，
∴EF＝BF．
17．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF．
（2）若AB+AC＝16，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，求AD的长．
【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE＝DF，利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论．
（2）先利用三角形的面积和可求得DE的长，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠EDA＝60°，则∠BAD＝30°，根据直角三角形30°角的性质可得AD的长．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•ED+AC•DF＝DE（AB+AC）＝24，
∵AB+AC＝16，
∴×16DE＝24，
DE＝DF＝3，
∵AD⊥EF，∠EDF＝120°，
∴∠EDA＝∠EDF＝×120°＝60°，
∴∠BAD＝30，
∴AD＝2ED＝6．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．BD和CE有怎样的关系？请说明理由．
【分析】方法一：由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD＝AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC全等，利用全等三角形的对应边相等可得证；
方法二：过A作AH垂直于BC于H点，由AB＝AC，利用三线合一得到H为BC中点，同理得到H为DE中点，利用等式的性质变换后可得证．
【解答】方法一：
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），
又∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）；
方法二：
证明：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），
同理可证，DH＝EH，
∴BH﹣DH＝CH﹣EH，
∴BD＝CE．
19．（8分）已知点P关于x轴的对称点为P1（﹣1﹣2a，5），关于y轴的对称点P2（3，b），求a、b的值．
【分析】设P（x，y），依据关于x轴和y轴对称点的坐标特点得到x＝﹣1﹣2a，y＝﹣5，x＝﹣3，y＝b，然后由x、y为不变量列方程求解即可．
【解答】解：设P（x，y），
∵P关于x轴的对称点为P1（﹣1﹣2a，5），
∴x＝﹣1﹣2a，y＝﹣5，
∵关于y轴的对称点P2（3，b），
∴x＝﹣3，y＝b，
∴﹣1﹣2a＝﹣3，b＝﹣5，
解得a＝1，
∴a＝1，b＝﹣5．
20．（8分）如图所示，在对△ABC依次进行轴对称和平移两种变换后得到△A1B1C1．
（1）在坐标系内画出轴对称变换的图形，并说明两次变换的步骤．
（2）设点P（a，b）为△ABC的边AB上任一点，依次写出这两次变换后点P对应的坐标．
【分析】（1）结合两三角形的位置关系，可得出先将△ABC关于y轴对称，然后向右平移4个单位，向下平移5个单位，即可得出△A1A1C1．
（2）根据关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相等，横坐标互为相反数，结合平移的特点即可得出两次变换后点P对应的坐标．
【解答】解：轴对称变换后的图形如图所示：△A'B'C'．
变换的步骤为：将△ABC关于y轴对称，然后向右平移2个单位，向下平移6个单位，
．
（2）点P关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，b），
再向右平移2个单位，向下平移6个单位，可得点P的对应点坐标为（﹣a+2，b﹣6）．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE＝∠DBF，AC＝BD．求证：
（1）BC＝AD；
（2）∠CAD＝∠DBC．
【分析】（1）求出∠CAB＝∠DBA，根据SAS推出△CAB≌△DBA即可；
（2）根据全等得出∠C＝∠D，根据三角形的内角和定理得出即可．
【解答】证明：（1）∵∠CAE＝∠DBF，∠CAB+∠CAE＝180°，∠DBF+∠DBA＝180°，
∴∠CAB＝∠DBA，
在△CAB和△DBA中
∴△CAB≌△DBA（SAS），
∴BC＝AD；
（2）∵△CAB≌△DBA，
∴∠C＝∠D，
∵∠COA＝∠DOB，∠C+∠CAD+∠COA＝180°，∠D+∠DOB+∠DBC＝180°，
∴∠CAD＝∠DBC．
22．（9分）请在下面的四个等式中选出两个作为条件，然后证明△AED是等腰三角形．
①AB＝DC，
②BE＝CE，
③∠B＝∠C，
④∠BAE＝∠CDE．
你选择的条件是 ①③ （只填写序号），
证明：
【分析】选择的条件是①③，根据SAS推出△ABE≌△DCE，即可推出AE＝DE，得出等腰三角形AED．还可以是①④或②③或②④．答案不唯一．
【解答】已知：①③，
证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．
故答案为：①③．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知：在△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ 120 °；
（2）若点P在线段AB上运动，如图②所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ∠1+∠2＝70°+∠α ；
（3）若点P在线段AB的延长线上运动（CE＜CD），如图③所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）连接PC，方法与（1）相同；
（3）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解即可．
【解答】解：（1）如图①，连接PC，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝70°，
∴∠1+∠2＝50°+70°＝120°，
故答案为：120．
（2）结论：∠1+∠2＝90°+∠α；理由如下：
连接PC，如图②，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠C＝70°，∠DPE＝∠α，
∴∠1+∠2＝70°+∠α．
故答案为：∠1+∠2＝70°+∠α；
（3）结论：∠1﹣∠2＝70°+∠α．
理由：如图③中，连接CP．
由三角形的外角性质得：∠2＝∠ECP+∠CPE，∠1＝∠DCP+∠2+∠CPE，
∴∠1﹣∠2＝70°+∠α．
证法1：如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又∵AE＝CF，
∴△BAE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
即∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF.
证法2：如图，连接BD交AC于点O，连接DE，BF．
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD．
又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF．
证法1：如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又∵AE＝CF，
∴△BAE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
即∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF.
证法2：如图，连接BD交AC于点O，连接DE，BF．
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD．
又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF．