2023-2024学年八年级数学上册 第13章 轴对称 单元测试卷 人教版

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2022-2023学年八年级数学上册 第13章 轴对称 单元测试卷 人教版一、单选题(共10题；共30分)1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D．2．下列各图标中，是轴对称图形的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为(　　)。A．9 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若等腰三角形的两边长分别是5和10，则它的周长是（　　） A．20 B．25 C．20或25 D．以上都不对6．已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则 a−ba+b =（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣ 15 D．157．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　　)A．16 B．18 C．20 D．16或208．已知一个等腰三角形 △ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形 △ABC 的两边为 2x−3 ， 3x−5 ，若两个三角形全等，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．4或5 D．1039．如图， AB=AD ，点B关于 AC 的对称点E恰好落在 CD 上，若 ∠BAD=α(0°<α<180°) ，则 ∠ACB 的度数为（　　） A．45° B．α−45° C．12α D．90°−12α10．如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题(共10题；共30分)11．若A(m，−3)与B(4，−3)关于y轴对称，则m=　 　．12．如图，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F.若BC＝10cm，则△AEF 的周长为　 　cm.13．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝9，AC＝5，则BE＝　 　．14．等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=　 　度．15．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为　 　.16．如图，三角形△ABC中，∠OAB=∠AOB=15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6 3 ，0）．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是　 　． 17．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP=6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　 　.18．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2①在直线l上任取两点A，B；②分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是　 　19．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为　 　． 20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①AD和EF互相垂直平分；②AE=AF；③当∠BAC=90°时，AD=EF；④DE是AB的垂直平分线．其中正确的是　 　（填序号）．三、解答题(共8题；共60分)21．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．22．（10分）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：（1）（5分）△ABO≌△DCO；（2）（5分）若∠OBC＝35°，求∠OCB的度数.23．（5分）如图，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点． ①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．24．（5分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，请你在13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色的小方格图案成轴对称图形．25．（5分）如图，已知∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，AD=AE，试说明∠DBC=∠ECB的理由．解：因为∠ABC=∠ACB（已知），所以AC=AB（　　）．又因为∠1=∠2（已知）．所以∠1+∠ =∠2+∠ （等式性质）所以∠EAC=∠DAB在△AEC和△ADB中，AE=AD∠EAC=∠DABAC=AB，所以ΔAEC≅ΔADB（　　）（完成以下说理过程）26．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE.求证：BD=2CE.27．（10分）如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．（1）（5分）求证：CD＝CE；（2）（5分）若点A为CD的中点，求∠C的度数．28．（15分）已知： △ABC 为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点， AD=DE ． （1）（5分）如图1，当E在AC的延长线上且 CE=CD 时，AD是 △ABC 的中线吗？请说明理由； （2）（5分）如图2，当E在AC的延长线上时， AB+BD 等于AE吗？请说明理由； （3）（5分）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系． 答案解析部分1．【答案】C【知识点】轴对称图形【解析】【解答】根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形.故答案为：C.【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论.2．【答案】C【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：第一、二、四个图形沿如下图所示直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，而第三个图形则不可以，所以轴对称图形有3个.故答案为：C【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.3．【答案】C【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出△DEB的周长=AB，代入数据即可得解．【解答】∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=ED，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL)，∴AC=AE，又∵AC=BC，∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∵AB=6cm，∴△DEB的周长=6cm．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，求出△DEB的周长=AB是解题的关键．4．【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定【解析】【解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点P1，P2，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点P3，如图所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC=60°，∵AP3=BP3，∴△ABP3是等边三角形，∴点P3，P2重合，∴符合条件的点P有2个；故答案为：B．【分析】先求出∠ABC=60°，再求出△ABP3是等边三角形，最后求解即可。5．【答案】B【知识点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为5时, 三边为5, 5, 10, 5+5=10, 三边关系不成立,当等腰三角形的腰为10时, 三边为5, 10, 10, 三边关系成立, 周长为5+10+10=25.故答案为：B.【分析】利用三角形的三边关系定理，分情况讨论：当腰为5或腰为10时，可知腰为5不能构造三角形，然后求出等腰三角形的腰为10时，此三角形的底边长，然后求出此三角形的周长。6．【答案】C【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称， ∴a=2，b=3，则 a−ba+b = 2−32+3 =﹣ 15 ．故选：C．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．7．【答案】C【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质【解析】【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选：C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解8．【答案】B【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵等腰 △ABC 的两边长为5，7， ∴△ABC 的三边长为5，7，7；或5，5，7；由题意得另一个等腰三角形的两边为 2x−3 ， 3x−5 ，且与等腰 △ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得 x=103 ，则2x-3= 113 ，不合题意；（4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x的值为4.故答案为：B.【分析】由题意先求出一个等腰△ABC有两种情况，然后根据两个三角形全等的条件，分四种情况讨论，即当2x-3=5时，当2x-3=7时，当3x-5=5时，当3x-5=5时，当3x-5=7时，分别解方程，再检验，即可解答.9．【答案】D【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的性质【解析】【解答】解：如图，连接BE.∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∴AC垂直平分BE，∴AB=AE，BC=EC，∴∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA.∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED.设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x.∴∠DAE=∠DAB-∠EAC-∠BAC= α−2y .∵∠AED=∠EAC+ECA=x+y，∴∠D=x+y.∵∠DAE+∠AED+∠D=180°，∴α−2y +x+y+x+y=180°，∴α+2x =180°，∴x= 12 （180°-α）=90° −12α .即∠ACB=90° −12α .故答案为：D.【分析】连接BE.由轴对称的性质得到AC垂直平分BE，进而得到∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA.根据等腰三角形的性质得到∠D=∠AED.设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x.然后根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得α+2x=180°，即可得到结论.10．【答案】B【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′． ∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，∵12 ×AC×BN″=15，AC=6，∴BN″=5，∴BM+MN的最小值为5，故选B．【分析】如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．因为BM+MN=BM+MN′≤BN″，所以当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，求出BN″即可解决问题．11．【答案】−4【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（m，-3）与B（4，-3）关于y轴对称，∴m=-4，故答案为：-4．【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变求解即可。12．【答案】10【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，∴AE=BE，AF=CF，∴△AEF 的周长= AE+EF+AF =BE+EF+CF= BC =10cm.故答案为：10.【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE=BE，AF=CF，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差即可算出答案。13．【答案】2【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BDDF=DE ，∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=9，AC=5，∴BE= 12 (9−5)=2.故答案为：2.【分析】连接CD，BD，利用角平分线的性质，易证DF=DE，AE=AF，再利用线段垂直平分线的性质，可得出CD=BD，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△BDE，利用全等三角形的性质就可证得BE=CF，然后推出AB=AC+2BE，就可求出BE的长。14．【答案】72【知识点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：如图：由题意知：AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，∵∠C=∠BDC=2∠A，∠A+2∠C=180°，∴5∠A=180°，即∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．故填：72°．【分析】把图展开后，可知AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得∠B的度数．15．【答案】60【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°.在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABC=∠ACBBD=CE∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠DBE.∵∠APE=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠ABP+∠DBE.即∠APE=∠ABD.∴∠APE=60°.故答案是：60°.【分析】根据题干条件：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC，于是可求.16．【答案】3 3【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：作A关于ZX OC 的对称点D，交x轴于D， 过D作DN⊥OA于N交OC于M，则DN=MA+MN的最小值，过A作AE⊥OD于E，∵OC平分∠AOB，∴OD=OA，∴DN=AE，∵坐标为B（6 3 ，0）．∴OB=6 3 ，∵∠OAB=∠AOB=15°，∴AB=OB=6 3 ，∵∠ABD=∠BOA+∠AOB=30°，∴AE= 12 AB=3 3 ，∴DN=3 3 ，∴MA+MN的最小值=3 3 ，故答案为：3 3 ．【分析】作A关于ZX OC 的对称点D，交x轴于D，过D作DN⊥OA于N交OC于M，则DN=MA+MN的最小值，过A作AE⊥OD于E，推出DN=AE，根据等腰三角形的性质得到AB=OB=6 3 ，由外角的性质得到∠ABD=∠BOA+∠AOB=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．17．【答案】6【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=6cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=6.∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6.故答案为6.【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN，由轴对称的性质可得PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，于是OC=OD，∠COD=60°，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△COD是等边三角形，有等边三角形的性质得CD=OC=OD，然后根据三角形的周长等于三边之和得△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD可求解.18．【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）【知识点】线段垂直平分线的判定【解析】【解答】由尺规作图过程可知AP=AQ，BP=BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B也在线段PQ的垂直平分线上，∴AB⊥PQ，∴作图依据是到到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.连接PQ的依据是两点确定一条直线.故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【分析】垂直平分线上的点到两端点的距离相等。19．【答案】2n﹣1【知识点】等边三角形的性质【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．故答案是：2n﹣1．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．20．【答案】②③【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，在△AED和△AFD中， DE=DFAD=AD ，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又DE=DF，∴AD垂直平分EF，而EF不一定垂直平分AD，故①不符合题意，②符合题意；∵∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF为矩形，∴AD=EF，故③符合题意；∵DE⊥AB，而AD与BD不一定相等，∴不能得出DE是AB的垂直平分线，④不符合题意；故答案为：②③．【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定定理以及矩形的判定与性质进行逐一判断．21．【答案】证明：过点A作AF⊥BC于点F， ∵AB=AC，∴BF=CF，∵BD=CE，∴DF=EF，∴AD=AE．【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一得出BF=CF，然后根据等式的性质得出DF=EF，根据中垂线定理得出AD=AE.22．【答案】（1）证明：在△ABO和△DCO中， ∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC ，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）证明：由（1）知，△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OBC=35°，∴∠OCB＝35°.【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】(1)利用AAS证明 △ABO≌△DCO 即可；(2)由(1)的结果得出OB＝OC，则由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB， 结合∠OBC得度数，即可解答.23．【答案】解：①∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠BCA；∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，∴∠OBC=∠BCO；∴OB=OC，∴△OBC为等腰三角形．②在△AOB与△AOC中．∵AB=ACAO=AOBO=CO ，∴△AOB≌△AOC（SSS）；∴∠BAO=∠CAO；∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）【知识点】等腰三角形的判定与性质【解析】【分析】①根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；②首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC． 24．【答案】解：如图所示．​【知识点】利用轴对称设计图案【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．25．【答案】解：因为∠ABC=∠ACB（已知），所以AC=AB（等角对等边）又因为∠1=∠2（已知）所以∠1+∠BAC=∠2+∠BAC（等式性质）所以∠EAC=∠DAB在△AEC和△ADB中，AE=AD∠EAC=∠DABAC=AB，所以ΔAEC≅ΔADB(SAS)故答案为：等角对等边：BAC；BAC；SAS【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】 利用等角对等边可得AC=AB，由∠1=∠2，利用等式的性质可求∠EAC=∠DAB，根据SAS证明△AEC≌△ADB.26．【答案】证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.∵CE⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2，∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= 12 CF，即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°，∠F+∠ACF=90°，∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质【解析】【分析】延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE=12CF， 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE 。27．【答案】（1）证明：∵AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，∴∠CAE＝∠CBD＝90°，在△CAE和△CBD中，∠C＝∠CAC=BC∠CAE＝∠CBD ，∴△CAE≌△CBD（ASA）．∴CD＝CE；（2）解：连接DE，∵由（1）可得CE＝CD，∵点A为CD的中点，AE⊥CD，∴CE＝DE，∴CE＝DE＝CD，∴△CDE为等边三角形．∴∠C＝60°．【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据题意可得∠CAE＝∠CBD＝90°，可证△CAE≌△CBD（ASA），CD＝CE；（2）连接DE，由（1）可得CE＝CD，根据线段垂直平分线的性质可得CE＝DE，CE＝DE＝CD，△CDE为等边三角形，∠C＝60°。28．【答案】（1）解：是，理由如下： ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠E+∠CDE，∴∠E=30°，∵AD=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∴∠DAC= 12 ∠BAC，即AD平分∠BAC，∴AD是△ABC的中线（2）解： AB+BD=AE ，理由如下： 如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°，AB=AC，∴∠DCE=120°，△BDH是等边三角形，∴DH=BD，∠DHB=60°，∴∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，∴∠DCE=∠AHD，DH//AC，∵AD=DE，∴∠E=∠DAC，∵DH//AC，∴∠HAD=∠DAC，∴∠HAD=∠E，∴△ADH≌△DEC，∴DH=CE，∴CE=BD，∴AB+BD=AC+CE=AE；（3）解：AE=AB-BD，理由如下： 如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AF=EF，∠AFE=∠AFE=∠FAE=60°，∴∠AFE=∠ABC，∴EF//BC，∴∠FED=∠EDB，∵AD=DE，DF=DF，AF=EF，∴△ADF≌△EDF，∴∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，∵∠DFB=∠DAF+∠ADF，∠FDB=∠EDF+EDB，∴∠DFB=∠FDB，∴BD=BF，∵AB-BF=AF，∴AB-BD=AE.【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可得∠BAC=∠ACD=60°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠E=30°，由等边对等角可得∠DAC=∠E=30°，即得∠DAC= 12 ∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质即可求出结论.（2）如图2，在AB上取BH=BD，连接DH， 根据等边三角形的判定与性质可得∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，从而可得∠DCE=∠AHD，DH//AC，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可得∠HAD=∠E，根据“SAS”可证△ADH≌△DEC，可得DH=CE，从而可得CE=BD，继而求出AB+BD=AC+CE=AE；（3）如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF， 根据等边三角形的判定与性质可得∠AFE=∠ABC，利用平行线的性质可得∠FED=∠EDB，根据“SSS”可证△ADF≌△EDF，可得∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，从而求出∠DFB=∠FDB，利用等角对等边可得BD=BF，由AB-BF=AF，可得AB-BD=AE.