2023-2024学年九年级数学上册 第24章 圆 单元测试题 人教版

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2023-2024学年九年级数学上册 第24章 圆 单元测试题 人教版一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　）A．A，B，C都不在 B．只有BC．只有A，C D．A，B，C2．（3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（　　）A．3 B．2 C．1 D．33．（3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为（　　）A．3 B．4 C．32 D．424．（3分）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　） A．12013 B．6013 C．2.4 D．4255．（3分）如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（　　）A．83 B．43 C．6 D．46．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）．A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定7．（3分）如图，AB是⊙O直径，过⊙O上的点C作⊙O切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A大小是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35°8．（3分）如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（　　）A．2，23 B．4，43 C．4，23 D．4，39．（3分）如图，在△ABC中，以边BC的中点D为圆心，BD长为半径画弧，交AC于E点，若∠C=20°，BC=4，则扇形BDE的面积为（　　）A．13π B．23π C．49π D．59π10．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（　　）A．52πcm B．5πcm C．54πcm D．52πcm二、填空题(共5题；共20分)11．一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为　 　.12．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为 23 ，则∠BAC＝　 　度. 13．如图AB为半圆的直径，AB=8，点P为半圆的三等分点，点D为弧BP上一动点，作OM⊥PD.连接AD交OM于点N，则BN的最小值为　 　. 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是　 　步．15．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为　 　．三、解答题(共9题；共60分)16．（6分）已知：如图， OA 、 OB 为 ⊙O 的半径，C、D分别为 OA 、 OB 的中点，求证： AD=BC . 17．（6分）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．18．（6分）如图，弧 CD= 弧 AB 求证： AD=BC ． 19．（6分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．20．（6分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．求证：∠1=∠2．21．（6分）如图， ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形．求证： AE∥BD . 22.（8分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm ，扇形的圆心角 θ=120° ，求该圆锥的母线长 l ． 23．（8分）在附中中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量岀了相关数据,并画出了示意图.如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷灌的草坪面积.24．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且 AB=AC ， PE⊥AC 于点E，求证：PE是⊙O的切线． 答案解析部分1．【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理；圆的认识【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，∵AB=300，BC=400，AC=500，∴AC2=AB2+BC2，∴ΔABC为直角三角形，∵D为AC中点，∴AD=CD=BD=250，∵覆盖半径为300 ，∴A、B、C三个点都被覆盖，故答案为：D．【分析】连接BD，先证出ΔABC为直角三角形，根据D为AC中点，得出AD=CD=BD=250，即可得出答案。2．【答案】B【知识点】垂径定理【解析】【解答】解：连接OC，如图∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，∴CE=12CD=12×8=4，∵AO=CO=5，∴OE=CO2−CE2=52−42=3，∴AE=5−3=2；故答案为：B．【分析】连接OC，根据垂径定理可得CE=4，再利用勾股定理求出OE的长，然后利用AE=OA-OE计算即可。3．【答案】D【知识点】勾股定理；垂径定理【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，∵OB=5，BM= 12AB=3，∴OM=OB2−BM2=4∵AB=CD=6，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=42．故答案为：D．【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，先利用勾股定理求得OM的长，再判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长。4．【答案】A【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD＝90°，∵∠A＝90°+∠ABC，∴∠A＝∠ABD，∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，∴CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC，∴AC ＝ BD ，∴BD＝AC＝10.∴OM＝BN，在Rt△CBD中，CD＝ 102+242 ＝26，∵S△BCD＝ 12 ×BN×CD＝ 12 ×BC×BD，∴BN＝ BC⋅BDCD ＝ 24×1026 ＝ 12013 ，∴OM＝ 12013 .即点O到AB的距离为 12013 .故答案为：A.【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.5．【答案】A【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OB=OA=8，∴∠AOH=∠BOH=60°，∴∠OAB=30°，∴OH=12OA=4，∴AH= OA2−OH2=82−42=43，∴AB=2AH=83，故答案为：A．【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，先求出∠OAB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OH的长，再利用勾股定理求出AH的长，最后利用垂径定理可得AB=2AH。6．【答案】A【知识点】点与圆的位置关系【解析】【解答】∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故答案为：A．【分析】根据点到圆心的距离与圆半径的大小比较即可得到点和圆的位置关系。7．【答案】B【知识点】圆周角定理；切线的性质【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵∠D=40°，∴∠COD=50°，∵AB是⊙O直径，∴∠A和∠COD分别为 BC 所对的圆周角和圆心角，∴∠A= 12 ∠COD=25°，故答案为：B.【分析】由切线的性质可得∠OCD=90°，利用三角形的内角和求出∠COD=50°，根据圆周角定理可得∠A= 12 ∠COD=25°.8．【答案】B【知识点】正多边形的性质【解析】【解答】解：如图，∵正六边形的任一内角为120°，∴∠ABD=180°-120°=60°，∠OAB=∠OBA=60°∴∠BAD=30°，ΔOAB为等边三角形，∵AB=4∴BD=2，OB=OA=4∴AD=AB2−BD2=42−22=23∴a=2×23=43∴这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是4，43．故答案为：B．【分析】根据正六边形的任一内角为120°，得出∠BAD=30°，ΔOAB为等边三角形，再根据AB=4，得出BD=2，OB=OA=4，利用勾股定理得出AD的值，即可得出答案。9．【答案】C【知识点】扇形面积的计算【解析】【解答】：∵BD=CD，BD=DE，BC=4，∴CD=ED，BD=2，∴∠DEC=∠C=20°，∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，∴S扇形DBE=40°π×22360°=49π故答案为：C．【分析】先求出∠BDE，再利用扇形面积公式求解决即可。10．【答案】D【知识点】弧长的计算【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=BC2+AC2=42+32=5cm，∴点B所走过的路径长为==90×π×5180=52πcm故答案为：D．【分析】根据题意，利用勾股定理得出AB的值，再根据弧长公式计算即可。11．【答案】2或14【知识点】垂径定理的应用【解析】【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，延长OD交圆于点C，连结OB则D为AB的中点，即AD=BD= 12AB=6，在Rt△BOD中，根据勾股定理得： OD2=OB2−BD2=102−62=64所以OD=8，当水面宽度为16时，分两种情况：①如果 A′B′=16，连结OB′，设OC与 A'B'交于点E，则E为A'B'的中点，即 A′E=B′Ε=12A′B′=12×16=8在 Rt△B′OE中，根据勾股定理得： OE2=OB′2−B′E2=102−82=36所以OE=6则水面比原来上涨的高度为8-6=2；②如果 A′′B′′=16，同理求出水面比原来上涨的高度为8+6=14；故答案为：2或14. 【分析】作OD⊥AB于D，延长OD交圆于点C，连结OB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出BD的长，在Rt△BOD中，根据勾股定理求出OD，同理求出水面宽度为16时水面的高度，然后相减或相加即可.12．【答案】60【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理【解析】【解答】解：如图作OE⊥BC于E.∵OE⊥BC，∴BE=EC= 3 ，∠BOE=∠COE，∴OE= OB2−BE2=22−(3)2= 1，∴OB=2OE，∴∠OBE=30°，∴∠BOE=∠COE=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BAC=60°.故答案为：60. 【分析】作OE⊥BC于E，根据垂径定理可得BE=EC= 3，利用勾股定理得OE，推出∠OBE=30°，则∠BOE=∠COE=60°，∠BOC=120°，然后利用圆周角定理进行计算.13．【答案】43−4【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系【解析】【解答】解：如图， 以AO为边在上方作等边△AOC，∵点P为半圆的三等分点，∴AP=23×180°=120°∴∠ADP=12∠AOP=60°∵OM⊥PD∴PM=DM∴NP=ND∴△NPD是等边三角形 ∴∠PND=60°∴∠ANP=120°又∵∠MNP=12∠DNP=30°∴∠ANO=30°，点N在以C为圆心OC为半径的圆弧上运动，∵AB是直径，∴∠ACB=90°在△ABC中，AB=8，AC=4∴BC=82−42=43，BN的最小值为43−4 故答案为：43−4. 【分析】以AO为边在上方作等边△AOC，易得AP⌢=120°，由圆周角定理得∠ADP=60°，推出△NPD是等边三角形 ，则∠PND=60°，∠ANP=120°，∠MNP=30°，∠ANO=30°，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，进而可得BN的最小值.14．【答案】6【知识点】三角形的内切圆与内心【解析】【解答】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：r；依据直角三角形的性质：可得斜边长为：82+152=17依据直角三角形面积公式：S=12aℎ，即为S=12×8×15=60；内切圆半径面积公式：S=12r(a+b+c)，即为S=12r×(8+15+17)；所以60=12r(8+15+17)，可得：r=3，所以直径为：d=2r=6；故填：6；【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得出关于r的方程，可求的内切圆的半径，则可求得内切圆的直径。15．【答案】30cm【知识点】弧长的计算【解析】【解答】根据题意得120×π×r180=20π，r＝30cm，故答案为30cm．【分析】根据弧长公式可得120×π×r180=20π，再求出半径即可。16．【答案】证明：∵C 、 D 分别为 OA 、 OB 的中点，∴OD=OC， ∴在△OAD和△OBC中， OD=OC∠O=∠OOA=OB ，∴△OAD≌△OBC，∴AD=BC.【知识点】圆的认识；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】利用SAS可以证出△OAD≌△OBC，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BC.17．【答案】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝35OC=35×10=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=AO2−OM2=102−62＝8．∴AB＝2AM =16．【知识点】垂径定理【解析】【分析】连接OA，先根据OM：MC＝3：2，求出OM的长，再利用勾股定理求出AM的长，然后利用垂径定理可得AB＝2AM =16．18．【答案】证明： ∵CD=AB ， ∴CD−AC=AB−AC∴AD=BC∴AD=BC【知识点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【分析】先求出CD⌢−AC⌢=AB⌢−AC⌢，再求解即可。19．【答案】解：如图，连接BD，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵∠D=∠C=50°，∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．20．【答案】解：连接OB、OC．∵AB=AC，OC=OB，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠1=∠2．【知识点】圆的认识；点与圆的位置关系【解析】【分析】连接OB、OC，用边边边可证△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质即可求解。21．【答案】证明：∵ABCDE 是正五边形， ∴∠A=(5−2)⋅180∘5=108∘=∠ABC=∠C .又∵BC=CD ，∴∠CBD=∠CDB=180∘−108∘2=36∘ ，∴∠ABD=108∘−36∘=72∘ ，∴∠A+∠ABD=108∘+72∘=180∘ ，∴AE∥BD .【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ∠A=108∘=∠ABC=∠C ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．22．【答案】解：圆锥的底面周长 =2π×2=4π(cm) ， 由题意可得 120⋅π⋅l180=4π ，解得 l=6 ，所以该圆锥的母线长为 6cm【知识点】弧长的计算【解析】【分析】根据题意求出 ，最后计算求解即可。23．【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点. ∵OC⊥AB,AB=12,∴AC= 12 AB=6. ∵OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°,∴∠AOC= 12 ∠AOB=60° 在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,又∵OC= 12 OA,∴r=OA=4 3 ， ∴S= 240360πr2 =32 π (m2).【知识点】扇形面积的计算【解析】【分析】求得OA的长后用扇形的计算公式计算即可.24．【答案】解：连接AP，OP， ∵AB为⊙O直径，∴∠APB=90° ，即 AP⊥BC ，又∵AB=AC ，∴点P是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴OP是 △ABC 的中位线，∴OP∥AC，∴∠OPE=∠PEC，又∵PE⊥AC ，∴∠PEC=90°，∴∠OPE=90°，∴OP⊥PE ．∴PE是⊙O的切线．【知识点】切线的判定【解析】【分析】 连接AP，OP， 由 AB为直径可知 AP⊥BC ，结合 AB=AC 可得点P为BC的中点，而O是AB的中点可得 OP是 △ABC 的中位线，可知OP∥AC， 进而 ∠OPE=∠PEC， 然后结合 PE⊥AC ， 可得 OP⊥PE ，即可得到结论。