2023-2024学年人教版八年级数学上册第十三章 轴对称 单元测试卷

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2023-2024学年人教版八年级数学上册第十三章 轴对称 单元测试卷一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D．2．（3分）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120°3．（3分）如图，将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不交，则所得图形与原图形的关系是（　　） A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位4．（3分）已知点P(a， b−2 )与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（　　） A．Q (a， −b+2 ) B．Q ( −a ， b−2 )C．Q (a， b+2 ) D．Q ( −a ， −b+2 )5．（3分）有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）如图，在 4×4 正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　） A．① B．② C．③ D．④7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（　　） A．80∘ B．70∘ C．60∘ D．50∘8．（3分）如图，△ABC中，AB =AC，过点A作DA⊥AC交BC于点 D ．若∠B=2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　）A．18° B．20° C．30° D．36°9．（3分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD是BC边的中线，以AC为边作等边△ACE，BE与AD相交于点P，点F在BE上，且PF=PA，连接AF下列四个结论：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，等边 ΔABC 的边长为 8,AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 边上的动点， F 是 AB 边上一点，若 BF=4 ，当 BE+EF 取得最小值时，则 ∠EBC 的度数为（　　） A．15∘ B．25∘ C．30∘ D．45∘二、填空题(共8题；共24分)11．（3分）黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：　 　.12．（3分）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是　 　13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为　 　．14．（3分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=　 　15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为　 　． 16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　 　cm．17．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AG于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　 　cm.18．（3分）如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相 交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为　 　．三、解答题(共8题；共66分)19．（5分）若点M（1，a）与点N（b﹣5，2）关于x轴对称，求a+b的值． 20．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F.求证：DE=DF 21．（5分）作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等。22．（8分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，①直接写出△ABC的各顶点坐标：A（ ， ），B （ ， ） ，C （ ， ） ；②画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；③直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的顶点A2 （ ， ） B2 （ ， ） (其中A2与A对应，B2与B对应，不必画图．)23．（6分）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子。BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短?24．（10分）数学课上，张老师举了下面的例题:例1:在等腰三角形ABC中，∠A = 100°，求∠B的度数.（答案:40°）例2:在等腰三角形ABC中，∠A = 50°，求∠B的度数.（答案:50°或65°或80°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题:变式:在等腰三角形ABC中，∠A = 70°，求∠B的度数.（1）（5分）请你解答小敏编的变式题. （2）（5分）解答（1）后小敏发现，∠A的度数不同得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设∠A = x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围. 25．（12分）如图（1）（6分）如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AB＝4AE． （2）（6分）如图②所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长． 26．（15分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝ 34 AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）（5分）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）（5分）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）（5分）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 答案解析部分1．【答案】B【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故不符合题意；故答案为：B.【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.2．【答案】C【知识点】轴对称的性质【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；∴∠B＝180°−30°-60°＝90°.故答案为：C.【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案.3．【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】将△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得横坐标互为相反数，纵坐标相等，得所得图形与原图形的关系是关于y轴对称，故答案为：B.【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案.4．【答案】A【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点P(a， b-2 )与点Q关于x轴对称，∴点Q的坐标为 (a， -b+2 )，故答案为：A．【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．5．【答案】C【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；②等腰三角形两腰上的高相等，所以②正确；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，所以③正确；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等，所以④正确.以上命题正确的是②，③，④.故答案为：C.【分析】根据等腰三角形的性质判断出①错误；根据等积法判断出②正确；根据等边三角形的判定方法判断出③正确；根据等边三角形的性质判断出④正确.6．【答案】A【知识点】利用轴对称设计图案【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴对称图形，故不符合条件的选A.【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可.7．【答案】C【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，∵EF垂直平分AB，∴BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°.故答案为：C.【分析】由等腰三角形的两底角相等和三角形内角和等于180°可求得∠B的度数，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BF=AF，由等边对等角可得∠BAF=∠B，最后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AFC=∠BAF+∠B可求解.8．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质【解析】【解答】设∠BAD 的度数为x,∵DA⊥AC∴∠BAC=90°+x，∵AB=AC，∴∠B= 180o−∠BAC2 =45°- 12 x∵∠B = 2∠BAD ，∴45°- 12 x=2x解得x=18°，故答案为：A.【分析】设∠BAD的度数为x,根据题意和图形用含x的式子表示∠B的度数，再根据∠B=2∠BAD列出方程即可求解.9．【答案】D【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【解答】∵AB=AC，AD是BC边中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，故①正确，∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∠CAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，故②正确，∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∴∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即2(∠BAD+∠ABE)+60°=180°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故③正确，∵AP=PF，∠APE=60°，∴△APF是等边三角形，∴∠APF=∠AFP=60°，∴∠APB=∠AFE=120°，在△AEF和△ABP中， ∠AFE=∠APB∠AEF=∠ABPAE=AB ，∴△AEF≌△ABP，故④正确，综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，故答案为：D.【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，可对①进行判断；由AB=AC，△ACE是等边三角形可得AB=AE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，可对②进行判断；由三角形内角和定理可得∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即可求出∠BAD+∠ABE=60°，根据外角性质可得∠APE=∠BAD+∠ABE=60°，可对③进行判断；由AP=PF，∠APE=60°可得△APF是等边三角形，可得∠APB=∠AFE=120°，利用AAS即可证明△AEF≌△ABP，可对④进行判断；综上即可得答案.10．【答案】C【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】如图，连接CF交AD于E，∵BF=4，AB=8，∴F是AB的中点，∴CF是AB上的中线，又∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴B、C关于AD对称，∴BE=CE，∴EF+CE取最小值时，∵EF+CE=CF，∴CE=2EF，∴BE=2EF，∴∠EBF=30°，∴∠EBC=30°，故答案为：C．【分析】连接CF与AD交于点E，此时BE+EF最小，根据 EC+EF=CF 求得 2EF=CE=BE ，再根据30 ° 所对的直角边等于斜边的一半，可求得答案．11．【答案】出、三、品（不唯一）【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：由黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，可得具有这个特征的汉字有：出、三、品、口等等；故答案为：出、三、品（不唯一）.【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的定义直接解答即可.12．【答案】10:51【知识点】镜面对称【解析】【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．故答案为： 10:51 .【分析】由于镜面中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，关于镜面对称，从而即可得出答案.13．【答案】36°【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，故答案为：36°．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝∠DAC，∠BDA＝∠BAD，根据三角形外角的性质可得∠BDA＝∠BAD＝2∠C，在△ABD中，根据三角形的内角和定理可得5∠B＝180°，即可求得∠B的度数.14．【答案】0【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，∴m+2=4，3=n+5，解得：m=2，n=﹣2，∴m+n=0，故答案为：0．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．15．【答案】9【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故答案为：9．【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．16．【答案】16【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，∴AB=40-24=16 cm.故答案为：16.【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质. 首先根据DE是AB的垂直平分线，得出AE=BE；然后观察△ABC的周长和△EBC的周长两者的表达式，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，进而求解即可.17．【答案】8【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，解之：AD=6∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8，故答案为：8【分析】连接AD。利用等腰三角形的性质，利用△ABC的面积=12求出AD的长，再根据对称轴的应用，距离最短，可知AD的长为BM+MD的最小值，然后就可求出△BDM的周长的最小值。18．【答案】3【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BDDF＝DE ，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE= 12 （11-5）=3．故答案为：3．【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．19．【答案】解：∵M（1，a）与点（b﹣5，2）关于x轴对称 ∴b﹣5=1，a=﹣2，解得：b=6，a=﹣2，∴a+b=6+（﹣2）=4，即：a+b的值为4【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 20．【答案】解：如图， ∵AB=AC，D为BC中点，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．21．【答案】解：如图所示，画法如下： ①作∠AOB的角平线OC；②连结MN，画线段MN的垂直平分线，与OC交于点P，则点P为符合题意的点.【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【分析】根据题意得出，点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点，进而得出即可.22．【答案】解：①△ABC的各顶点坐标：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；故答案为：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；②如图，△A1B1C1即为所求，③如图，△A2B2C2即为所求，A2坐标为（﹣3，﹣2）、B2坐标为（﹣4，3）．故答案为：﹣3、﹣2；﹣4、3．【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称【解析】【分析】①根据三角形在坐标中的位置可得；②分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；③分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得．23．【答案】解：如图，作C关于OA的对称点C′，作D关于OB的对称点D′，连接C′D′交OA、OB于E、F;∴AO垂直平分CC′,BO垂直平分DD′∴CE=C′E，DF=D′F∴小明走过的路线是：CE+EF+DF=C′E+EF+D′F=C′D′根据两点之间线段最短可知：小明所走的最短路线为C→E→F→D。【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】先作C关于OA的对称点C′，作D关于OB的对称点D′，连接C′D′交OA、OB于E、F，再根据垂直平分线的性质证出小明走过的路线是线段C′D′的长，根据两点之间线段最短可知此路线最短。24．【答案】（1）解：当∠A为等腰三角形的顶角时，底角=180°−70°2=55°，此时∠B=55°； 当∠A为等腰三角形的底角时，顶角=180°-2×70°=40°，此时∠B=70°或40°， 综上可知：∠B=55°或40°或70°.（2）解：①当90°