2024届陕西省渭南市韩城市象山中学高三上学期10月第二次检测数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省渭南市韩城市象山中学高三上学期10月第二次检测数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到集合，，然后求交集即可.
【详解】由题意得，，，所以.
故选：D.
2．已知是第二象限的角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】有诱导公式与同角三角函数基本关系求解即可
【详解】
故选：A
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过不等式性质分别求解出与的范围，从而再进行判断.
【详解】由，可得或，即或，
由，可得或，即或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．已知，命题p：，都有；命题q：，总有.则下列命题中是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】举出反例得到p为假命题，再构造，利用导函数得到单调性，得到命题q为真命题，从而一一判断ACD错误，B正确.
【详解】当时，，故命题p为假命题，
令，则恒成立，
故在上单调递增，
故，故，总有，故命题q为真命题，
故为假命题，为真命题，为假命题，为假命题，
ACD错误，B正确.
故选：B
5．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若，则与的终边相同；
⑤若，则是第二或第三象限的角.
其中正确命题的序号是（ ）.
A．②④⑤B．③⑤C．③D．①③⑤
【答案】C
【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．
【详解】解：①由于是第二象限角，是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确．
②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确，
④若，则与的终边相同或终边关于轴对称，即④不正确．
⑤若，则是第二象限角或第三象限角或的终边落在轴的负半轴上，即⑤错误．
其中正确命题的序号是③，
故选：C．
6．若为的一个内角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先分析得到，再求再开方即得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
,
所以.
故选：D
【点睛】结论点睛：看到，要联想到解题.
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知函数为偶函数，且在上为增函数，由已知可得出，解此不等式即可得解.
【详解】函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，
由，可得，得，
即，解得.
故选：D.
8．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递增
D．为奇函数
【答案】B
【分析】根据函数图象求得，然后根据三角函数的对称性、图象变换、单调性、奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由图可知，，
，
，由于，所以，所以，
则.
，所以A选项错误.
的图象向右平移个单位后得，B选项正确.
，函数不具有单调性，所以C选项错误.
为偶函数，D选项错误.
故选：B
9．若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案.
【详解】由题可知在上有解，
即在上有解，
设 ，
当时，，递减，当时，，递增，
故，，
所以，解得，所以的取值范围是，
故选：A
10．已知函数在上是减函数，且在上恰好取得一次最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出函数的单调递减区间，再根据函数在上是减函数，求出的取值范围，再根据函数在上恰有一个最小值，求出的取值范围，最后取交集即可；
【详解】解：令，解得，则函数的减区间为．因为在上是减函数，所以，则解得．
令，解得．因为在上恰好取得一次最小值，所以，解得．综上，的取值范围是．
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题.
11．定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．的图象在处的切线方程为
D．和的图象所有交点的横坐标之和为10
【答案】C
【分析】根据函数的对称性、周期性以及切线方程的求解和函数零点的求解，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，则，故可得，
故关于对称，A正确；
对B：因为，又为偶函数，故，
则，即，则的周期为；
，故B正确；
对C：当时，，又为偶函数，故当时，；
当，，则；
即当时，，，又，则，
故在处的切线方程为:，即，故错误；
对：因为都关于对称，故其交点也关于对称；
两函数在同一坐标系下，且当时的图象如下所示：
由图可知，两函数在时有5个交点，也即两函数图象共有5对交点，
又每一对交点的横坐标之和为，故所有交点的横坐标之和为10，故正确.
故选：.
12．若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意转化为函数与函数的图象恰好有两个交点，即方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，
等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，
所以方程，即在上有两个不同的解，
构造函数，则，
当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，解得，
又由，所以函数在上有且仅有一个零点，
令，则，
令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，
所以，即，
又由，
所以函数在上有且仅有一个零点．
综上可得：，即实数的取值范围是．
故选：A.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
二、填空题
13．函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的一个值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由三角函数的图像变换及诱导公式，得到，结合题意得到或，进而求得的一个值，得到答案.
【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后，
可得，
由函数与的图像重合，
所以
即
令时，可得
所以的一个值为.
故答案为：（答案不唯一）.
14．已知函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再代入直线方程，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】解：对于函数且，令则，所以函数恒过定点，又点在直线上，所以，即，所以，因为，所以且，所以，当且仅当，即时取等号，所以；
故答案为：
15．已知方程的两个实数根是，且，则 ．
【答案】/
【分析】结合根与系数关系、两角和的正切公式求得正确答案.
【详解】依题意，方程的两个实数根是，
所以，
所以，
由于，，所以.
故答案为：
16．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得到，然后将经过且与曲线相切的直线有三条转化为与的图象有三个交点，求导，利用函数单调性画出大致图象，然后列不等式求解.
【详解】，设切点坐标为，切线斜率为，
当时，明显只有一条切线，故 ，
则，整理得，
经过且与曲线相切的直线有三条，即方程有三个解，即与的图象有三个交点，
，当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减，
因为，所以，又，，所以的大致图象如下：
所以，解得.
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数.
(1)求在区间上的最值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)最小值1，最大值2
(2)
【分析】（1）先化简f(x)的解析式，再根据正弦（型）函数性质即可求最值；
（2）由可得，根据求出范围，从而求出，再根据即可求解.
【详解】（1）因为．
，，即时，有最小值1，，即时，有最大值2，
故.
（2）∵，∴，
由，得，∴，
∴
．
18．已知函数，满足______．
在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．
(1)求的解析式；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式；
（2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案.
【详解】（1）若选①②：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．
因为，所以，所以函数的解析式为；
若选①③：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以，即，因为，所以．
所以函数的解析式为；
若选②③：
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，
因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以即，
因为，所以，所以函数的解析式为；
（2）把的图象向右平移个单位得到，
再将向上平移1个单位得到，
即，由得，
因为在区间上的最大值为2，
所以在区间上的最大值为1，
所以，所以，所以的最小值为.
19．已知函数，其中.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；
(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为，无增区间.
(2)
(3)
【分析】（1）求得，设，利用导数求得函数的单调性，结合，得到，即可求解；
（2）求得，转化为有两个不等的正根，设，分和，两种情况，利用导数求得函数的单调性，结合，列出不等式，即可求解；
（3）根据题意，转化为，设，求得，得出函数单调性和最值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：若，则，可得，
设，则，
当时，递增；当时，递减，
所以，即，所以在递减，
即的单调减区间为，无增区间.
（2）解：由函数，可得，
由题意可得有两个不等的正根，
设，
若，则在递增，不符合题意；
若，可得，令，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
可得，
因为有两个不等的正根，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）解：由，可得，即，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
又时，时，，
因为恰有2个不同的零点，所以，可得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法总结：利用导数研究函数的零点求参数问题的求解策略:
1、构造函数法：构造新函数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合零点的个数，列出不等式组，即可求得参数的范围；
2、参数分离法：根据题意，化简得到，转化为和两个函数的图象的交点个数，从而求得参数的取值范围.
20．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换与同角基本关系可求得，结合已知与面积公式即可求解；
（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解即可
【详解】（1），
,
，
，
，
，
,
又易知，
，
，
；
因为，，，
所以；
（2）
，，
，
为锐角三角形，
，解得，
，
，
，
所以周长的取值范围为
21．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数并化简，讨论和两种情况下函数的单调性；（2）根据题意将不等式转化为，分别求函数的最值，即可求解.
【详解】（1），.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，解得，即在上单调递增，
由，解得，即在上单调递减.
（2）当时，由（1）知，
，恒成立，在上单调递增，所以，
由题意知，即.
设，则，所以为增函数，
又，所以，
即的取值范围是.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为， l与曲线C的交点为，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.
(2)设所对应的参数分别为,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.
【详解】（1）由,得．
将代入得,,
所以C的直角坐标方程为．
（2）设所对应的参数分别为,
因为直线l的参数方程为为参数
所以M在l上
把l的参数方程代入可得
所以,
所以,
故=.
【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.