2024届辽宁省丹东市凤城一中高三上学期11月阶段测试数学含答案

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则（）
A. 或3B. 0C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可.
【详解】，
，解得或，
当时，，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，，
此时，满足题意.
综上，.
故选：C
2. 若复数满足，则的虚部是（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算求得，进而求得的虚部.
【详解】，故的虚部是.
故选：A
3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出命题为真时的充要条件，进一步判断即可.
【详解】若命题“”为真命题，
即恒成立，
又，则，故，
结合选项可知，是的一个充分不必有条件，
故选：
4. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于，在以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取）（）
A. 约0.54小时B. 约0.64小时C. 约0.74小时D. 约0.84小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别列出相应不等式，从而求解.
【详解】由题意知，，，
当小时，，得：
要使血氧饱和度达到正常，即需：，即：，
化简得：，
所以得：=1.64
因为已经给氧1小时，所以还需要继续给氧时间至少为：0.64小时.
故选：B.
5. 的展开式中的系数为（）
A. 55B. C. 65D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】含的项为，
所以展开式中的系数为．
故选：
6. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.
【详解】由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．
故选：B
7. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别写出，，的通项公式，且当时用累加法可求出通项，然后对选项进行逐一判断求解.
【详解】由题意知，边长，边数，周长，面积，
所以得：，，
所以得：，，
因为：，
当时，，
所以得：
，
当时，，也适用，
所以：，
所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确；
所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误；
故选：B.
8. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（）
A. 在区间上是增函数，且有最小值为
B. 在区间上是减函数，且有最大值为
C. 在区间上是增函数，且有最大值为
D. 在区间上是减函数，且有最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可.
【详解】因为为偶函数，所以①，且函数关于轴对称，
又为奇函数，所以②，且函数关于中心对称，
所以有，
即的一个周期为，
令代入②得，即，
令代入①得，所以，
解之得，所以，
如图所示，根据函数对称性与周期性可知：
关于轴对称，关于中心对称，可得在区间的图象，
易知在区间上是增函数，
且有最小值为，故A正确，B错误；
在区间上是减函数，
且有最大值为，最小值为，故C，D都不正确．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）
A. 被抽取的400名学生成绩的极差为50
B. 在被抽取的学生中，成绩在内的学生有280人
C. 以每组区间的中点值估计全校学生的平均成绩为85分
D. 估计全校学生成绩的分位数为95
【答案】BD
【解析】
【分析】结合频率分布直方图计算数据的极差、平方数、百分位数及估计总体即可.
【详解】由题意可知抽取学生的成绩在区间内，
但不一定最低分50，最高分为100，故A错误；
根据频率分布直方图可知，
所以分数在的有人，故B正确；
平均成绩为，
故C错误；
易知全校学生成绩的分位数在区间内，
可得，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数的图像关于直线对称，则（）
A. 在上单调递增
B. 在上有两个零点
C.
D. 把函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质一一判定即可.
【详解】由题意可知，
因为，所以，
对于A，，由正弦函数的单调性可知时，函数单调递增，即A错误；
对于B，，由正弦函数的性质可知或时函数值为零，即B正确；
因为，，
易知，即C正确；
把函数的图像向左平移个单位得，该函数显然是偶函数，其图像关于轴对称，即D正确.
故选：BCD
11. 设向量满足，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量数量积公式，将平方后，即可判断A；由已知变形得，平方后即可求，即可判断B；利用向量模的数量积公式即可判断C；根据向量数量积的夹角公式，即可判断D.
【详解】将平方得，
由，，得，故A正确；
由平方得，得，所以，故B不正确；
因为，所以，所以，所以，即，故C正确；
由选项C可得，，与C同理可得，，，
所以，故D正确．
故选：ACD
12. 已知实数，满足，则（）
A. B.
C. 有最小值为D. 有最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对平方作差计算可判定A；
结合A项结论，利用消元转化结合一元二次不等式计算可判定B；
结合B项结论，得，利用二次函数求最小值即可判定C；
结合B项结论，得，利用导数研究三次函数的最小值即可判定D.
【详解】由，平方得，所以正确；
由得，且，联立得，
所以，
整理得，即，故B正确；
因为，
当时，有最小值为，故C正确；
，令，
所以时，或，
所以函数在上递增，上递减，上递增，
在处取得极小值，，且，
所以有最小值为，故D不正确．
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
14. 将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有______种．（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】根据特殊元素优先分类讨论即可.
【详解】先排B，由题意可知B能排在第3或第4或第5位的位置，
若B在第3位，则A在第2位；若B在第4位，则A在第2或第3位；
若B在第5位，则A在第2、3、4位，合计6种情况.
再排C、D、E，排完A、B后剩余3个位置，即有种，
所以共有种排法.
故答案为：36
15. 若，函数满足，则______．
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】根据题意可取不同的值进行构造方程组，从而求出的解析式，从而求解.
【详解】由题意知：，，
所以得：，
解之得：，即，
所以得：．
故答案为：
16. 函数，在上恒有4个零点，则的值为______．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】构造函数，将问题转化为与的图象有4个交点，结合图象即可得解.
【详解】恒有4个零点，
等价于且有4个零点，
令，则问题转化为与的图象有4个交点，
作出与的大致图象，如图，
结合图象可知，恰好是的时，满足题意，
即，所以．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若的极小值为，求的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意先对函数求导后，然后对分情况讨论，从而可求解；
（2）根据函数极小值为，结合（1）从而求解.
【小问1详解】
因为的定义域为，所以，
当时，，则在上递增，
当时：
若时，解之得：或，
所以得：在区间，上单调递增，
若时，解之得：，
所以得：在区间上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
【小问2详解】
由（1）知，当时在上单调递增，故不存在极值，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得极小值，
所以，解之得，故的值为4.
18. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）当时，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，利用及即可求出解析式；
（2）判断出，根据，即可求出的值，进一步可求出的值，根据二倍角公式，即可求出的值.
【小问1详解】
因为，
所以，则，
，因为，
所以，所以，
所以，则．
【小问2详解】
当时，，且，
所以，所以，
所以，
由，得．
19. 记的内角的对边分别为，已知的面积为是边上的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可；
（2）法一、设，利用余弦定理计算即可；法二、倍长中线构造平行四边形，结合余弦定理计算即可；法三、利用中线向量性质，结合数量积公式可得计算及，从而得.
【小问1详解】
因为的面积是的面积的，
所以，
解得，
在中，由余弦定理得，
得；
【小问2详解】
方法一：令，
由余弦定理可知：，
，
所以，所以，
又因为的面积为，
所以，
所以，即，
所以；
方法二：延长至，使，
连接，所以四边形是平行四边形，
由，
，
两式相加得：，解得，
又因为的面积为，
所以，
所以，即，
所以；
方法三：易知，
所以，所以，
，
得，
所以，则，
所以．
20. 哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达25亿元，号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到“四季绽放”2023年1月至5月的游客数以及对游客填写满意与否的调查表，统计如下：
已知关于的线性回归直线方程为．
（1）求2月份，3月份的游客数的值；
（2）在1月至5月的游客中随机抽取2人进行调查，把满意率视为概率，求评价为满意的人数的分布列与期望．
（参考公式：）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意中调查表及回归直线方程，可以分别求出的值；
（2）根据题意得满意率为概率，即可列出分布列，求解出期望.
【小问1详解】
由题意可得，且，
所以得：，①
又因为：，，，
所以得：，化简得：，②
联立①②得：.
【小问2详解】
任取1个人满意的概率，
所以满意的人数服从二项分布，即，
随机变量的取值分别为：0，1，2，从而得：
，
，
，
所以可得满意人数的分布列如下表所示：
所以期望.
21. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且
（1）求和的通项公式；
（2）记，其中，求数列的前项的和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件建立基本量方程或方程组求解即可；
（2）分奇数项与偶数项分组求和，分别利用裂项相消法与错位相减法求和.
【小问1详解】
数列是公差为1的等差数列，且，
，
解得，
数列的通项公式．
数列是等比数列，且，
设数列的公比为，
解得，
数列的通项公式为：．
【小问2详解】
由（1）可知，
，
，
令，
，
，
，
，
，
，
数列的前项和．
22. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求使恒成立的最大偶数．
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）参变分离利用导数求函数的单调性与最值即可
（3）结合（2）的结论先推出，再令，化简得，利用累加法计算即可.
小问1详解】
当时，，，且的定义域为，
所以，
曲线在点处切线的斜率为，
所以切线方程为；
【小问2详解】
当时，使等价于，
令，所以，
令，所以，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上，使，
即，，，；，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为，所以，
所以，且，
所以使恒成立的最大偶数为；
小问3详解】
由（2）知当时，恒成立，
得，即，
令，
所以，
即
当时，，
当时，，
……
当时，，
相加整理得，
所以．
【点睛】本题第二问在于参变分离构造函数，结合隐零点求恒成立问题即可，第三问在于利用上面结论得出，再令，累加即可得证.
月份
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游客人数万人）
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满意率
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