2024届山西省晋中市平遥县第二中学校高三上学期10月质检数学试题含答案

这是一份2024届山西省晋中市平遥县第二中学校高三上学期10月质检数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第四象限C．第三象限D．第二象限
【答案】D
【分析】直接根据复数的几何意义判断即可.
【详解】复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：D.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出，，对四个选项一一进行判断.
【详解】因为，
中，当时，，当时，，
故，
中，当时，，当时，，
故，
AB选项，不是的子集，不是的子集，AB错误；
CD选项，，C正确，D错误.
故选：C
3．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数判断出的单调性，结合零点存在性定理求得正确答案.
【详解】，所以函数单调递增，
又因为，，，
所以函数在内存在唯一零点.
故选:B
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据正切的两角差公式求，然后利用二倍角公式和平方关系将所求化为齐次式，利用可求.
【详解】由，有，解得，
则．
故选：C．
5．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为．若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）
（参考数值：，结果精确到）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【详解】依题意，，
令，则，
所以
，
所以.
故选：B
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性可排除D；取可排除A；利用导数判断时的单调性可排除C，然后可得正确答案.
【详解】的定义域为R.
是偶函数，排除D；
又，排除A；
当时，，，
，
在上单调递增，排除C．
故选：B．
7．某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时加速度大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对求导得，令，对其求导可得，令求解即可得结果.
【详解】由题意可得：，
设，则，
因为当时，该质点的瞬时加速度大于，即，
显然不是负数，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
8．设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得在上有个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围．
【详解】令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有个不同零点即可．
当时，，所以，即
故选：A
二、多选题
9．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．在上有极小值
D．的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】利用三角函数的图象与性质一一判定即可.
【详解】由正弦函数的周期公式得：，故A错误.
易知，，故B、D正确.
当时，，
根据正弦函数的单调性可知：时，即时，单调递减；
时，即时，单调递增，
所以时，函数取得极小值，故C正确.
故选：BCD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象恒过定点
B．设，则“”是“”的必要而不充分条件
C．命题“，”的否定为“，”
D．函数的最小值为2
【答案】BC
【分析】根据函数的图象性质及可判断A选项；先求解，再根据充分条件、必要条件的定义即可判断B选项；根据否定命题的定义可判断C选项；令，结合对勾函数的性质可判断D选项.
【详解】对于A，令，则，即，
所以函数的图象恒过定点，故A错误；
对于B，，解得或，由于是或的真子集，
则“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，命题“，”的否定为“，”，满足命题的否定形式，故C正确；
对于D，函数，令，则，，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
故，故D错误.
故选：BC.
三、单选题
11．函数（）的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】先求得，根据判别式对进行分类讨论，由此确定正确答案.
【详解】因为的定义域为，．
当，即时，对任意恒成立，
所以在上单调递增，故C正确；
当，即或时，
设方程的两根为，且，
可知，可知同号，
令，得；令，得或，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故A，B正确，D错误.
故选：ABC.
四、多选题
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．是函数的极值点
C．过原点仅有一条直线与曲线相切
D．若，则
【答案】ACD
【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调性，得出，整理即可构造，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项.
【详解】对于A项，由已知可得，
令，则.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，恒成立，即恒成立，
所以函数在上单调递增，故选项A正确；
对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误；
对于选项C，设切点的坐标为，
根据导数的几何意义可知，切线的斜率，
所以过的切线方程为.
又切线经过原点，所以有，
整理为.
令，有，
当时，，有；当时，，有.
所以恒成立，函数单调递增.
又由，，
根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点.
故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；
对于D选项，若，有，
由函数单调递增，
有，.
令，有．
令，有
（当且仅当时取等号），
可得恒成立，所以函数单调递增.
又由，
所以时，，，所以在上单调递减；
时，，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，故成立，选项D正确．
故选：ACD．
五、填空题
13．若，那么等于 .
【答案】8
【分析】令得，代入即可求解.
【详解】令，则，所以，
故答案为：
14．若为奇函数，则 .
【答案】
【分析】先根据奇函数定义域的特征求得，然后根据奇函数定义验证即可.
【详解】由得或，
因为为奇函数，所以的定义域关于原点对称，所以，即.
当时，，
所以为奇函数.
故答案为：
15．已知，则 .
【答案】
【分析】化简得到，根据得到且，从而求出答案.
【详解】由，
得.
因为，所以当且仅当两个等号同时成立，
即且时，，
又，，
所以，所以.
故答案为：
16．已知函数在上既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由在上有2个不同的零点分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】根据题意得，
，．
由函数在上既有极大值也有极小值，
可得在上有2个不同的零点．
令，得，令，，
即直线与函数的图象在y轴右侧有2个不同的交点．
，由，得，单调递增；
由，得，单调递减，
故，又，；，，故，
即实数a的取值范围为．
【点睛】利用导数研究函数的极值，首先要注意的是满足的不一定是极值点，还需要满足在其左右两侧函数的单调性相反.利用导数研究含参数的函数的零点，可以考虑利用分离参数法，通过分离参数，然后利用构造函数以及导数来求得参数的取值范围.
六、解答题
17．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高度，选取了与楼底在同一水平面内的两个测量基点，现测得，在点处测得黄河楼顶的仰角为，求黄河楼的实际高度（结果精确到，取）.
【答案】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由题知，
，
在中，由正弦定理得，
则.
在中，，
所以，
故黄河楼的实际高度约为.
18．已知函数，．
(1)当时，求在上的值域；
(2)若的极小值为，求m的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用导数讨论单调性，结合单调性求最值即可得值域；
（2）求导，利用导数判断极值点，根据极值列方程可得.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
当x变化时，，的变化情况如表所示：
所以在上的值域为．
（2）由，得，
令，得或，
因为，
令，得；
令，得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，
令，
解得，故m的值为6．
19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象经过点代入即可求解，
（2）根据平移得，进而结合基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由图可知，
解得，所以
（2）依题意可得，
所以.
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最大值为.
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；
（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
则．
当时，在上恒成立，
故此时在上单调递减；
当时，由，得,由，得，
故此时在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，所以；
当时，
(i)若，即时，在上单调递增，
此时，；
(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，；
(iii)若，即时，在上单调递减，
此时，．
综上所述，．
21．已知函数.
(1)设钝角满足，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据二倍角的正切公式求出，再利用二倍角正弦公式及弦切互化求解即可
（2）先利用二倍角公式及两角和正弦公式化简函数，然后根据同角三角函数及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由，即，解得或，
因为为钝角，所以，
所以.
（2），
由，得.
因为，所以，
所以.
故.
22．已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若函数恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设，判断函数在上的单调性，即可求值域；
（2）由题意可得有两个根，利用导数研究的性质，数形结合即可得参数范围.
【详解】（1）因为，所以，则在上为减函数，
因为，所以在上的值域为
（2）由得：，则，
则，所以
因为，所以，整理得有两个根.
令，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当趋向时趋向于，当时.

故的取值范围是.
x
0
1
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值0
单调递减
极小值
单调递增
0