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2024届江苏省苏州市常熟中学高三上学期阶段性抽测一数学试题含答案
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这是一份2024届江苏省苏州市常熟中学高三上学期阶段性抽测一数学试题含答案,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知幂函数的图象过点,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据待定系数法求解,即可代入求解.
【详解】设,则,
所以,故,
故选:C
2.函数的定义域为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足,
解得且,
故定义域为
故选:C
3.已知锐角,满足,,则的值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】求出、,由利用余弦的两角差的展开式计算可得答案.
【详解】因为为锐角,所以,
因为,为锐角,所以,
所以,
.
故选:B.
4.权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设,则,当且仅当时等号成立.根据权方和不等式,函数的最小值为( )
A.1B.4C.9D.16
【答案】D
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式,再利用权方和不等式即可得解.
【详解】由,得,
由权方和不等式可得,
当且仅当,即时取等号,
所以函数的最小值为16.
故选:D.
5.已知函数在上的最大值和最小值分别为M,N,则( )
A.B.0C.2D.4
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性即可求解.
【详解】令,所以最大值和最小值分别为,
又,故为奇函数,
故的图象关于原点对称,故,
故选:D
6.的内角的对边分别是,且,边上的角平分线的长度为,且,则( )
A.B.C.3D.或3
【答案】A
【分析】根据题意,在和中,利用正弦定理求得,在由余弦定理求得,再由,结合面积公式,求得,即可求解.
【详解】由,因为,可得,
又由边上的角平分线,所以,
在中,可得,
在中,可得,
因为,且,
所以,即,
在中,由余弦定理可得,
所以,
又由,即,
因为,可得,即,可得,
所以.
故选:A.
7.已知奇函数的导函数为,且满足.当时,,则使得成立的x的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】构造,求导得到其单调性,得到定义域,判断出是偶函数,结合,得到,分和两种情况,求出不等式解集.
【详解】令,则,
故当时,恒成立,
故在上单调递减,
又为奇函数,,故
且定义域为,
,
故为偶函数,则在单调递增,
且,
当时,要想使得,则要,故,
当时,要想使得,则要,故,
故使得成立的x的取值范围为.
故选:A
8.已知函数,,若,则零点的个数为( )
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【分析】画出函数的图象,令,则求在零点的个数,再令得,即求与的图象在交点的个数,求出的范围结合图象可得答案.
【详解】函数的图象如下,
令,则求在零点的个数,
由得,所以,
即方程有两个不相等正根,
令,可得,不成立,
所以,即求与的图象在交点的个数,
因为,所以,即,
解得,且,可得与的图象有2个交点,
当,且时,
与有8个交点,则零点的个数为8.
故选:D.
【点睛】关键点点睛:解题的关键点是画出函数的图象,令,则求在零点的个数.
二、多选题
9.已知实数x,y满足,则的可能取值是( )
A.2B.1C.D.
【答案】BC
【分析】令,将化为关于y的一元二次方程,结合判别式求出t的范围,结合选项,即可得答案.
【详解】令,则,
故由得,
即,由于,故,
即得,结合选项可知的可能取值为,
故选:BC
10.已知函数的相邻两条对称轴的距离为,,恒成立,则下列结论正确的是( )
A.函数图象可由,纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向右平移个单位得到
B.函数关于直线对称
C.函数,的值域为
D.直线是函数的一条切线
【答案】BCD
【分析】由辅助角公式化简函数解析式,根据已知条件求出和,利用正弦函数的性质判断函数图像的平移,函数的对称轴和区间内的值域,利用导数求曲线的切线.
【详解】,
相邻两条对称轴的距离为,则函数最小正周期,得,
,恒成立,,
即,,
当时,,由,时,,
当时,,此时不满足,
所以,,.
函数图象,纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向右平移个单位,
得到函数的图像,A选项错误;
,所以函数关于直线对称,B选项正确;
时,,当即时,函数取最大值2,当即时,函数取最小值-1,
所以在的值域为,C选项正确;
,,
时,,取,有,
则曲线在点处的切线方程为,
即直线是函数的一条切线,D选项正确.
故选:BCD.
11.若定义在上的函数,满足是偶函数,是奇函数,则下列命题正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称B.函数的最小正周期为4
C.D.对于,都有
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可一一判定选项.
【详解】因为是偶函数,所以,
且函数的图象关于直线对称,故A正确;
又是奇函数,
所以,且函数的图象关于中心对称,
由上可知,则,
故,
即函数的一个正周期为8,
如令符合题意,
但4不是函数的最小正周期,故B错误;
由周期性可知,故C正确;
若D正确,则,
由是偶函数可知,
由条件无法判定函数值始终为0,故D错误.
故选:AC.
12.已知函数,则( )
A.当时,在处的切线方程为
B.当时,单调递增
C.当时,有两个极值点
D.若有三个不相等的实根,,,则
【答案】ABC
【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可判断A;当时,即可判断B选项;当时,有两个不同的零点,即可判断C选项;由得到是的一个根,当时,由得,然后根据的奇偶性可得,即可判断D选项.
【详解】,
当时,,,,所以切线方程为,故A正确;
令,可得,
令,则,
令,则,令,则,
所以在上单调递减,上单调递增,则,
即当时,,单调递增,故B正确;
当时,,当时,,,
所以当时,与的图象有两个不同的交点,即有两个不同的变号零点,
所以时,有两个极值点,故C正确;
因为,所以是的一个实根,
当时,由,可得,则直线与函数的交点的横坐标为,,设,
又,所以为偶函数,图象关于轴对称,所以,所以,故D错.
故选:ABC.
【点睛】方法点睛:已知函数单调性求参数范围:
①若单调递增,则;
②若单调递减,则.
三、填空题
13.已知函数在上单调递增,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数恒为非负,即可利用最值求解.
【详解】由得,
由于函数在上单调递增,故在上恒成立,
因此在对任意的恒成立,所以,
故答案为:
14.已知,则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式和余弦二倍角公式计算出答案.
【详解】.
故答案为:
15.已知函数,且对于,恒有,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段函数单调递减需满足两段都为减函数,且第一段端点纵坐标不小于第二段端点纵坐标,以此列不等式组即可求解.
【详解】因为对于,恒有,
所以在R上单调递减,
所以,解得,即实数a的取值范围为.
故答案为:
16.已知函数,若在恒成立,则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式整理为,然后构造函数,得到,再结合得到在上单调递减,则在上恒成立,分离参变量后根据的范围得出答案.
【详解】不等式,可整理为,
即,
令,,
,
当时,,所以在上单调递减,
又,则当时,,即.
令,则,
因为,在上恒成立,
所以在上单调递减,
则在上恒成立,即在上恒成立,
因为时,,所以.
故答案为:.
【点睛】本题的解题关键是通过同构,得到构造函数的单调性,从而根据单调性与导数的关系,得到不等式恒成立问题,
再结合恒成立问题的解法即可解出.
四、解答题
17.命题:函数在上单调递减,命题:,恒成立.
(1)若命题为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题为真命题是为真命题成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据一元二次型不等式恒成立,结合分类讨论和判别式即可求解,
(2)根据充分不必要条件,转化为真子集关系,列不等式即可求解.
【详解】(1)∵命题:,恒成立
①当时,成立
②当时,,解得,
综上
(2)∵为真∴,∴
∵为真时为真命题成立的充分不必要条件,所以,
∴ ∴
18.已知函数的部分函数图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象上所有点纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象,若在区间上单调递增,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据图象最值可确定,由最小正周期可求得,根据可求得,由此可得;
(2)根据三角函数伸缩变换原则可得,采用整体对应的方式,将整体放入正弦函数的递增区间中,由此可构造不等式组,通过讨论的取值可求得结果.
【详解】(1)由图象可知:,
设最小正周期为,则,,解得:,
,,
解得:,又,,.
(2)由题意知:,
当时,,
在上单调递增,
,解得:,
令,解得:;
又,,解得:,,
又,或,
当时,;当时,;
综上所述:实数的取值范围为.
19.已知的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c.请从下面三个条件中任选一个作为已知条件并解答:①,②,③.
(1)求A的大小;
(2)若为锐角三角形,,求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据所选的条件,利用正余弦定理或两角和的正切公式化简,可求A的大小;
(2)由正弦定理和三角形内角和,结合三角恒等变换得到周长,再由为锐角三角形求得的范围,从而利用正弦函数的性质即可得解.
【详解】(1)选①,,
由正弦定理得,
中,,所以,得,即,
∵,则, ∴,∴.
选②,,由正弦定理得,
∴,∵, ∴.
选③,,有,
,
∴,∵,∴.
(2)为锐角三角形,,,
由正弦定理得,
∴,,,
周长
,
∵为锐角三角形, ∴,
∴, ∴, ∴,
∴,即周长的取值范围为.
20.已知函数,,其中是自然对数的底数.
(1)求函数的极值;
(2)对,总存在,使成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用导数分析函数的单调性,即可求得该函数的极大值和极小值;
(2)由题意可得,由参变量分离法可得,利用导数求出函数在上的最大值,即可得出实数的取值范围.
【详解】(1)解:因为,该函数的定义域为,则
令,得或。列表如下:
,.
(2)解:由题意可得,
由(1)可知在单调递减,
∴,∴在有解,,
令,,令,
所以,.
21.国庆期间,某小区为了增添节日氛围,决定对小区的健身步道进行装饰.如图是一个半径为1百米,圆心角为的扇形区域,点C是半径OB上的一点,点D是圆弧上一点,且.现决定在线段CD,圆弧的一侧铺设灯带,线段OC的两侧铺设灯带,且每百米a元.设,,灯带的总费用y元.
(1)求y关于的函数解析式;
(2)当为何值时,灯带费用y最大,并求出费用y的最大值.
【答案】(1),
(2)当为时,费用y最大,最大值为百元
【分析】(1)根据题设,可得,利用正弦定理及弧长公式得到,,,再根据条件即可求出结果;
(2)利用导数与函数单调性间的关系,求出函数的单调区间,即可求出结果.
【详解】(1)由题,可得,,,
在中,由正弦定理知,,
所以,,,
又扇形BOD中,,
所以
,
(2)由(1)得
令,得到
又因为,所以
∴时,(百元)
故当为时,费用y最大,最大值为百元.
22.已知函数,其中e是自然常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,对恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)求出函数的定义域后,分和两种情况讨论可求出函数的单调区间;
(2)由题得对恒成立,构造函数,可得在单调递增,则,然后分和两种情况讨论即可求得结果.
【详解】(1)定义域为,,
①时,, ∴在上单调递增,
②时,令,∴,
令,∴,
∴在单调递减,单调递增,
综上:时,在上单调递增,
时,在单调递减,单调递增,
(2)由题得对恒成立,
令,,
,令,则,
∵ ∴,,
∴恒成立,∴在单调递增,即在单调递增,
∴,
①时,恒成立,∴在单调递增,
∴恒成立 ,∴
②时,,,
∵在单调递增,∴使,
当时,,当时,,
∵在单调递减,单调递增,
∴使 ,∴不符合 ,
综上.
【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数解决不等式恒成立问题,第(2)问解题的关键是将问题转化为对恒成立,然后构造函数利用导数解决即可,考查数学转化思想和计算能力,属于较难题.
x
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
0
y
单调递增
极大值
单调递减
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