2024届陕西省高三上学期10月大联考（全国乙卷）数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省高三上学期10月大联考（全国乙卷）数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求集合，再利用交集概念求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，或B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】由全称量词命题的否定是特称命题，直接写出结果.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题“”的否定是“或”.
故选：A.
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据共线坐标表示得到,结合选项进行判断即可.
【详解】因为，所以，所以A，C错误；因为也成立，所以错误.
故选：D.
4．下列函数中，满足对任意的，都有的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.
【详解】A：若，由，得，取，得不成立；
B：若，由，得，取，得不成立；
C：若，则，即，成立；
D：若，由，得，取，得不成立.
故选：C
5．已知且，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于：利用对数函数单调性解得，再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】对于：因为（且），
当时，在定义域内单调递减，则，无解；
当时，在定义域内单调递增，则，可得；
综上所述：不等式的解集为.
又因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，
故选：B.
6．若，则使成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式化简，即可得到，从而可得的范围.
【详解】由，得，
因为，所以，所以，即，
所以，所以使成立的的取值范围为.
故选:D.
7．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为的PBAT的已分解质量（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量与时间的函数关系式为.据此研究结果可以推测，总质量为的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：）
A．8个月B．9个月C．10个月D．11个月
【答案】C
【分析】根据题意，令，求解即可.
【详解】令，得，解得，
故至少需要10个月，总质量为的PBAT才会被分解为对环境无害的物质.
故选：C.
8．若函数是偶函数，则（ ）
A．-6B．6C．-12D．12
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义可得，从而得到，求解即可.
【详解】因为是偶函数，所以，
所以.
故选：.
9．若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③在上单调递减；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由图像经过的特殊点和逐项判断即可.
【详解】由题图，得，最小正周期.
又，所以，故①正确；
，又的图象过点，
所以，
所以.
又，所以，故②错误；
，令，当时，，
函数在上单调递减，故③正确；
，故④正确.
故选：C.
10．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先根据分析出点位置为重心，再根据三点共线性质等到关于的等式，最后由均值不等式得到的最小值.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
所以.
又因为，所以三点共线，所以，即.
因为均为正数，所以，即，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为，
故选：B
11．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据为偶函数，可求出关于对称，关于点对称，
可求出为奇函数从而得出为偶函数，然后通过利用函数的奇偶性和对称性从而求解.
【详解】因为为偶函数，所以函数的图象关于直线对称.所以可得：，
因为函数的图象关于点对称，
所以函数关于点对称，所以可得为奇函数，
所以为偶函数，所以，
所以.
故选A.
12．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题设有，构造且研究单调性比较大小，进而确定，再构造且研究单调性比较参数大小.
【详解】由，得.
令且，则且在上单调递减，
而，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
所以，即，
所以，
令且，则，
所以在上单调递减，故.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由，构造研究单调性比较等式右侧大小确定大小，构造并利用单调性确定参数大小.
二、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】8
【分析】设，根据幂函数过的点，求出其解析式，再代入数值求得答案.
【详解】设，由，
得，所以，所以，
所以，
故答案为：8.
14．已知均为正数，，若的最大值为，且，则满足条件的一个实数的值为 .
【答案】4（答案不唯一）
【分析】利用基本不等式即可求出，解出即可.
【详解】因为（当且仅当时取等号），所以，
所以，所以.又易知，所以.
故答案为：4.
15．《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点在建筑物的同一侧，且点位于同一个平面内），测得，在点处测得点的仰角分别为，在点处测得点的仰角为，则塔高为 .（参考数据：）
【答案】24
【分析】在中，求出，，利用正弦定理求解即可.
【详解】如图，延长与的延长线交于点，
则，
所以，
所以.
在中，，
由正弦定理，得.
故答案为：24.
16．当时，恒有成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数有意义可得在上恒成立.，进而可得：由可得，构造函数可得，进而可得，从而可得答案.
【详解】由题意，得.又恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以①.
由，得，
即.
构造函数，则
因为在上是增函数，
所以，所以.
令，则.
构造函数,
时，递减：时，递增，
所以，即恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以②.由①②知.
故答案为：.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、问答题
17．已知平面向量，函数.
(1)求不等式的解集；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
【分析】（1）先利用三角恒等变化将函数表达式化简成，从而等价于，
即，解不等式即可.
（2）由题意令，解不等式即可进一步求解.
【详解】（1）由题意，得
，
由，得，即，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，令，
解得，
所以的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
所以函数在上的单调递增区间为.
18．如图，在平行四边形中，，令，.
(1)用表示，，；
(2)若，且，求.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；
（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】（1）因为，，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）方法一：由（1）知，
又，
所以，
即，
解得，
所以.
方法二：因为，所以，
因为，且，
所以，
解得，
所以，
又，
所以.
四、应用题
19．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
【答案】(1)模型②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【详解】（1）应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
五、问答题
20．已知函数.
(1)若为函数的导函数，求的极值；
(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得到导函数，再次求导，考虑和两种情况，根据函数单调性计算极值即可.
（2）确定，变换得到，构造新函数，求导得到单调区间和极值，画出函数图像，根据图像得到取值范围.
【详解】（1），故，则，
当时，在上单调递增，所以无极值；
当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值，.
综上所述：
当时，无极值；
当时，有极小值，无极大值.
（2）显然，要使方程有两个不等的实根，
只需当时，有且仅有一个实根.
当时，由方程，得，令，
则直线与的图象有且仅有一个交点，
.
当时，单调递减；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取得极小值.
又当时，，所以，
当时，，
所以作出的大致图象如图所示.
由图象知要使直线与的图象有且仅有一个交点，
只需或，
综上所述：
若有两个不等的实根，则实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查了求函数极值，利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中利用参数分离的思想，将零点问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，可以简化运算，便于理解，是解题的关键.
六、证明题
21．在斜三角形中，内角所对的边分别为.
(1)求证：；
(2)若点在边上，且，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）方法一：根据正弦定理角化为边，再结合余弦定理，正弦定理将边化为角，利用三角恒等变换，即可化简证明；方法二：根据正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，即可证明；
（2）首先根据正切关系，以及（1）的结果，求得，再根据面积公式求得的长.
【详解】（1）方法一：由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，即.
由正弦定理，得，
所以.
易得，上式两边同时除以，得.
方法二：由及正弦定理，
得，
易得，上式两边同时除以，
得，
即.
因为，所以，
整理，得.
（2）由，得.
因为，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以的面积，
所以，
解得，所以的长为4.
七、问答题
22．已知函数.
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义运算求解；
（2）方法一：求导，根据题意分析可得当时，恒成立，构建新函数，利用导数分类讨论判断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解；方法二：求导，根据题意分析可得在上恒成立，分类讨论运用参变分离法结合恒成立问题分析求解
【详解】（1）当时，，则，
可得，，即切点坐标为，斜率，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
（2）方法一：因为，
所以，
设，
且，由题意可知：当时，恒成立，
则，
当时，，
整理得，
设，
（i）当，即时，则在区间上单调递增，
则，即，所以单调递减，
所以，解得，不符合题意，舍去；
（ⅱ）当，即时，，当时，，
所以在上单调递减，，不符合题意，舍去；
（ⅲ）当，即时，则在区间上单调递减，
①若，则，
即，可知在区间上单调递减，
所以，解得，不符合题意，舍去；
②当时，因为，
所以存在，使得，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
由题意可得，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
方法二：因为，
则.
由题意可知：当时，恒成立.
因为，则恒成立.
又因为，则恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
因为，则，
可知，所以在上单调递增，且，
可得：当时，则；当时，则；
设，则，设，
①当时，，该不等式成立，所以；
②当时，，可得，
当时，，则，即，
所以在上单调递增，
可得，所以；
③当时，，所以，
因为，所以.
且和在上单调递增，
则在上单调递增，且，
可知，使得，即，
可得当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，，
即，则在上单调递增，可得，所以；
综上所述：实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：1．两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
时间月
1
2
3
4
浮萍的面积
3
5
9
17