2024届云南省临沧市民族中学高三上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2024届云南省临沧市民族中学高三上学期开学考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】由题意可得，或，
故，
故选：B
2．的实部与虚部之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简，确定实部和虚部，即可得答案.
【详解】由题意得，
故的实部与虚部之和为，
故选：A
3．记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．4B．24C．30D．32
【答案】C
【分析】由等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，可求的值.
【详解】设等差数列公差为，则有，
解得，所以.
故选：C
4．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值.
【详解】，
，则有，解得.
故选：B
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（ ）寸.（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，根据平地降雨量的含义即可求得答案.
【详解】由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，

则天池盆体积为（立方寸）
故盆中积水体积为（立方寸），
故平地降雨量约为（寸），
故选：C
6．设，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到，进一步即可判断正确答案.
【详解】
即
即
又，，
则
所以，故正确.
故选:.
7．用五个5和两个2组成一个7位数，则组成的7位数中两个2不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出用五个5和两个2组成一个7位数，总的排法数，再求出组成的7位数中两个2不相邻的排法数，根据古典概型的概率公式即可得答案.
【详解】由题意可知五个5和两个2组成一个7位数，可看作7个位置，
先排2，有种排法，其余位置排5，此时共有种排法；
而组成的7位数中两个2不相邻，可采用插空法，
即五个5先排，只有一种排法，在形成的6个空中选2个排2，有种排法，
故用五个5和两个2组成一个7位数，则组成的7位数中两个2不相邻的概率为，
故选：D
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】因为，所以构造函数，利用导数判断单调性，可得，令，，利用导数判断单调性，可得.
【详解】因为，
所以设，，
所以在上为增函数，
所以，所以，所以，即，
所以.
令，，
，所以在上为增函数，
所以，所以，即，
所以，
综上所述：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造函数，，，利用导数判断单调性，根据单调性比较大小是解题关键.
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由不等式的性质，指数函数、对数函数和幂函数的性质，判断不等式是否成立.
【详解】需要，不能满足，A选项错误；
由指数函数的性质，当时，有，B选项正确；
由幂函数的性质，当时，有，即，C选项正确；
当时，满足，但不成立，D选项错误.
故选：BC
10．已知函数的图象关于直线轴对称，则（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数在区间上是增函数
C．函数的导函数为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】BD
【分析】根据函数的图象关于直线轴对称，可确定，即得的表达式，将代入中可判断A；根据，确定，结合正弦函数的单调性可判断B；根据正弦函数以及复合函数的求导法则可判断C；根据三角函数图象的平移变换可判断D.
【详解】由题意函数的图象关于直线轴对称，
则，
因为，故，即，
对于A，将代入，得，
即，故函数的图象关于点中心对称，A错误；
对于B，当时，，
因为正弦函数在上单调递增，
故在区间上是增函数，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到，即函数的图象，D正确，
故选：BD
11．已知O为坐标原点，抛物线C：的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线l的斜率为1
C．
D．面积的最小值为2
【答案】ACD
【分析】由抛物线准线方程可求得抛物线方程，利用焦半径公式可求得A点坐标，即可判断A；设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合求得，即可求得直线斜率，判断B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断C；表示出面积，结合基本不等式求得其最小值，判断D.
【详解】因为抛物线C：的准线方程为，故,
故，焦点为，设，
对于A，，代入得，即
故，A正确；
对于B，，则，
当直线为时，，由此可判断时，直线l的斜率存在且不等于0，
设直线l的方程为，联立可得：，
故，解得，满足，故B错误；
对于C，由B的分析可知，当直线为时，也有成立；
故，
当且仅当即时，取得等号，C正确；
对于D，不妨设A点在第一象限，则，

故的面积，
则，
当且仅当时等号成立，即面积的最小值为2，D正确，
故选：ACD
12．已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），球的表面积为，体积为，则（ ）
A．
B．
C．数列是公比为的等比数列
D．数列的前n项和为
【答案】BCD
【分析】根据题意求出，，依此类推可得是首项为，公比为的等比数列，再根据球的表面积和体积公式逐项判断可得答案.
【详解】如图所示，是三棱锥的高，是三角形的中心，
设三棱锥的棱长均为，所以，.
是三棱锥的内切球的球心，在上，
设三棱锥的外接球半径为，球的半径为，
则由，得，得.
所以，
又，所以，
所以.故A不正确；
在上取点，使得，则，即为的中点，则球与球切于，
过作与底面平行的平面，分别与交于，
则球是三棱锥的内切球，
因为为的中点，所以三棱锥的棱长是三棱锥的棱长的一半，
所以球的内切球的半径，
以此类推，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，，，故B正确；
所以，，即数列是公比为的等比数列，故C正确；
，
，故D正确.

故选：BCD
【点睛】关键点睛：利用球与三棱锥内切求出球的半径以及相邻两个球的半径之间的关系是解题关键.
三、填空题
13．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数.
【详解】由题设，展开式通项为，
所以，令有，则的系数为.
故答案为：
14．若半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 .
【答案】7
【分析】确定半径为3且经过点的圆的圆心的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆，即可求得答案
【详解】设圆心坐标为，则，即，
即圆心轨迹是以为圆心，以3为半径的圆，
到原点距离为，
故圆上的点到原点距离的最小值为，
即半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为7，
故答案为：7
15．若直线l与曲线和都相切，则l的方程为 .
【答案】或
【分析】曲线转化为，或，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径，得出方程.
【详解】由题意，，则，或，
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
则直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则当直线l与曲线和都相切，方程为；
同理可求当直线l与曲线和都相切，方程为
故答案为：或.
【点睛】本题考查求出曲线切线方程，解题的关键是利用导数表示出斜率，进而得出切线的表达式.
16．斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是 .
【答案】
【分析】确定点P在椭圆上，设，联立椭圆方程可得根与系数的关系，化简可得，结合题意可求得，由此可求出A，B的横坐标，即可求得，即得答案.
【详解】由题意知满足，即P在椭圆C：上，
设，

联立，得，
需满足，即，
又因为在直线l的左上方，故，即，即；
若A或B的横坐标为，则，
则或，与不符，
故A或B的横坐标不可能为为；
则，，
则
上式中，分子等于
，即，
又，则与x轴围成的三角形为正三角形，
故，
故直线PA的方程，联立，
可得，其两根为，
则，即，
故；
同理求得，，
而，
故的周长是,
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，求解三角形周长，即要求出直线和椭圆相交的弦长，难点在于计算的复杂以及计算量较大，因此要十分细心.
四、解答题
17．内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式可求出结果；
（2）由面积公式列式求出，再由余弦定理求出即可得的周长.
【详解】（1）由，得，
因为，，所以，所以.
（2）因为，所以，
由，得，得.
所以.
故的周长为.
18．某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：
根据上述信息，解决下列问题：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
(2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
【答案】(1)不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关
(2)分布列见解析；
【分析】（1）计算的值，与临界值表比较，可得结论；
（2）确定随机抽取6人中男性和女性的人数，进而确定随机变量X的可能取值，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.
【详解】（1）由题意得，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；
（2）由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，
由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，
故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，
故X的取值可能为0，1，2，
则，
故X的分布列为：
故
19．各项均为正数的等比数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意的，，求m的最小值.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求出结果；
（2）根据错位相法求出不等式右边之和，由此可得结果.
【详解】（1）设公比为，由，得，得，
又，，所以，.
（2）由（1）知，，故，
设，
则，
所以，
所以，
所以.
当趋近于无穷大时，趋近于，所以趋近于且，
所以，所以m的最小值为.
20．已知在四棱锥中，，，，，，E为CD的中点.

(1)证明：平面平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由已知可得，即有，再由线面垂直的判定证面，根据面面垂直的判定即可得结论；
（2）首先根据条件作出直线与平面所成的角，点作，分别与，相交于，，连接，为直线与平面所成的角, 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角的平面角为.
【详解】（1）平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下：
在△中，故，即，
所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故，
因为，且 ，面，所以面，
由面，故面面.
（2）平面，
是二面角的平面角，
过点作，分别与，相交于，，连接，
由（1）知平面，
为直线与平面所成的角，且，
由，则，由，则，
又，且面，则面，而面，
所以，结合，，且面，
所以面，则为直线与平面所成的角，
有题意知，
,
因为知，，又，
是平行四边形， ，，
因为，，
，
于是，所以，
又，，，
所以，因为，面，面，
则，则，即，
因为为中点，则，又因为，且平面，平面，
则二面角的正切值即为，
则，
二面角的正弦值是.

21．已知双曲线E：的离心率为，点在双曲线E上.
(1)求E的方程；
(2)过点的直线l与双曲线E交于A，B两点（异于点P）.设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，判断：P，M，N三点是否共线？并说明理由.
【答案】(1)
(2)共线，理由见解析
【分析】（1）由双曲线的离心率为，得，再将代入的方程可得，从而得出的方程；
（2）联立直线和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点坐标得出，最后由结合可得直线的斜率为定值2，而直线PM的斜率也是2，从而可得出结论．
【详解】（1）双曲线的离心率为，所以，即，，
将代入的方程可得，即，则，
故的方程为．
（2）依题意，可设直线，，．

与联立，整理得，
所以，，解得，且，
，，所以．（*）
又，所以的坐标为，
由可得，，
从而可得的纵坐标
，
将（*）式代入上式，得，即．
所以，，
将（*）式代入上式，得，
又，直线MN与直线PM有公共点M，
所以P，M，N三点是否共线．
【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键在于利用韦达定理得出，建立的关系，从而得出点的坐标，由此得出.
22．已知函数（其中e是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是，.
(1)求a，b；
(2)若在上恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程组，即可求得答案；
（2）将整理变形，参变分离，即在上恒成立，由此可构造函数，将不等式恒成立转化为求函数最值问题，结合导数求解函数的最小值，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，故，
则，
因为曲线在点处的切线方程是，
故，即，
由，
令，则为上的增函数，
而，即为的唯一解，
将代入可得，
即；
（2）由（1）可知，
故在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，则；
令，，
故在上单调递增，
，
故存在，使得，
且时，，则，在单调递减，
时，，则，在单调递增，
故，
因为，即，
即，
令，即在上单调递增，
而，即，且，，
故，
故，即，
故
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，解答时要熟练掌握导数的相关知识并能灵活应用，解答的难点在于解决不等式恒成立问题时，要根据不等式的变形分离参数，从而构造函数，转化为函数的最值问题，在求解函数的最值过程中，要注意隐零点的问题.
喜欢
不喜欢
合计
男性
40
30
70
女性
35
15
50
合计
75
45
120
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P