广东省中山市小榄镇2023-2024年九年级上学期期中数学试题

这是一份广东省中山市小榄镇2023-2024年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．-3B．2C．-2D．3
5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛?设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（ ）
A．80°B．50°C．40°D．10°
7．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移中正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
8．抛物线的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．无交点B．一个交点C．两个交点D．三个交点
9．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小．其中错误的结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象大致位置是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程的解是______．
12．二次函数的最小值为______．
13．若点与点关于原点成中心对称，则的值是______．
14．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于______．
15．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是______．
16．如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，x的取值范围是______．
三、解答题（一）（每小题6分，共24分）
17．解方程：．
18．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）将绕点O顺时针旋转90°得到，作出旋转后的．
（2）作关于原点对称的图形．
20．某区为争创全国文明卫生城，2020年区政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2022年投的资金是2420万元，且2021年和2022年，每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该区在2024年需投入资金多少万元？
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
21．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为1.8m，当铅球飞行的水平距离4m时距离地面最高为5m．铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示．
求：（1）y与x之间的函数关系式；
（2）小明这次投掷的成绩．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
23．某商店以每件30元的价格购进一批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．
（1）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
五、解答题（三）（每小题9分，共27分）
24．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且函数经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，．（请直接写出结果）
（3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
25．如图，过等边的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．
（1）求证：；
（2）连接PB并延长交直线CQ于点D，若．
①试猜想BC和BQ的数量关系，并证明；
②若，求PB的长．
26．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴相交于点C．
图1 图2
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否存在一点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，直接写出当时，M点的坐标．
2023-2024学年上学期中段限时训练
九年级数学参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．B 7．A 8．C 9．B 10．C
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（只写一个得1分） 12．3 13． 2023 14．5 15．且 16．
三、解答题（每小题6分，共24分）
17．解：．…1分
…2分
或…4分
，．…6分
∵．
18．解：…4分
∴对称轴为直线，顶点坐标为…6分
（对称轴1分，顶点坐标1分）
19．解：（1）如图所示，就是所求（作图2分，答1分）……3分
（2）如图所示，就是所求……6分（作图2分，答1分）
20．解：（1）设该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，由题意得…1分
…2分
解得，（舍去）…3分
答：该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%…4分
（2）（万元）
答：该区在2024年需投入资金2928.2万元…6分
四、解答题（每小题7分，共21分）
21．解：（1）∵铅球出手时的高度为1.8m，铅球飞行的水平距离4m时距离地面最高为5m
∴，顶点…1分
∴设y与x之间的函数关系式为…2分
把代入得
解得
∴y与x之间的函数关系式为…4分
（2）把代入得…5分
解得，（舍去）…6分
答：小明这次投掷的成绩为9m…7分
22．（1）证明：∵，，,
∴…2分
∵,∵．…3分
即
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根…4分
（2）解：∵，…5分
又∵，∴…6分
解得
答：k的值为-1…7分
23．解：（1）由题意得…2分
答：该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式为
…3分
（2）由（1）得…4分
∵，开口向下
∴当时，y有最大值为…5分
∴销售单价定为元…6分
答：当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000元．…7分
五、解答题（每小题9分，共27分）
24．解：（1）设该二次函数的解析式为…1分
∵二次函数的图象与x轴交于、两点，且函数经过点
∴解得…2分
∴该二次函数的解析式为．…3分
（2）当或时，…5分
（3）∵、，∴
设，则
∴，∴…7分
①当时，，解得，
此时P点的坐标为或；…8分
②当时，，解得，，
此时P点的坐标为或；…9分
综上所述，P点的坐标为或或或．
25．（1）证明：在等边中，，，
由旋转可得，，∴，
∴
即，∴（SAS）…1分
∴…2分
（2）①猜想：．
证明：连接PQ，如图：
由旋转，得，，∴是等边三角形…3分
∵，∴，∴DP是CQ的垂直平分线…4分
∵点B在PD上，∴…5分
②解：由（1）得
∴，，∴…5分
∵，∴，∴
∴．…6分
在中，
∴，．…7分
∵，，∴，
∵，∴，
∴…8分
∴，
答：PB的长为…9分
26．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．…1分
当时，，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．…2分
（2）当时，，
∴点C的坐标为．
设直线BC的解析式为
将，代入得解得
∴直线BC的解析式为．…3分
假设存在，设点P的坐标为，过点P作轴，交直线BC于点D，
则点D的坐标为
∴
∴．…4分
∵，∴当时，的面积最大，最大面积是16．
∵，∴存在点P，使的面积最大，最大面积是16…5分
（3）M点的坐标为，，或．…9分