2024届广东省湛江市爱周中学高三上学期调研考前模拟（二）数学试题含答案

这是一份2024届广东省湛江市爱周中学高三上学期调研考前模拟（二）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先解一元二次不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再进行交集运算即可.
【详解】集合，
集合，
则.
故选：D.
2．已知i是虚数单位，则复数的模为（ ）
A．5B．C．D．1
【答案】B
【分析】运用复数乘法、除法运算及复数的模的公式计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
3．已知，，且，则实数（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．
【详解】解：，，
，，，，，
，
，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别，属于基础题．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据三角函数的诱导公式，得到，再由余弦的倍角公式，求得，代入即可求解.
【详解】由题意，因为，可得，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角恒等变换的化简求值，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
6．若椭圆b2x2+a2y2＝a2b2（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若∠ABF＝90°，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化椭圆方程为标准方程，根据可知，转化求解椭圆的离心率即可．
【详解】解：由，得，
设由题意可得：，
，
．
（负值舍去）．
故选．
【点睛】本题考查了利用椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形等知识求解离心率，是基础题．
7．已知定义在R上的奇函数的周期为4，当时，，则（ ）
A．3B．―3C．1D．―1
【答案】C
【分析】根据函数的周期性和奇偶性，以及已知函数解析式即可求得结果.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，所以，
又因为的周期为4，所以.
故选：C
8．若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案.
【详解】的圆心为，半径为，
因为直线，与相切，
所以，即，
所以可设，
所以，其中，
故选：B
二、多选题
9．某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．乙同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
C．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等
D．甲同学体温的第70百分位数为36.5℃
【答案】BCD
【分析】求出乙同学体温的极差即可判断A，将乙同学体温数据从小到大排列，得到众数、平均数、中位数，即可判断B，根据折线图判断C，根据百分位数计算规则判断D；
【详解】选项A，乙同学体温的极差为36.5-36.3=0.2℃，故A错误；
选项B，从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故B正确；
选项C，乙同学的体温从低到高依次为36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，故众数为36.4℃，而中位数和平均数都是36.4℃，故C正确；
选项D，甲同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，由.可知数据的第70百分位数为第5项数据36.5℃，故D正确.
故选：BCD.
10．下列命题中正确是（ ）
A．命题的否定
B．线性回归直线必过样本点的中心
C．若随机变量服从正态分布，，则；
D．函数在处的切线方程为
【答案】BCD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A；根据回归直线的含义判断B；根据正态分布的对称性可判断C；根据导数的几何意义求得数在处的切线方程，判断D.
【详解】对于A，命题的否定，A错误；
对于B，由线性回归直线方程的含义知，线性回归直线必过样本点的中心，B正确；
对于C，随机变量服从正态分布，，
则，C正确；
对于Ｄ，函数，求导得，有，
所以在处的切线方程为，即，D正确；
故选：BCD
11．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（ ）

A．最小正周期为
B．的最大值为2
C．在区间上单调递增
D．为偶函数
【答案】BC
【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.
【详解】A选项，设的最小正周期为，
由图象可知，解得，A错误；
B选项，因为，所以，解得，
故，
将代入解析式得，
因为，所以解得，
因为函数经过点，所以，故，
的最大值为2，B正确；
C选项，，
当时，，
因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；
D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.
故选：BC
12．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.

三、填空题
13．若，则 .
【答案】15
【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.
【详解】不妨设，
令得，
令得，
所以.
故答案为：15.
14．已知函数，若方程有两个不同根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，平移直线，数形结合可得到的取值范围.
【详解】解：先作出函数的图象：
.
由图可知，当时，与有两个交点，有两个不同的根，
当时，与有一个交点，有一个根，
当时，，，故与无交点，此时无实数根，
综上，所以的取值范围为，
故答案为：.
15．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．

【答案】/
【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.
故答案为：
16．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【答案】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.
故答案为：.

四、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即.
又∵，，∴，.
（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得 ，
∴，解得，即BC边上的高为 .
18．已知是公差为1的等差数列，数列|满足，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先求出，再求出，接着整理得，最后求出即可；
（2）先求出，再运用错位相加法求即可.
【详解】解：（1）因为，则当时，，
因为，，所以，
因为是公差为1的等差数列，所以，
则，整理得：
所以，，，…，，
将这个式子相乘得：，又因为，
所以，
（2）因为，所以，
所以，……①
，……②
由①②得：，
所以
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式、运用累乘法求通项公式、利用错位相减法求数列的前项和，是中档题.
五、证明题
19．如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，侧面是边长为的正方形，侧面侧面，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形和等边三角形性质可证得；根据面面垂直和线面垂直性质可证得，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）连接，
侧面是菱形，且，是等边三角形，
又为的中点，，
，；
侧面是边长为的正方形，，
又侧面侧面，侧面侧面，侧面，
侧面，又平面，，
，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则、、、、、，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
平面轴，平面的一个法向量，
，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
六、解答题
20．为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病的患者进行临床药物实验．随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人注射乙药物，实验结果完成后，得到如下统计表：
(1)分别估计注射甲、乙两种药物的患者效果明显的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异？
(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者按分层抽样的方法抽出5人，然后从5人中随机抽取3人做进一步药物实验，记抽到注射甲药物的患者人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，．
临界值表：
【答案】(1)，
(2)没有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由表中数据计算频率估计概率即可；（2）由表中数据代入公式计算并判断即可；（3）先根据分层抽样确定5人中注射甲药物的患者人数，得到随机变量X的所有可能取值，再分别计算其概率，得到分布列和期望。
【详解】（1）由题意可知，注射甲药物的患者共100人，治疗效果明显的有76人，故注射甲药物治疗效果明显的概率为；
注射乙药物的患者共100人，治疗效果明显的有84人，故注射乙药物治疗效果明显的概率为．
（2）由表中的数据可知，，
因为，所以没有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异．
（3）从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中按分层抽样的方法抽出5名患者，
则应从甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中分别抽取3人，2人，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以X的分布列为
故．
七、证明题
21．已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点.
【详解】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
八、解答题
22．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）2.
【解析】（1）当时，对函数求导，利用导数判断其单调性即可；
（2）对函数求导，可得，分和两种情况，分别讨论函数的单调性，结合当时，恒成立，可求出答案.
【详解】（1）当时，，所以.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，所以.
①当时，由，可得恒成立，所以单调递增，
所以，而，所以恒成立；
②当时，令，可得；由，可得.
所以在单调递减，在单调递增.
因为恒成立，所以，
即，所以.
设，则，
因为，所以，所以，
故在单调递减.
又因为，，，
所以存在，使得，
且当时，；当时，.
又因为且为整数，所以的最大值为2.
【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
（1）讨论最值法：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式的参数的范围；
（2）分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数最值，从而求出参数的取值范围.
药物
效果明显
效果不明显
合计
甲药物
76
24
100
乙药物
84
16
100
合计
160
40
200
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
X
1
2
3
P