2024届北京市人大附中石景山学校高三上学期10月检测数学试题含答案

这是一份2024届北京市人大附中石景山学校高三上学期10月检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，因此，
故选：B
3．已知向量，，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解
【详解】由与共线，则，
故选：A
4．下列函数中，是奇函数且最小正周期的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出函数，的图象，由图象判断AB；利用定义证明为奇函数，再求周期，从而判断CD.
【详解】由下图可知，函数，都不是周期函数，故AB错误；
，
即函数为奇函数，且周期，故C正确；
对于D项，周期，故D错误；
故选：C
5．已知α∈，且sin α＝，则tan α＝( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由sin α＝，α∈ 得cs α＝－＝－所以tan α＝
故答案为B．
6．已知数列的前项和，则是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
【答案】A
【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，适合上式，
因为，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
7．已知、、三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.
【详解】由于、、三点共线，则，即，解得.
故选：C.
8．在△ABC中，AB=4，AC=3，且则（ ）
A．-12B．-9C．9D．12
【答案】B
【解析】由可得，结合平面向量数量积的几何意义可得答案
【详解】因为
所以,两边平方可得，
所以，
,
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的几何意义，考查了向量垂直的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题,
9．在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先判断如果 能不能推出 是钝角三角形，
再判断如果 是钝角三角形，是否一定有即可.
【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且, 则，
，是钝角三角形，
所以是充分条件；
如果 是钝角三角形，不妨设 ，则 ，
所以不是必要条件；
故选：A.
10．已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
二、填空题
11．复数 ．
【答案】
【解析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．
【详解】由复数除法运算法则可得，
，
故答案为：.
12．在中，若，则 .
【答案】
【分析】直接利用余弦定理计算可得；
【详解】解：因为，所以
因为
所以
故答案为：
【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.
13．已知向量，．若，则 ．
【答案】
【分析】依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，且，
所以，解得；
故答案为：
三、双空题
14．已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则 ， .
【答案】
【分析】利用已知条件可得出，化简可得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】由题意可得，，则，
，解得.
故答案为：；.
四、填空题
15．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】① ③ ④
【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
五、解答题
16．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ)先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求周期（Ⅱ)，在（Ⅰ)的基础上，利用正弦函数性质求最值
试题解析：（Ⅰ)
（1)的最小正周期为；
（2)，当时，
取得最小值为：
【解析】二倍角公式、配角公式
17．已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前项和，，.
求数列的通项公式；
若，求的最大值.
【答案】；4
【分析】（1）设等比数列的公比为，由，可得，即可求出结果．
（2） ，即可得出结论．
【详解】解:在等比数列中，设公比为.
因为
所以
所以.即.
则或.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以.
所以数列的通项公式
在等比数列中，
因为
所以
因为，
所以.
所以.
所以.
因为.
所以.即的最大值为.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．在锐角△ABC中，角的对边分別为，且．
(1)求角的大小；
(2)再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
条件①：，；条件②：，
【答案】(1)
(2)选①为：；选②为：
【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得.
（2）利用正弦定理求出，进而求出三角形面积.
【详解】（1）由，利用正弦定理，可得，
，得，在锐角三角形中，.
（2）选①：由（1）得，，结合正弦定理，得到，，，
结合为锐角，可计算得，则，，
所以，△ABC的面积为.
选②：，，由（1）得，结合正弦定理，，
可得，且，
所以，△ABC的面积为
19．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】（1）0.4 （2）15人 （3）3∶2
【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值；
（2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间，内的人数；
（3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例．
【详解】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．
所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4．
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
故样本中分数小于50的频率为0.1，
故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5．
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为．
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为．
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题．
20．已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析
(2)
【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以,
所以，所以
所以在单调递增，所以；
（2），
当时，所以，
,
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
21．若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.
①，当时，；
②若存在某一项，则存在，使得（且）.
(1)若，写出所有数列的前四项；
(2)若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；
(3)在所有的数列中，求满足的的最小值.
【答案】(1)数列的前四项为：；；；
(2)数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析
(3)的最小值为
【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得或，由得，再根据条件逐个列举即可；
（2）由条件①知，当时，或，由得，利用反证法假设数列中存在最小的正整数（），使得，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；
（3）先根据条件②可得必为数列中的项，再结合条件①可得分析即可．
【详解】（1）由条件①知，当时，或，
因为，由条件①知，
所以数列的前四项为：；；；.
（2）若，数列是等差数列
由条件①知，当时，或，
因为，所以
假设数列中存在最小的正整数（），使得，
则单调递增，
由则均为正数，且.
所以.由条件②知，则存在 ，使得
此时与均为正数矛盾，
所以不存在整数（），使得，即.
所以数列为首项为1公差为4的等差数列.
（3）由及条件②,
可得必为数列中的项，记该数列为，有，
不妨令，由条件①，或均不为；
此时或或或，均不为
上述情况中，当，时，
结合，则有.
由，得即为所求.