2024届黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第三次调研考试数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第三次调研考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，根据集合的交集运算可得答案.
【详解】由题可得，故，
解可得，则,
故，
故选：C
2．已知复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出复数的代数形式，进而可得其共轭复数.
【详解】，
则的共轭复数为，
故选：B.
3．设向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据得到或，然后判断充分性和必要性即可.
【详解】若，则，整理得，所以或，
所以不能推出，而能推出，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
5．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，则的值是（ ）
A．8B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数求导和牛顿数列的定义，结合等比数列定义和通项公式即可求出的通项公式，从而利用对数计算求出，进而求解.
【详解】根据题意，
，
所以，
又，
所以为首项是2，公比是的等比数列，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
6．如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案.
【详解】由题意可知，函数的周期，初相为，则，
因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误；
点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1，
而在运动的过程中距离最大值为2，则，
所以C选项符合，A选项不符合.
故选：C.
7．已知函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由单调性的定义可知函数在上单调递增，对分类讨论即可求解.
【详解】由且得：，
构造函数，即有，
由单调性的定义可知：在上单调递增，
①当时，，满足在上单调递增；
②当时，二次函数的对称轴为，
所以函数在上单调递增，满足题意，
③当时，要使在上单调递增，则有，
解得：.
综上：.
故选：B
8．在中，分别为角的对边，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，再根据两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由且，可得，
根据正弦定理得，
即，
因为，可得，所以.
故选：A.
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则符合条件的三角形有一个
C．若，则为钝角三角形
D．若，则直角三角形
【答案】AD
【分析】利用正弦定理以及余弦定理逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，若，则，所以由正弦定理，可得，故A正确；
对于B，若，
根据正弦定理可得，，又，
所以有两解，可以是锐角，也可以是钝角，所以符合条件的三角形有两个，故B错误
对于C，若，，，由得为的最大角，
因为，由余弦定理，
所以角为锐角，即为锐角三角形，故C错误；
对于D，由得，即，
又，所以,
因为，，所以，
所以，所，故D正确.
故选：AD
10．下列四个命题正确的是（ ）
A．若，则的最大值为3
B．若复数满足，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．在中，为所在平面内一点，且，则
【答案】ABC
【分析】A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求.
【详解】对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确；
对B，设，因为，
所以，，
所以，所以，B正确；
对C，由正弦定理的，即，
，设中点为，
如图：
则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确；
对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误.
故选：ABC
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是2
C．的最小值是D．的面积最小值是
【答案】ABD
【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断．
【详解】解：由题意得：，
由角平分线以及面积公式得，
化简得，所以，故A正确；
，当且仅当时取等号，
，，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
由余弦定理
所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；
对于选项：由得：，，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
故选：ABD．
12．已知函数，函数满足，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．若实数、满足，则
D．若函数与图象的交点为，则
【答案】BD
【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；举出反例，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】对任意的，，
所以函数的定义域为，
因为
，
所以，故A错误；
因为，
所以，
所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C，由，
则，此时，故C错误；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称，
若函数与图象的交点个数为偶数，
且与，与都关于点对称，
所以，
所以，
若函数与图象的交点个数为奇数，
且与，与都关于点对称，
则，且，
所以，
故D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
三、填空题
13．平面向量，则向量在上的投影向量坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得则，，结合向量投影向量坐标的公式，即可求解.
【详解】由向量，可得，
则，，
则向量在上的投影向量坐标为.
故答案为：.
14．设公差不为0的等差数列的前项和为，已知，则 ．
【答案】7
【分析】根据等差数列的前n项和的性质及等差数列通项公式，化简可得答案.
【详解】根据等差数列的前n项和的性质得，
又因为，
所以，
所以，
设等差数列的首项为，公差为，
则，
所以，且，
所以，得.
故答案为：7
15．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由三点共线可得，再由基本不等式，即可得到结果.
【详解】
因为，则，
由三点共线可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
16．已知函数的部分图象如图，，则 ．
【答案】
【分析】运用代入法，结合函数的对称性和函数图象的特征进行求解即可.
【详解】由函数的图象可知该函数经过、两点，
把代入函数解析式中，得，
因为，所以，即，
把代入中，得
，
设该函数的最小正周期为，由图象可知，
所以令，得，即，
该函数的对称轴为：，
与函数的图象可知：关于对称，
因此有，且，
，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过图象得到和关于对称.
四、解答题
17．已知数列的首项为，前项和为．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值及取到最小值时的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或时．
【分析】（1）根据，得到，即可证明是等差数列；
（2）根据成等比数列列方程得到，即可得到，然后根据二次函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）证明：因为①，
当时，②，
①-②得，，
即，所以且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得，，，
又成等比数列，所以，即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
18．已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式对化简，将代入求得，解不等式即可求出函数的单调递增区间；
（2）对化简，求出，根据求得，求出，利用凑角得到.
【详解】（1），
当时，，得，
，
，
即，
令，,
解得：，
函数的单调递增区间是；
（2），
，得，
，
.
19．知中，，为边上的中点，且相交于点P．
(1)求；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用表示，求其模长；
（2）用表示，用向量夹角公式求的余弦值．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即.
（2），
所以，
所以
所以
，
所以
故的余弦值为.
20．在①；②，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在中，内角所对的边分别是，三角形面积为S，若为边上一点，满足，且_________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①，结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；选择②，结合二倍角公式平方关系及正弦定理化简可得，进而结合余弦定理求解；
（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1）选择①，，
，即，
由正弦定理得，，
，
，
，，即.
选择②，，
，
，
，
，
由正弦定理得，，
即，
所以，，即.
（2）由（1）知，，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，，
，
，,
，
，，，
所以的取值范围为.
21．已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，进而写出切线方程；
（2）讨论，，，，结合导数得出函数的单调性.
【详解】（1）当时，，，
，，
∴切线方程为：，即.
（2）因为，.
所以.
①当时，令，得，∴在上单调递减；
令，得，∴在上单调递增.
②当时，令，得.∴在上单调递减；
令，得或.∴在和上单调递增.
③当时，在时恒成立，∴在R单调递增.
④当时，令，得.∴在上单调递减；
令，得或.∴在和上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于讨论根的大小，从而得出函数的单调性.
22．已知函数，且有两个不同的零点，．
(1)求的取值范围；
(2)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间及最值，然后根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（2）易得是函数的一个零点，结合（1）分和两种情况讨论，当时，，转化为关于的不等式，构造新的函数，利用导数证明即可，同理证明时不等式也成立即可．
【详解】（1），
因为函数在，上单调递增，所以，
当时，，函数在，上递增，
此时函数在，上最多一个零点，与题意矛盾；
当时，令，则
所以函数在上递减，在上递增，
所以
因为函数在，上有两个不同的零点，
所以，即，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以
则当时，，
所以不等式组的解为且，
即的取值范围为，
综上所述的取值范围为；
（2）（1）得，
因为（1），则为函数的一个零点，
不妨设，
①当时，则，
由为函数的零点，
得，则，
则要证不等式，即证，
即证，即证，
即证，
令，
则，
所以函数在，上递减，
所以，
所以；
②当时，则，
由为函数的零点，
得，则，
则要证不等式，即证，
即证，即证，
即证，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
综上所述．
【点睛】本题考查了利用导数求函数函数的单调区间及利用导数解决零点问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，属于难题．