2024届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考数学试题含答案

这是一份2024届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式可得集合，根据集合的并集运算即得答案.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的定义，即可求解.
【详解】由复数，可得，
所以，所以复数的虚部为.
故选：A.
3．在中，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】将平方，再结合模长运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：C.
4．将函数的图象向右平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再由的图象关于轴对称，得到，求得，结合选项，即可求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位后，
可得，
因为的图象关于轴对称，所以，即，
解得，即，
当时，可得，所以B项符合.
故选：B.
5．在正项等比数列中，，则的最小值是（ ）
A．12B．18C．24D．36
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质及基本不等式即可求解.
【详解】在正项等比数列中，，所以，
当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24.
故选：C.
6．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解.
【详解】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，
则其面积为，解得，
所以扇环的两个圆弧长分别为和，
设圆台上下底面的半径分别为，高为，所以，解得，
，解得，作出圆台的轴截面，如图所示：

图中，，过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，则上底面面积，，
由圆台的体积计算公式可得：.
故选：A.
7．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.
【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，
而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，
于是，，两式相减得，解得，
所以火箭发射时的声压约为.
故选：D
8．在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解
【详解】由三角形面积公式结合，可知，即，
又由平方关系，所以，即，
解得或（舍去），
由余弦定理有，所以，
令，所以 ，故只需求出的范围即可，
由正弦定理边化角得，
注意到在锐角中，有，简单说明如下：
若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，
所以在锐角中，有，
所以在锐角中，有，
因为正切函数在上单调递增，
所以，
从而，
而函数在单调递减，在单调递增，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意到在锐角中，有，结合以上关键点即可顺利求解.
二、多选题
9．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
B．
C．剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数
D．
【答案】ABD
【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为，再根据中位数、平均数、第22百分位数与方差的定义与公式推导即可.
【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，
对于A：原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，A正确；
对于B，依题意，，，，
由，得，即，
于是，因此，即，B正确；
对于C，因为，则剩下18个数据的分位数为，
又，则原样本数据的分位数为，C错误；
对于D，因为，则，，，
于是，，
因此，即，D正确.
故选：ABD
10．某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（ ）
A．
B．与均不相互独立
C．
D．若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大
【答案】AC
【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的概率乘法公式计算判断B，根据条件概率公式计算判断C，根据古典概型概率公式计算判断D.
【详解】由题意，，
，
则，故A正确；
由，则，所以与相互独立，故B错误；
因为，所以，所以，故C正确；
由题意这次高一年级数学考试中，（1）班、（2）班、（3）班学生中及格人数之比为，
所以从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率为，
该同学来自（2）班的概率为，该同学来自（3）班的概率为，
所以该同学来自（3）班的概率最大，故D错误.
故选：AC
11．已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，逐项判断即可.
【详解】由函数关于直线对称，可得，
即，则函数关于直线对称，故选项C正确；
由的图象关于点对称，可得，
即，以2x代换x，则，
所以函数关于点对称，可得，即，
结合可得，
所以，故选项B正确.
所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，
所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项A、D错误；
故选：BC
12．在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则面积的最大值为
B．若，则面积的最大值为
C．若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3
D．若为的中点，且，则面积的最大值为
【答案】BCD
【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理，结合二次函数求解最值判断C，根据余弦定理结合二次函数求解最值判断D.
【详解】对于A，由余弦定理可得，
即，
由基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，所以A错误；
对于B，由余弦定理可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，，则，，
在和中，分别运用正弦定理，得和.
因为，所以，即，所以，
由余弦定理可得，所以，
，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为3，所以C正确；
对于D，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则，
所以，
所以当即时，，D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得边角关系，再建立三角形的面积函数，进而借助基本不等式或二次函数的图象和性质，分析探求出其最大值使得问题获解.
三、填空题
13．写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于轴对称”的幂函数： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的图象与性质以及函数奇偶性即可得到答案.
【详解】举例，令，无实数解，且定义域为，则函数的图象与坐标轴没有交点，
，且定义域为，关于原点对称，
则为偶函数，则其图象关于轴对称.
故答案为：.
14．的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.
【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；
情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.
综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
15．在等比数列中，，则 .
【答案】
【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后根据定义可判断为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.
【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以，
记，
因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，
所以.
故答案为：.
16．已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．
【详解】由题意可知，，
设，可得直线的斜率分别为，，
因为点在双曲线上，则，整理得，所以，
设点，可得直线，的斜率，，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
则，所以直线与关于轴对称，
又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，
又，则，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
四、解答题
17．数列的满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．
【答案】(1)
(2)1473
【分析】（1）由，，得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得出数列的通项公式；
（2）首先得出的通项公式，由，可知中要去掉数列的项有5项，代入计算即可．
【详解】（1）因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即．
（2）由得，，
因为，
所以中要去掉数列的项有5项，
所以
．
18．在中，内角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)为边上一点，，求边的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用正弦定理再根据辅助角公式得，最后结合角的范围即可求解；
（2）根据面积关系化简求值即得.
【详解】（1），
由正弦定理可得，
即，
，
又.
又.
（2）
即，解得
19．如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.

图1 图2
(1)设平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）延长交于点，连接，根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得解.
（2）作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）延长交于点，连接，如图，
依题意，分别为的中点，则，
因此分别是以为斜边的直角三角形，
即，又，平面平面，
于是平面，而平面平面，显然直线与重合，
所以平面.
（2）
取的中点，连接交于点，则为中点，连接，
由为等边三角形，得，则为二面角的平面角，
，在中，，则，
由平面，平面，得，又，于是，
在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为.
20．2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，
(1)根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否推断该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？
(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解亚运会项目的学生的人数为，求使得取得最大值时的值.
附：.
【答案】(1)列联表见解析，不能
(2)
【分析】（1）根据条件概率求得人数填写列联表，代入公式求出观测值，将其余临界值比较即可求解；
（2）根据二项分布求出概率，根据单调性列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为，
所以对杭州亚运会项目的了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，结合男生和女生各50名，填写列联表为：
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据，，
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.
（2）由（1）知，了解亚运会项目的频率，所以随机变量，
，
令，解得，
因为，所以当时，取得最大值.
21．已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求导得，然后令导函数为0可得，结合导函数的符号与函数单调性的关系以及对参数分类讨论即可.
（2）由（1）中结论，先分和两种情况，然后在讨论的时候又要分和两种情况，结合不等式恒成立的条件列出不等式，即可求解.
【详解】（1）函数定义域为，求导得
令，得.
①当时，，
当或时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，所以在上单调递增；
③当时，，
当或时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）在区间上恒成立，
在区间上的最大值小于等于1，
①当时，在上单调递增，
所以，
又，
所以，即，
所以此时解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，分以下两种情形讨论：
情形一：当，即时，在区间上单调递减，
所以，解得满足题意；
情形二：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为或，
此时，则，且，
由（2）①可知，，所以此时解得.
结合以上两种情形可知，当时，不等式在区间上恒成立.
结合①②，综上可得，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是含参分类讨论，第二问的关键是结合第一问的结论且也要分类讨论,在分类讨论时要做到不重不漏，且要有扎实的计算功底.
22．设抛物线的焦点为上点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该正方形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）由焦半径公式结合点在上，列出方程组求解即可.
（2）画出图形，直线的斜率为，，另一方面由两点也可以得到直线的斜率，结合，，即可列出方程组，从而把都用含有的式子表示，即正方形的面积也可以表示为的函数，最终根据的范围并求导即可求解.
【详解】（1）因为点在上，所以①，
因为，所以由焦半径公式得②，
由①②解得，故抛物线的方程为.
（2）如图所示：
依题意，不妨令正方形的顶点在抛物线上，且，
设抛物线上的三点为，
显然直线的斜率均存在且不为0，
又由抛物线的对称性不妨设直线的斜率大于0，且点都不在轴下方，
结合图形知，设直线的斜率为，
则直线的斜率，①
同理由得，，即，②
由得：，
即，化简得，③
由①②③得，
则正方形的面积为
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以，
，
函数在上单调递增，
所以当，即时，该正方形的面积的最小值为.
【点睛】关键点睛：第一问的关键是根据焦半径公式结合点在抛物线上，从而求解；第二问的关键是要先设参、设点，然后根据正方形邻边相等且互相垂直从而将各个点的坐标都用参数来表示，从而即可求得面积的表达式，构造导数即可求解，本题综合性比较强，考查了数形结合的思想，平时可以多巩固计算.
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合计
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合计
45
55
100