2024届重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2024届重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟高三上学期10月联考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数（i为虚数单位）复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】判断复数在复平面上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.
【详解】，所以复数在复平面内对应的点为(2,-3)，位于第四象限．
故选：D
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的概念即可求解．
【详解】由，得，，，
，
故选：A
3．已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．12D．36
【答案】D
【分析】由可知数列是公比为的等比数列，再由题意结合等比数列的通项公式代入可求出答案.
【详解】由可知数列是公比为的等比数列，
所以，
解得：.
故选：D.
4．已知向量，，若，则（ ）
A．-6B．0C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程求参，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由向量，
因为，所以
所以．
故选:C.
5．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是为直角三角形的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换得到求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，
则，
化简得，
所以或，
所以或，
所以为直角三角形（）或等腰三角形，
所以“”是为直角三角形的既不充分又不必要条件.
故选：D
6．已知函数在上单调递增，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性列不等式组解得实数m的取值范围，即可得实数m的最大值.
【详解】因为，则，所以，
又函数在上单调递增，
所以
则，又
故，所以实数m的最大值为.
故选：A.
7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，且时室内空气中颗粒物的浓度是时的倍，则v的值约为（ ）
（参考数据：，）
A．1.3862B．1.7917C．2.1972D．3.5834
【答案】B
【分析】由题意表达出，由列出方程，求出，两边取对数，计算出答案.
【详解】由题意得，，
因为，所以，
整理得，
令，
因为，所以，
则，解得（舍去）或，
故，解得.
故选：B
8．已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由同角的平方关系可得，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】因为，且，所以，
因为，所以，所以为钝角，
所以，
则
，且，则.
故选：C
二、多选题
9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B．若点G是的重心，则
C．若，则或
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
【答案】BD
【分析】由基底的概念即可判断A，由三角形重心的定义即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由投影向量的概念即可判断D.
【详解】因为向量，，则，即，则不能作为平面内的基底，故A错误；
如图所示，连接并延长交于点，点为中点，延长到点，使得，则，，所以，故B正确；
因为，若，则或或，故C错误；
因为向量，，则向量在向量上的投影向量为
，故D正确；
故选：BD
10．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为D．的最大值为1
【答案】ABD
【分析】根据辅助角公式化简函数，再结合三角函数图象相关知识逐一判断即可.
【详解】函数.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，，所以不是的一个零点，故C错误；
对于D，函数，则的最大值为1，故D正确.
故选：ABD.
11．以下说法错误的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．若在上的值域，则在上的值域也为
C．若为R上的奇函数，则也为R上的奇函数
D．若是R上的单调递增函数，则是的单调递减函数
【答案】AB
【分析】根据函数的概念与性质一一判定即可.
【详解】对于A项，若的定义域为，则要求的定义域，
需，故A错误；
对于B项， 若在上的值域，而时，，
所以在上的值域为函数在上的值域，不一定为，
故B错误；
对于C项，设，
若为R上的奇函数，则， 所以，
故也为R上的奇函数，C正确；
对于D项，由复合函数的单调性可知在定义域上单调递减，
而是单调递增函数，故是的单调递减函数，即D正确.
故选：AB.
12．在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（ ）

A．B．
C．的最小值为17D．
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可.
【详解】因为，所以，
所以，故A正确；
又因为，则，
因为，所以又三点共线，所以，整理得，故B正确；
由可得，所以，因为，当时，，故的最小值不为，故C不正确；
由于，所以，则，
所以又，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知向量，的夹角为，且，，则等于 ．
【答案】1
【分析】根据数量积的定义求解，再根据数量积的应用与运算律求解的值即可.
【详解】因为向量，的夹角为，且，
所以，
则.
故答案为：.
14．写出一个同时具有下列两个性质的函数： ．
①的值域为；②当时，．
【答案】
【分析】根据题意，考虑指数型函数，即可得到结果.
【详解】由题意可得，函数在上单调递增，且最小值为，
由指数函数在上单调递增且，
将其向上平移2个单位可得，符合题意.
故答案为：
15．已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】5
【分析】根据等差数列的性质与前n项和的公式转化求解即可得的值.
【详解】因为等差数列的前n项和为，且
所以，即
所以.
故答案为：.
四、双空题
16．定义：在数列中，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，， ，则 ； ．
【答案】
【分析】根据“等比差”数列的定义可得，从而可得数列，于是可得的关系式，故可得求得与的值.
【详解】已知“等比差”数列中，， ，
所以，则
则数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，则
所以，则
且.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知函数在区间上的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的值域.
【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，
因为，则，所以，，解得，
因此，.
（2）将的图象向右平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
则，
当时，，则，所以，，
因此，在上的值域为.
18．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项积为，当成立时，求n的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，利用相减法即可求得数列的通项公式；
（2）根据数列通项即可得前n项积为，再根据对数不等式与一元二次不等式即可得不等式解集，从而可得n的最大值．
【详解】（1）因为①，
当时，②，
①②可得：，即
当时，，所以，故
故数列是首项为，公比为的等比数列，故；
（2）数列的前n项积为
则不等式为，所以，即
解得，所以n的最大值为．
19．太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用．为解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用．某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器．电铺式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为．2023年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，．
(1)求图中a的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
(2)用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后，每天能省多少电?
【答案】(1)，；
(2)千瓦时.
【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1求出区间的频率，再除以组距求得的值，再利用长方形面积等于频率，求出不低于15℃的频率；
（2）由（1）知一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，低于15℃的概率的估计值为，分析题意可知，使用电辅式太阳能热水器日均耗电量的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，即可得到使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量.
【详解】（1）依题意得.
一年中日均气温不低于15℃的频率为.
（2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为，
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为，的所有可能取值为0，5，10，15，20
，，，，.
所以的分布列为
所以的数学期望
所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为（千瓦时）.
20．如图，在中，点在边上，，，.

(1)求证：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，再由锐角三角函数得到，最后由诱导公式计算可得；
（2）设，根据平面向量的线性运算得到，再根据数量积的运算律及定义得到方程求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理可得，
所以，
在中，．
则，由于，，
所以，
即．
（2）在中，设则，
∵，∴，
所以，
所以，解得或（舍去），
∴.
21．已知函数，函数与关于点中心对称．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个不等的实根，，且，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的对称性可得，从而可得的解析式；
（2）根据方程的根，利用一元二次方程根与系数的关系与指数函数的性质，结合，即可求得a的值．
【详解】（1）已知函数，函数与关于点中心对称
所以，则
（2）由于方程有两个不等的实根，，不妨设
即两个不等的实根，则，由于函数是递增函数，
所以①，②
因为，，则，
所以，则代入②得：，解得，
代入①得.
22．已知．
(1)若对，都有恒成立，求的取值范围；
(2)当时，在上的最大值为，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单调性定义可知在上单调递增，得到，采用分离变量法和换元法可得在上恒成立，根据二次函数的最值可求得的取值范围；
（2）求导后，采用换元法，结合二次函数的零点可求得在上的单调性，并确定最大值点的取值范围，结合单调性可得，进而用表示出的取值范围；利用导数可分别求得最大值和最小值的取值范围，从而最终确定所求值域.
【详解】（1）对，都有恒成立，在上单调递增，
在上恒成立，
，
令，则在上恒成立，
为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
当时，，，
即实数的取值范围为.
（2），
当时，，
令，，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，，
当时，，，
令，解得：（舍）或；
当时，；当时，；
又在上单调递增，记，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即，
当时，，即，；
在上单调递增，；
令，，则，
，
在上单调递减，；
令，，则，
，
在上单调递增，；
.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解参数范围、利用导数求解恒成立问题；本题求解的关键是能够结合三角恒等变换的知识，采用换元法来对导函数的零点进行求解，从而确定原函数的单调性和最值点.
日照情况
日均气温不低于15℃
日均气温低于15℃
日照充足
耗电0千瓦时
耗电5千瓦时
日照不足
耗电5千瓦时
耗电10千瓦时
日照严重不足
耗电15千瓦时
耗电20千瓦时
0
5
10
15
20