2024届湖南省常德市临澧县第一中学高三上学期第二次阶段性考试数学试题含解析

这是一份2024届湖南省常德市临澧县第一中学高三上学期第二次阶段性考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解不等式，化简集合，根据交集定义即可求解.
【详解】因为，所以.
故选:D
【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.
2．设i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算求复数z，再用复数模的公式求.
【详解】因为，故有，
则.
故选：A
3．若向量满足，，，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】，求得，由即可求夹角.
【详解】由题可知，，
∴，
∴向量与的夹角为.
故选：C.
4．如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得.
【详解】因为是的中点，所以．
所以，所以，所以．
故选：D
5．若，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析： ，
且，故选D.
【解析】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
6．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．63B．C．81D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，由已知条件求出，从而即可求解.
【详解】解：因为数列为等比数列，设公比为，且，
所以，所以，
所以，所以，
故选：C.
7．已知，，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用指数与对数函数的性质判断得，，再利用零点存在定理判断得，从而得解.
【详解】因为，，
而，令，
易得单调递增，且，，
所以在上存在唯一零点，则，
故有.
故选：A.
8．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件先分析的结果，由此确定出的奇偶性和单调性，再将问题转化为“已知，求解的取值范围”，根据单调性列出关于的不等式并求解出结果.
【详解】由题可知且
，
，
令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数，
函数与在上均单调递增，
与在上单调递增，
在上单调递增，即在上也单调递增且，
又为奇函数，在上单调递增，
不等式等价于，
，
在R上单调递增，
，
解得，
实数a的取值范围是，
故选：A.
【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：
（1）利用奇偶性将不等式变形为；、
（2）根据单调性得到与的大小关系；
（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.
二、多选题
9．已知平面向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则与的夹角为锐角
C．若为任意非零向量，则存在实数，使得
D．若在上的投影向量为，则或
【答案】AD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；由与的夹角为锐角求出的取值范围，可判断B选项；设，根据平面向量数量积的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的性质可得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，若与的夹角为锐角，则且、不共线，
所以，，解得且，B错；
对于C选项，设，其中，若存在，使得，
则，
令，此时，该方程无解，
若，不存在实数，使得，C错；
对于D选项，若在上的投影向量为，则，
即，整理可得，解得或，D对.
故选：AD.
10．设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ）
A．ab的最大值为B．a2＋4b2的最小值为
C．的最小值为8D．2a＋4b的最小值为
【答案】ABD
【解析】利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案.
【详解】，得，当且，时取等号，故正确；
，当且仅当，时取等号，故正确；
，当且仅当时取等号，故错误；
，当且仅当，时取等号，故正确，
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
11．已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【分析】由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.
【详解】由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即，
所以，，
又点在函数的图象上，所以，
所以即，
又，所以，，
将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象，
所以，
因为，
所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，
故A错误，B正确；
当时，，
所以在区间上不单调，故C错误；
若，则、分别为函数的最大值、最小值；
由函数的最小正周期为可得的最小值为，
故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题.
12．已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，则，故，则，故A正确；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，
又为奇函数，故，
所以，即，故C正确；
对于D，由选项C可知，
所以，故的一个周期为6，
因为，所以，
对于，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
令，得，
令，得，
所以，
又，
所以由的周期性可得：
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性，再结合题设条件推得为周期函数，从而得解.
三、填空题
13．已知数列的前n项和为，，当时，，则 ．
【答案】1011
【分析】根据数列中和的关系，结合，求得，利用，即可求解.
【详解】由时，可得，
因为，所以，即，
当时，，两式相减可得，即，
所以，，，，
所以．
故答案为：.
14．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为.
【答案】4
【分析】根据函数关系式将已知数据代入求解即可.
【详解】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以，所以，即
当时，，
整理得即，
所以，因为，所以.
故答案为:4.
15．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为 .
【答案】、、
【分析】利用等差数列前项和公式求得的表达式，结合为整数求得正整数的值.
【详解】由题意可得，
则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故答案为：、、
16．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.
【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．
根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，
即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；
同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．
设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，
则，
当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．
所以，即所求实数的最大值是．
故答案为：
【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.
四、解答题
17．公差不为0的等差数列，为﹐的等比中项，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2），.
【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可.
(2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.
【详解】(1)设等差数列的公差为则因为为,的等比中项,
故,化简得.
又故.故,.
即.
(2) ,故
.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.
18．已知是偶函数.
(1)求的值；
(2)设的最小值为，则实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知是偶函数，在定义域上符合，利用等式即可求出的值；
（2）由可得函数，则，令，设函数，根据一元二次函数在定义域范围内最值，讨论参数，即可求出的值.
【详解】（1）解：函数的定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
又，
，
所以，
所以；
（2）解：由（1）知，，
所以，
所以，
令，
当且仅当，即时等号成立，
设函数，
其图像是开口向上，对称轴方程为的抛物线，
当时，即时，
，解得，
当时，即时，
，
解得（舍去），
综上可知，.
19．如图，在中，为边上一点，，且.
（1）求的长；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，直接利用正弦定理即可得出答案；
（2）设，得，在中，可得，在中，利用余弦定理可求的m的值，在根据结合三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】解：（1）在中，由正弦定理得，
因为，，所以，解得.
（2）设，由，得，又中，，
所以.
在中，由余弦定理得，，
又，，
所以，
解得，即，
所以，，
，
即的面积为.
20．已知函数的最小正周期为8．
(1)求的值及函数的单调减区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，[](k∈Z)；
(2)．
【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；
(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒
【详解】（1）由已知可得，，
∵的最小正周期，∴，
∴，
由得，
∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；
（2）∵，由(1)有，
即，
由，知；
∴，
故

﹒
21．记锐角的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得，然后等量代换出，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.
【详解】（1）证明：由题知，
所以，
所以,
所以
因为 为锐角，即 ，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知：，
所以，
因为，
所以，
因为由正弦定理得：，
所以,
所以，
因为 ，
所以，
所以
因为是锐角三角形，且，
所以 ，
所以，
所以，
当时，取最大值为 ，
所以最大值为： .
22．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的项求公差，即可求数列的通项公式，代入条件求等比数列的项，即可求通项公式；
（2）分为奇数和偶数，求数列的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和；
（3），再进行放缩，利用列项相消法求和，证明不等式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，所以，
由，.得，
所以，，故，所以.
（2）当是奇数时，，
当是偶数时，，
则①
②
①-②得：
即
化简得：.
所以.
（3），
当时，，
因为，所以；
当时，也成立.故.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列，以及求和，不等式和放缩法的综合应用，第二位问的关键是当为偶数时，列项相消法求和，第三问的关键放缩后进行求和.