2024届陕西省高三上学期10月大联考（全国乙卷）数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省高三上学期10月大联考（全国乙卷）数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】化简集合，即可求出中元素的个数.
【详解】由题意，
因为，所以，有4个元素，
故选：B.
2．已知命题，则命题的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题是特称命题，
所以其否定为全称命题，即“”，
故选：D.
3．若不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解即得.
【详解】由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，
于是，解得，由，得或，因此，且当时，，
所以.
故选：A
4．若函数，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】先计算出，进而求出.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C.
5．已知且，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于：利用对数函数单调性解得，再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】对于：因为（且），
当时，在定义域内单调递减，则，无解；
当时，在定义域内单调递增，则，可得；
综上所述：不等式的解集为.
又因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，
故选：B.
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
7．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为的PBAT的已分解质量（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量与时间的函数关系式为.据此研究结果可以推测，总质量为的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：）
A．8个月B．9个月C．10个月D．11个月
【答案】C
【分析】根据题意，令，求解即可.
【详解】令，得，解得，
故至少需要10个月，总质量为的PBAT才会被分解为对环境无害的物质.
故选：C.
8．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式，化简即可.
【详解】因为，
，
即，
所以.因为，所以，所以，即.
又，所以，
所以.
故选：A.
9．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
10．若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③在上单调递减；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由图像经过的特殊点和逐项判断即可.
【详解】由题图，得，最小正周期.
又，所以，故①正确；
，又的图象过点，
所以，
所以.
又，所以，故②错误；
，令，当时，，
函数在上单调递减，故③正确；
，故④正确.
故选：C.
11．已知函数是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知画出的图象，并将不等式化为，数形结合求不等式解集.
【详解】根据题意，作偶函数的图象，如下图示.
由，不等式可化为，则，
所以或，由图知：或或或.
所以不等式解集为.
故选：D
12．已知函数，则的大小关系为（ ）
A．.B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑时的情况，利用导数求解函数单调性，构造函数，即可由导数求解单调性，利用函数单调性即可比较大小.
【详解】易知是偶函数，，当时，
因为，所以.
令，则，所以单调递增，
所以，所以在上单调递增.
构造函数，则.
令，得，令，得，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.又，所以，
所以，所以，
所以，即.
故选:.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
二、填空题
13．已知向量，，若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示，由题中条件，列出方程，即可求出结果.
【详解】因为向量，，若，则，
解得.
故答案为：.
14．请写出一个满足对任意的；都有的函数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】取幂函数，验证得到答案.
【详解】任意定义域为的幂函数均可，例如，，
即成立.
故答案为：（答案不唯一）.
15．《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点在建筑物的同一侧，且点位于同一个平面内），测得，在点处测得点的仰角分别为，在点处测得点的仰角为，则塔高为 .（参考数据：）
【答案】24
【分析】在中，求出，，利用正弦定理求解即可.
【详解】如图，延长与的延长线交于点，
则，
所以，
所以.
在中，，
由正弦定理，得.
故答案为：24.
16．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求解函数的最值即可求解.
【详解】的定义域为，
由在定义域上单调递增，得在上恒成立，
即在上恒成立.
设，所以只需，又，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围，解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题，然后参变分离，根据分离后的式子结构构造函数，利用导数求解函数最值即可解决.
三、问答题
17．已知向量，函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)解方程.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用向量数量积求出，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得的最小正周期和单调递增区间.
（2）先求出表达式，根据正弦函数零点取值得到的解集.
【详解】（1）由已知，得
所以函数的最小正周期.
由，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
令，得，解得，
所以方程的解集为.
18．如图，在平行四边形中，，令，.
(1)用表示，，；
(2)若，且，求.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；
（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】（1）因为，，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）方法一：由（1）知，
又，
所以，
即，
解得，
所以.
方法二：因为，所以，
因为，且，
所以，
解得，
所以，
又，
所以.
四、应用题
19．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
【答案】(1)模型②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【详解】（1）应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
五、问答题
20．在中，内角所对的边分别为，且__________.
在①；②两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求；
(2)若外接圆的半径为的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】.选①.先利用正弦定理化边为角，再利用和差角公式结合角的取值范围即得.
选②.先用正弦定理化边为角，再有余弦定理和角的范围即得.
.由正弦定理和外接圆半径求出，再利用余弦定理即可求出答案.
【详解】（1）若选①：由及正弦定理，得.，
.
又，
.
若选②：由，得.
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）设外接圆的半径为，由正弦定理，得.
又，所以.
由，
可得，解得，
所以的周长为.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到进而求出切线方程；
（2），故只需当时，有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函数只有1个交点，求导，得到的单调性，画出其图象，数形结合得到参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）显然，要使方程有两个不等的实根，
只需当时，有且仅有一个实根，
当时，由方程，得.
令，则直线与的图象有且仅有一个交点.
.
又当时，单调递减，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取得极小值，
又当时，，所以，即，
当时，，即，
所以作出的大致图象如图所示.
由图象，知要使直线与的图象有且仅有一个交点，
只需或.
综上，若有两个不等的实根，则的取值范围为.
六、证明题
22．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对参数分类讨论，根据不同情况下导函数函数值的正负，即可判断单调性；
（2）利用导数判断的单调性，求得的范围，满足的条件，以及，根据的范围夹逼的范围即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，
所以存在，使得，
且当；
又当；
故当，；当，；当，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，故，
且，所以，
，
又在单调递减，所以.
【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论，以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析的单调性，以及求得隐零点的范围以及满足的条件，属综合中档题.
时间月
1
2
3
4
浮萍的面积
3
5
9
17