2024届浙江省强基联盟高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2024届浙江省强基联盟高三上学期10月联考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，下列属于的元素是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先求出集合，进而得到，进而根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】解析：因为，，
所以.
故选：C.
2．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算和纯虚数概念即可得到答案.
【详解】，由题，
故选：B.
3．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由离心率求得即得渐近线方程．
【详解】，，，
故选：B
4．已知向量，若，则（ ）
A．10B．C．8D．
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示结合数量积运算即可.
【详解】由题意可知：，
因为，故.
所以.
故选：A
5．若函数是单调递增函数，则实数可取的一个值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据分段函数与一次、指数函数的单调性求解即可.
【详解】由题意，分段函数两段均为增函数，故，即.
又当时，满足，即，解得或.
综上有.
故选：D
6．近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（ ）
A．16种B．20种C．24种D．28种
【答案】C
【分析】根据甲不报考南京大学，分为两类：第1类：甲单独报名一个学校，第2类，甲和其中一名同学报名一个学校，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】由甲不报考南京大学，可分为两类：
第1类：甲单独报名一个学校，则有种不同的报考方法；
第2类，甲和其中一名同学报名一个学校，则有种不同的报考方法，由分类计数原理，可得共有12+12=24种不同的报考方法.
故选：C
7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二倍角公式化函数为关于的二次函数形式，然后由二次函数的最值，结合正弦函数性质得结论．
【详解】由题设可得，令，
，
则，
易知，，，
当，，其中，此时的值域不是；
当，，其中，此时的值域是；
当时，，其中，此时的值域不是；
综上，.
故选：B．
8．定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得，，结合，且恒成立，得到且，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】由数列的前项和为，
当时，可得，
又由当时，，适合上式，
所以数列通项公式为，
由数列满足且，可得，
即，
各式相加可得，
又由，所以，所以，
因为，且恒成立，
则满足且，即，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
9．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BD
【分析】根据面面平行和面面垂直的判定定理可得.
【详解】A选项：若，则，不一定平行，故A错误；
B选项：因，，则，
则，且，又则，
故，B正确；
C选项：由线面垂直的判定定理知其错误；
D选项，因，则，又，所以，故D正确，
故选：BD
10．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从二项分布，且，则
B．随机事件相互独立，满足，则
C．若，则
D．设随机变量服从正态分布，则
【答案】CD
【分析】根据二项分布的数学期望和方差的公式可判断选项A，根据条件概率和事件的独立性即可判断选项 B、C；由正态分布可判断选项D.
【详解】A选项，因为，所以，
则，故A错误；
B选项，因为随机事件相互独立，则与也相互独立，
，
求解易知错误；
C选项，由条件概率定义
易知，又因为，所以，故C正确；
D选项，随机变量服从正态分布，
可得，
则，故D正确.
故选：CD
11．已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A．的焦点坐标为B．是定值
C．是定值D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得，，，联立化简可判定B、C选项；再利用AB中点在抛物线内可得，结合直线方程可判定D选项.
【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为，即A正确；
设A、B的中点为D，则，易得①，
又②，且③，④，
将③④代入②可得：，
代入①可得，
故B正确，C错误；
所以A、B的中点坐标为，
则直线的方程为：，
令得：，
而位于抛物线内部，即，可得，
则．即D正确.
故选：ABD
12．已知定义在上的函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．8是函数的一个周期
C．D．
【答案】ABC
【分析】设，由题意可推出，即可判断A；结合的图象关于点中心对称，可得，判断C；继而推出函数的周期，判断B；采用反证的思想说明D，即得答案.
【详解】因为定义在上的函数的图象关于直线对称，
设，则，
即，故，A正确；
又函数的图象关于点中心对称，
即，即，
故关于点中心对称，则，C正确；
由可得，
即，故，
即8是函数的一个周期，B正确；
若，则关于点中心对称，
因为为偶函数，关于y轴对称，则也将关于直线对称，
与关于点中心对称矛盾，D错误．
故答案为：ABC
【点睛】方法点睛：该题是关于抽象函数的性质问题，涉及到奇偶性、对称性以及周期性，解答时要能结合函数奇偶性以及周期性、对称性的定义，利用变量代换的方法，推出函数具有的性质，从而解决问题.
三、填空题
13．过圆上点的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，，则切线斜率，
所以切线方程为，整理为．
故答案为：
14．展开式中含项的系数是 ．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案.
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，
故的系数为，
故答案为：
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】先根据两角和差公式化简，再在等式左右平方，最后结合二倍角正弦公式可得.
【详解】由题知，则，
则.
故答案为：.
16．设为正数，，且为一元二次方程的两个实根，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】根据题意利用韦达定理可得，，代入，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.
【详解】由题可知①，②，
由①可得，则，解得，
由②得，且为正数，，可知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
四、解答题
17．已知锐角的内角的对边分别为，且满足
(1)求；
(2)若面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式，进而根据余弦定理可得，即可求解.
【详解】（1）由和正弦定理得，
，由于,故，
（2），
又
故
周长
18．已知等差数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，数列的前项和为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据以及是等差数列得到和的关系，根据得到和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）得到，用错位相减法得到，分的奇偶性即可得到.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，
，
，
又，
，
，
是等差数列，
；
（2），
（1），
（2），
由（1）-（2）得，
化简得，
若为偶数时，，
若为奇数时，
因此.
19．如图，已知四棱锥是边长为4的等边三角形，满足，．

(1)求证：；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，结合题干条件，可得出，所以面，即可证得.
（2）以O为坐标原点，分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，易知，平面的法向量可为；由与平面所成的角为，得出点坐标，从而求出平面的法向量，所以二面角的余弦值可求出.
【详解】（1）证明：（1）取中点，连接，
是边长为4的等边三角形，为中点，
.
又,,
,
四边形为平行四边形.
又
，,PO,OC均含于面内
面
（2）解：以O为坐标原点，分别为轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
在上取一点H，使得，

易得
面
面面，
面面,，
面,
为与平面所成的角．即,
中，.
是边长为4的等边三角形，为中点，
,
中，,
设平面的法向量为，
,
取，
平面的法向量，
.
20．已知函数
(1)若时，求函数的单调区间；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)增区间是，减区间是
(2)证明见解析
【分析】（1）求导分析单调性即可；
（2）求导分析函数单调性可得的最大值为，代入所证不等式可得需转证，进而构造证明即可.
【详解】（1）定义域
，又，令有，令有.
即的增区间是，减区间是
（2）因为，且，
令可得，令可得.
故在递增，递减，最大值为，
故，
转证：即证：
设
，
为减函数，则，即，
成立
21．如图所示，已知椭圆过点，且满足为坐标原点，平行于的直线交椭圆于两个不同的点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与轴交于点．证明的平分线所在直线与轴垂直．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，结合直线斜率公式、角平分线的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆过点，
所以，
又因为，所以，
解得，即：；
（2）设，则代入椭圆方程中，得;
即，
设则，
设直线的斜率分别为，则，
直线与横轴交于点，
，
因此，
则的角平分线所在的直线方程为，显然与轴垂直．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线的斜率和为零的性质进行运算证明.
22．甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中红球个数为．
(1)求；
(2)求的概率分布列并求出；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解；
（2）利用独立事件的概率乘法公式，结合分类即可求解概率，进而根据期望公式即可求解；
（3）根据乘法公式以及迭代关系即可结合期望公式求解.
【详解】（1）经过1次交换后甲袋中红球个数为1，则需要甲袋中取出红球放入乙袋，而从乙袋中取出黑球放入甲中，
故；
（2）可能取．
则，
，
，
分布列为：
；
（3）由题可知，
，
，
又，
，
.
0
1
2
3