2024届陕西省榆林市“府、米、绥、横、靖”五校高三上学期10月联考数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省榆林市“府、米、绥、横、靖”五校高三上学期10月联考数学（文）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据含存在性量词的命题的否定求解.
【详解】由含有存在性量词的命题的否定知为：“”.
故选：D.
2．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的定义域求得集合，由此求得.
【详解】由得，所以，或，
所以.
故选：B.
3．已知是角的终边上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.
【详解】由三角函数的定义知:
，
所以.
故选：A.
4．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则与共线，可知充分性成立；
若与共线，例如，则不成立，可知必要性不成立；
所以“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选：A.
5．扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由扇形弧长公式求半径，利用扇形面积公式求得大扇形与小扇形面积，再作差即可求扇面面积.
【详解】由弧长公式可得，，
所以，则，
所以该折扇的扇面面积为，
故选：D.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为，
可知，
且在定义域内单调递减，则，即，
所以.
故选：C.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及二倍角公式对已知三角函数值进行三角恒等变换从而得出结论.
【详解】因为,所以有，
则.
故选:D.
8．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）．
【详解】，令，得，
时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点，
由题意得，所以.
故选：D.
9．已知函数，若将其图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的图象变换与正弦型函数的对称性即可得所求.
【详解】因为，
将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
因为的图象关于原点对称，
所以，即，
由于，当时，取得最小值.
故选：A.
10．如图，已知两个单位向量和向量，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】B
【分析】在两边分别点乘，结合向量的数量积公式得出结果.
【详解】因为与的夹角为，与的夹角为，所以与的夹角为.
由，得，所以，
由题意得，，，
在两边分别点乘，得，同理，
两式联立并解得，
所以.
故选：B.
11．在中，为上一点，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由求得，从而可得，再由余弦定理得．
【详解】设，由，得，即，
所以，因为，所以，所以，
所以，
所以，所以.
故选：C.
12．已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】通过已知可判断是周期为4的函数，利用周期性即可得答案.
【详解】因为为偶函数，即，所以，
又由，所以，
所以，故为周期函数且4是一个周期，
所以.
故选：A.
二、填空题
13．函数，且的图象过定点 .
【答案】
【分析】根据，令即可求出定点.
【详解】令，则，此时在上无论取何值，的值总为1，故函数的图象过定点.
故答案为：
14．已知向量满足与的夹角为，若，则 .
【答案】/
【分析】根据向量垂直可得数量积为0，从而求出的值.
【详解】因为与的夹角为，
所以.
由，
所以，
解得，
故答案为：
15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.
【详解】因为，则，可得，
即切点坐标为，斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
16．函数的值域为 ．
【答案】
【分析】设，求出的取值范围，利用同角三角函数的平方关系得出，将函数解析式化简，利用判断原函数的单调性可得出该函数的值域.
【详解】设，
因为，则，
可知，
可得函数，
则对任意恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以该函数的值域为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知向量，函数．
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，，求边的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由数量积的坐标表示得到的解析式，化简得，由周期公式可解得，利用整体角的范围求解单调减区间即可；
（2）由整体角范围解三角方程可得，再由已知条件，结合正弦定理可求.
【详解】（1）由题意得
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递减区间为
（2）由（1）知，，
则，由，得，
则，解得，
又由，得，已知，
则由正弦定理，
得.
18．已知，且是偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值；
（2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值．
【详解】（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即 ，得，所以.
（2）由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，
所以实数的最大整数值为5.
19．已知是方程的根.
(1)求的值；
(2)若是第四象限角，，求的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据是方程的根，得到，再利用诱导公式求解；式
（2）由所以，利用两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）解：因为是方程的根，
所以或（舍），
则原式，
，
由，所以是第三象限或第四象限角，
若是第三象限角，则，此时；
若是第四象限角，则，此时.
故所求式子的值为或.
（2）由（1）知，当是第四象限角时，，
由，得，
所以
.
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上存2个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的正负与函数单调性的关系，即可求解；
（2）讨论当时，方程变形为，设函数，转化为与有2个交点，利用导数求参数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，且.
当时，在上恒成立，故在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若，在上无零点，不合题意；
若，由，得，
令，则直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
又，
所以要使直线与的图象有两个交点，则，
所以，即实数的取值范围为.
四、应用题
21．南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
(1)求；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度；
（2）利用导数研究函数单调性求最值即可.
【详解】（1）由题意知，，，
则，，
所以.
所以栈道总长度为
（2）建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时， ，当时， ，
则在单调递减，在单调递增，
故，
此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
五、解答题
22．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
(1)求的值；
(2)若，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）已知，利用面积公式和余弦定理化简，结合同角三角函数的平方关系，解出与，可求的值；
（2）由正弦定理和三角变换可得，根据角的范围，转化为求三角函数值域问题.
【详解】（1）在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
（2），，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.