2024届河南省TOP二十名校高三上学期调研考试四数学试题含解析

这是一份2024届河南省TOP二十名校高三上学期调研考试四数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由一元二次不等式的解法化简集合M，N，再由集合的补集、交集运算求得答案.
【详解】，
所以，则．
故选：D．
2．“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，不等式恒成立的充要条件，再根据必要不充分条件的定义可求出答案.
【详解】由“，关于的不等式恒成立”，
等价于，解得，
则“”的一个必要不充分条件是．
故选：A．
3．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】在上连续且单调递增，，，故函数的零点位于区间内．
故选：B．
4．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数求解切点处的切线斜率，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解.
【详解】由，得，所以切线的斜率为，
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，得．
故选:C．
5．碳－14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳－14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳－14开始衰变并逐渐消失.已知碳－14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳－14所剩质量，其中为活体组织中碳－14的质量.科学家一般利用碳－14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳－14含量约为原始质量的0.96倍，依据计算结果并结合下表中我国历史朝代的时间段可推断该生物死亡的朝代为（参考数据：）（ ）
A．金B．元C．明D．清
【答案】D
【分析】把指数方程化为对数方程，利用对数运算性质求解即可.
【详解】由题意知，所以，
所以，所以，
所以，故对应死亡的朝代为清代.
故选：D.
6．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数运算求出，利用特殊角的三角函数值求出，再借助正弦函数单调性确定的范围即可.
【详解】依题意，，
，即有，
所以，即.
故选：A
7．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件得出函数在上单调递增，再结合奇偶性转化为解不等式即可.
【详解】由任意两个实数，不等式恒成立，
函数在上单调递增．
又函数是定义在上的奇函数，得，
所以不等式
化为，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A．
8．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中公式，结合正切的两角和公式和二倍角公式进行求解即可.
【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，得，
由第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，得，
所以，
所以．
故选：D
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.
【详解】对于选项A，因为，故A正确；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，因为，故C正确；
对于选项D，因为，故D错误．
故选：AC．
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定为
B．在锐角中，恒有成立
C．若，则
D．若，则的最小值为2
【答案】ABD
【分析】对于A，由特称量词命题的否定法则即可判断；
对于B，注意到在锐角中，有，从而由正弦函数的单调性即可判断；
对于C，由二倍角公式得出，解方程即可判断；
对于D，验证基本不等式能否取等即可判断.
【详解】对于A，由存在量词命题的否定法则可知：的否定为，故A正确；
对于B，因为为锐角三角形，所以，所以，
易知，且在上单调递增，所以，故B正确；
对于C，因为，整理得，所以或，故C错误；
对于D，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2，故D正确．
故选：ABD．
11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递增
【答案】ACD
【分析】求出平移后的函数解析式，根据正弦型函数的奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由题意得的图象向左平移个单位长度后得到函数，
若函数为偶函数，则，
所以，
因为，所以，
所以．
对于A，最小正周期，故A正确；
对于B，C，，故B错误，C正确；
对于D，令得，
当时，对应单调递增区间为，因为，
所以函数在上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
12．已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数在上单调递增
B．当时，函数在上单调递增
C．当时，在上无零点
D．当时，在上无零点
【答案】ABC
【分析】对A：直接根据的单调性判断；对B、C：证明在上恒成立判断；对D：判断在上单调递增并根据零点存在定理证明存在零点.
【详解】对于选项A，当时，函数，显然在上单调递增，故A正确；
对于选项B，C，当时，，
当时，，
又，故在上恒成立，无零点，
所以在上单调递增，故B，C均正确；
对于选项D，当时，，
当时，，
所以，所以在上单调递增，
因为，又，
故由零点存在定理可知，存在唯一，使得，
所以在上有唯一零点，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】
【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值.
【详解】因为，所以，
所以
，
即，所以，
所以．
故答案为：.
14．已知，则的最小值是 ．
【答案】14
【分析】把化为，由，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知，
则
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是14．
故答案为：
四、双空题
15．已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是奇函数，则函数的解析式为 ；函数的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据周期可得，进而根据平移可得，根据奇偶性即可得，进而可得解析式；由三角恒等变换可得，即可求解最值.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，
将的图象向右平移个单位长度后得的图象，
即，因为是奇函数，所以，
得，又，所以．所以，
由，
因为，所以的最大值为，当，即时取得．
故答案为：，
五、填空题
16．设函数的定义域为为的导函数，，则 ．
【答案】89
【分析】由题设可得，进而有且，即可求目标函数的值.
【详解】由，则，
所以，则，即，且，
则．
故答案为：89
六、解答题
17．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为，关于的不等式的解集为．
(1)求集合；
(2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解；
（2）求解含参的一元二次不等式的解得到，根据是的必要不充分条件，故，即可求解.
【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立，
所以，解得，
即．
（2）因为，所以，
解得，即，
因为是的必要不充分条件，故，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
18．已知函数，在中，满足条件．
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用三角恒等变换化简，根据已知求得，再由平方关系求；
（2）由余弦定理及基本不等式可得，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最大值即可.
【详解】（1）由，
所以，
解得，又，所以．
（2）由余弦定理得，
因为，所以，当且仅当时等号成立．
所以，即面积的最大值为．
19．已知函数．
(1)求的极值；
(2)令，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，没有极大值
(2)
【分析】（1）求导，讨论的正负，确定单调性求出极值.
（2）将问题转化为对任意恒成立，只需求的最小值即可.
【详解】（1）由题意知的定义域为，且，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的唯一极值点，且为极小值点，
所以，没有极大值．
（2）由题意知，由，得，
所以只需．
由（1）知的极小值为2，即最小值为2，所以的最小值为1，
所以，
所以，
故实数的取值范围为．
20．已知是指数函数，且其图象经过点为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)，；
(2)8.
【分析】（1）设出指数函数解析式即可求得，再利用奇函数的定义求出b即可.
（2）由（1）求出，再由恒成立的不等式换元分离参数，借助均值不等式求解即得.
【详解】（1）设，且，由的图象经过点，得，则，
函数的解析式为，于是，
因为为奇函数，因此，即，
整理得，解得，所以．
（2）由（1）知，，且，则，
由，得，
则，
不等式恒成立，即恒成立，
令，则，
则，可得在上恒成立，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，即实数的最大值为8．
21．某公司规划修建一个含生活和娱乐功能的设施，并在设施前的小路之间修建一处弓形花园（如图所示）．已知为上一点，，设．
(1)用表示，并求的最小值；
(2)问为何值时，点与主体设施之间的距离最近？
【答案】(1)，的最小值为12
(2)
【分析】（1）根据正弦定理可将分别用表示出来，从而可将表示出来，根据的范围以及正弦函数的单调性即可求出的最小值.
（2）由（1）可知，由已知条件可以推出，，从而在中，运用余弦定理即可表示出，通过三角恒等变换化简表达式，根据的范围以及正弦函数的单调性即可求出的最小值，以及取最小值时相应的的值.
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，当时，即时，
，所以的最小值为12．
（2）因为，所以，
所以三角形是等边三角形，
所以，
又由（1）可知，
所以在中，由余弦定理得
因为，所以，
当，即时，取最小值112，即取最小值，
故当时，与设施之间的距离最近．
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解单调性，
（2）将式子变形为恒成立，构造函数，利用导数求解其单调性，即可进一步将问题转化为对任意恒成立，构造函数，求解其最值即可.
【详解】（1）由题意知的定义域为，
若在上恒成立，所以在上单调递增；
若，令，得，令，得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减．
（2）当时，对任意恒成立，
即为对任意，恒有．
令，则不等式等价于，
且，
令，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
由，得对任意恒成立，
两边取对数，得，所以对任意恒成立．
令，则，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即，解得，
故的取值范围为．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
金1115年
1234年
元代1206年
1368年
明代1368年
1644年
清代1616年
1911年