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2024届山东省泰安新泰市第一中学（东校）高三上学期第一次质量检测数学试题含解析
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这是一份2024届山东省泰安新泰市第一中学（东校）高三上学期第一次质量检测数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由确定所求集合为，求得集合后，由补集和交集定义可得结果.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为，
，，
.
故选：C.
2．已知的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可
【详解】由题得，所以.
故选：A
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出.
【详解】在上单调递增，在上单调递增，
函数在上单调递增，
∵，
，
，
函数的零点所在的区间为.
故选：C
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先通过奇偶性排除部分选项，再由又的取值范围判断.
【详解】解：因为函数，
所以是奇函数，则排除A，
又，
且，
等号不同时成立，则，
故选：B
5．2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A．吨B．吨C．吨D．吨
【答案】B
【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．
【详解】由题可得，即．
原式．
故选：．
7．冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上，名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈个时间刻度的行进轨迹．若以图中点与圆心连线为始边，某时刻指向第，，名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两角和的余弦公式化简计算.
【详解】由已知得，，，
所以，
故选：B.
8．是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别作出函数和函数在区间的图像，根据题意列出关于实数的不等式组，求解即可得出答案．
【详解】方程在至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，
可看成函数与图像在区间内至少有2个交点，至多有3个交点，
是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，
对，都有，
的对称轴为直线，
可画出与在的图像，如图所示，
结合图像可得，，即，
解得：，
故选：D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．B．“”是“”的充分条件
C．若,则D．若,则
【答案】CD
【分析】关于选项A,由任意,只需取一反例即可,取时不成立即可排除;
关于选项B,当时不能推出;
关于选项C,因为,对不等式左右两边分别乘以,即可证明;
关于选项D,不等式有同向可加性,将两边同时同时乘以-1,即可证明,再取倒数即可.
【详解】解:关于选项A,
当时,,不满足,
故选项A错误;
关于选项B,
当时,,不满足题意,
故选项B错误;
关于选项C,
,同时乘以可得,
在两边同时乘以,可得,
综上: 成立,
故选项C正确;
关于选项D,
,两式相加可得:
,
则有成立,
故选项D正确.
故选:CD
10．已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】AD
【分析】根据左加右减原理，逐项平移然后利用诱导公式进行化简，结合余弦函数的奇偶性进行判断即可得解.
【详解】对A，平移后得为偶函数，故A正确；
对B，平移后得无奇偶性，
故B错误；
对C，平移后得无奇偶性，故C错误；
对D，平移后得为偶函数，故D正确.
故选：AD
11．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像关于点中心对称
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数的图像向右平移个单位可得函数的图像
【答案】AB
【分析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
【详解】由图象得函数最小值为，故，
，故，，
故函数，
又函数过点，故，解得，
又，即，故，
对称中心：，解得，对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；
对称轴：，解得，当时，，故B选项正确；
的单调递减区间：，解得，又，故C选项不正确；
函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D选项不正确；
故选：AB.
12．已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（ ）
A．的最小值是，最大值是B．的周期为
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性求得正确答案.
【详解】由于，所以图象关于直线对称，
由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
当时，，
当时，，所以，
当时，的开口向上，对称轴为，
所以，
根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.
，C选项错误.
，
，
所以，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．设函数，则 .
【答案】
【分析】先求出，再求即可
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：
14．若命题“”是假命题，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为
故答案为：
15．已知函数在点处切线的斜率是3，则实数 .
【答案】
【分析】函数在1处的导数即斜率，可得a的值.
【详解】，因为在点处切线的斜率为3，
所以，得.
故答案为：.
16．已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式求得的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果.
【详解】，∴，，
令，，
当时，，与已知矛盾；
当时，在单调递减，
∴，
解得或（舍去），
∴的取值集合．
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，或，全集合．
(1)当时，求；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）代入，然后直接求即可；
（2）求出，然后根据条件得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）当时，，又或，
或；
（2）若，则，
又，
由得，
，
解得.
18．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以．
当时，，则．
因为是奇函数，所以，所以.
（2）当时，，则在上单调递增．
因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增．
由，可得，
所以，解得，故实数t的取值范围是．
19．已知函数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）由函数为偶函数，得到，进而得出，即可求得实数的值；
（2）令，整理得，根据函数在上有2个不同的零点，得到，，结合定义域，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.
整理得，所以.
（2）因为函数，
令，可得，整理得，
即，
由函数在上有2个不同的零点，
所以，，且，，
解得或，
所以的取值范围为.
20．在中，分别为内角的对边，其中，，且．
(1)求的大小；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边角化，再利用辅助角公式及角的范围，结合三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，根据正弦定理得，
即，所以．
因为，所以，
所以，所以．
（2）在中，，，，
根据余弦定理，，解得，
所以．
21．设．
(1)求的单调递增区间及对称中心；
(2)当时，，求的值．
【答案】(1)单调递增区间是；对称中心为
(2)
【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间及对称中心.
（2）结合同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得.
【详解】（1）由题意得：，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为-1，
所以对称中心为．
（2）∵
∴，
∵，∴，
∵当时，，
∴，
，
．
22．函数是定义在上的函数，满足下列条件：
①；②；③任意，有．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
(3)．
【分析】（1）对条件③用赋值法即可求解，
（2）由函数单调性的定义，即可作差求解，
（3）构造函数，结合的单调性，即可求解.
【详解】（1）任意，有，
当，有，
当，有，
，
（2）结论：在区间上是减函数．
证明：任取，设，则，
任意，有，
当，有，
．，
在区间上是减函数．
（3），
设，
由（2）可知函数在区间上是减函数，
又，
可知：当时，；当时，．
不等式的解集为．
一、单选题
1．已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由确定所求集合为，求得集合后，由补集和交集定义可得结果.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为，
，，
.
故选：C.
2．已知的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可
【详解】由题得，所以.
故选：A
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出.
【详解】在上单调递增，在上单调递增，
函数在上单调递增，
∵，
，
，
函数的零点所在的区间为.
故选：C
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先通过奇偶性排除部分选项，再由又的取值范围判断.
【详解】解：因为函数，
所以是奇函数，则排除A，
又，
且，
等号不同时成立，则，
故选：B
5．2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A．吨B．吨C．吨D．吨
【答案】B
【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．
【详解】由题可得，即．
原式．
故选：．
7．冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上，名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈个时间刻度的行进轨迹．若以图中点与圆心连线为始边，某时刻指向第，，名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两角和的余弦公式化简计算.
【详解】由已知得，，，
所以，
故选：B.
8．是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别作出函数和函数在区间的图像，根据题意列出关于实数的不等式组，求解即可得出答案．
【详解】方程在至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，
可看成函数与图像在区间内至少有2个交点，至多有3个交点，
是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，
对，都有，
的对称轴为直线，
可画出与在的图像，如图所示，
结合图像可得，，即，
解得：，
故选：D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．B．“”是“”的充分条件
C．若,则D．若,则
【答案】CD
【分析】关于选项A,由任意,只需取一反例即可,取时不成立即可排除;
关于选项B,当时不能推出;
关于选项C,因为,对不等式左右两边分别乘以,即可证明;
关于选项D,不等式有同向可加性,将两边同时同时乘以-1,即可证明,再取倒数即可.
【详解】解:关于选项A,
当时,,不满足,
故选项A错误;
关于选项B,
当时,,不满足题意,
故选项B错误;
关于选项C,
,同时乘以可得,
在两边同时乘以,可得,
综上: 成立,
故选项C正确;
关于选项D,
,两式相加可得:
,
则有成立,
故选项D正确.
故选:CD
10．已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】AD
【分析】根据左加右减原理，逐项平移然后利用诱导公式进行化简，结合余弦函数的奇偶性进行判断即可得解.
【详解】对A，平移后得为偶函数，故A正确；
对B，平移后得无奇偶性，
故B错误；
对C，平移后得无奇偶性，故C错误；
对D，平移后得为偶函数，故D正确.
故选：AD
11．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像关于点中心对称
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数的图像向右平移个单位可得函数的图像
【答案】AB
【分析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
【详解】由图象得函数最小值为，故，
，故，，
故函数，
又函数过点，故，解得，
又，即，故，
对称中心：，解得，对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；
对称轴：，解得，当时，，故B选项正确；
的单调递减区间：，解得，又，故C选项不正确；
函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D选项不正确；
故选：AB.
12．已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（ ）
A．的最小值是，最大值是B．的周期为
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性求得正确答案.
【详解】由于，所以图象关于直线对称，
由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
当时，，
当时，，所以，
当时，的开口向上，对称轴为，
所以，
根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.
，C选项错误.
，
，
所以，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．设函数，则 .
【答案】
【分析】先求出，再求即可
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：
14．若命题“”是假命题，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为
故答案为：
15．已知函数在点处切线的斜率是3，则实数 .
【答案】
【分析】函数在1处的导数即斜率，可得a的值.
【详解】，因为在点处切线的斜率为3，
所以，得.
故答案为：.
16．已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式求得的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果.
【详解】，∴，，
令，，
当时，，与已知矛盾；
当时，在单调递减，
∴，
解得或（舍去），
∴的取值集合．
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，或，全集合．
(1)当时，求；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）代入，然后直接求即可；
（2）求出，然后根据条件得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）当时，，又或，
或；
（2）若，则，
又，
由得，
，
解得.
18．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以．
当时，，则．
因为是奇函数，所以，所以.
（2）当时，，则在上单调递增．
因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增．
由，可得，
所以，解得，故实数t的取值范围是．
19．已知函数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）由函数为偶函数，得到，进而得出，即可求得实数的值；
（2）令，整理得，根据函数在上有2个不同的零点，得到，，结合定义域，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.
整理得，所以.
（2）因为函数，
令，可得，整理得，
即，
由函数在上有2个不同的零点，
所以，，且，，
解得或，
所以的取值范围为.
20．在中，分别为内角的对边，其中，，且．
(1)求的大小；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边角化，再利用辅助角公式及角的范围，结合三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，根据正弦定理得，
即，所以．
因为，所以，
所以，所以．
（2）在中，，，，
根据余弦定理，，解得，
所以．
21．设．
(1)求的单调递增区间及对称中心；
(2)当时，，求的值．
【答案】(1)单调递增区间是；对称中心为
(2)
【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间及对称中心.
（2）结合同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得.
【详解】（1）由题意得：，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为-1，
所以对称中心为．
（2）∵
∴，
∵，∴，
∵当时，，
∴，
，
．
22．函数是定义在上的函数，满足下列条件：
①；②；③任意，有．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
(3)．
【分析】（1）对条件③用赋值法即可求解，
（2）由函数单调性的定义，即可作差求解，
（3）构造函数，结合的单调性，即可求解.
【详解】（1）任意，有，
当，有，
当，有，
，
（2）结论：在区间上是减函数．
证明：任取，设，则，
任意，有，
当，有，
．，
在区间上是减函数．
（3），
设，
由（2）可知函数在区间上是减函数，
又，
可知：当时，；当时，．
不等式的解集为．
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