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2024届山东省泰安新泰市第一中学（弘文部）高三上学期第一次质量检测数学试题含解析
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这是一份2024届山东省泰安新泰市第一中学（弘文部）高三上学期第一次质量检测数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】解出集合,利用集合交运算定义计算即可.
【详解】，
又，
，
故选：
2．命题的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】存在量词（特称）命题的否定是全称量词命题.
【详解】由命题“”是存在量词命题，
则它的否定是全称量词命题：.
故选：A.
3．已知是第三象限的角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】是第三象限的角，
.
故选：B.
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B
5．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】因为，所以，
而，
所以.
故选：C.
7．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及奇函数的性质，作出函数与大致图象，结合函数的图象即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数且在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，
由此可在坐标系中画出与的大致图象，如图所示，
由图象可知，当时，，
所以关于的不等式的解集为.
故选：C.
8．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求函数的解析式，代入函数的定义域，根据三角函数的图象，列式求的取值范围.
【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，
，，若函数在上恰有3个零点，则，解得：.
故选：B
二、多选题
9．下列四个命题中的假命题为（ ）
A．，
B．集合与集合是同一个集合
C．“为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
D．命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】A选项，当时，满足要求，故A为真命题；B选项，求出，，故B为假命题；CD选项，可举出反例.
【详解】A选项，当时，，故，，A为真命题；
B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题；
C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题；
D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题.
故选：BCD
10．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．是周期为4的周期函数
D．
【答案】AC
【分析】B选项，根据的图象关于直线对称，得到关于轴对称，B错误；A选项，赋值法得到，结合求出；C选项，求出，C正确；D选项，先得到在上单调递增，结合函数的奇偶性和周期性得到.
【详解】B选项，的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B错误；
A选项，中，令得：，
因为，所以，解得：，A正确；
C选项，由于，，故，
即是周期为4的周期函数，C正确；
D选项，对，，当时，都有，
故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，
故，，
因为，
所以，D错误.
故选：AC
11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．的最大值为1，最小值为0D．与的图象有2个交点
【答案】AB
【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接计算即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可判断，对于D，在同一个坐标系中作出两函数的图象判断.
【详解】对于A，由题意得，所以A正确，
对于B，，所以B正确，
对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，则当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误，
对于D，由选项C 可知，且的周期为1，
作出与的图象，由图象可知与的图象有无数个交点，所以D错误，
故选：AB
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．它是周期为的周期函数
B．它是偶函数
C．它在这个区间有且只有1个零点
D．它的值域为
【答案】BD
【分析】利用特殊值，判断A；根据偶函数的定义，判断B；分区间讨论函数的零点，以及函数的值域，判断CD.
【详解】A.，
，
，所以不是周期为的周期函数，故A错误；
B.函数的定义域为，，所以函数
是偶函数，故B正确；
C.当时，，得，无解，
当时，，得，无解，
当时，，得，无解，
当时，，得，，
时，，得，，
综上可知，它在这个区间有且只有2个零点，故C错误；
D.当时，，且，
当时，，
当时，，
当时，，
再结合函数是偶函数，可知，函数的值域是，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意得到“任意，”为真命题，在分类讨论求解即可.
【详解】因为“存在，”为假命题，
所以“任意，”为真命题，
当时，，满足题意.
当时，，
综上：.
故答案为：
14．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果.
【详解】设圆心角为，则，
所以，解得，所以，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
故答案为：
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简，根据齐次式的处理方法求解.
【详解】
.
故答案为：.
16．已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围.
【详解】当时，则，所以当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，，且时，当时，
当时，函数在上单调递增，
所以的图象如下所示：
对于函数，令，即，
令，则，
要使恰有个不相等的实数根，
即关于的有两个不相等的实数根，且，，
令，则有两个不相等的零点均位于之间，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题.
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)求集合；
(2)求，.
【答案】(1)
(2)，或
【分析】（1）根据函数的解析式有意义可求得集合；
（2）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为集合，
则.
（2）解：因为或，，
所以，，或，
则或.
18．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由已知可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
则，解得，故.
（2）解：由（1）可知，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
19．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的单调增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据函数图象的对称轴可得周期，再根据最高点可得函数解析式，再利用整体法可得单调递增区间；
（2）利用整体代入法求值域.
【详解】（1）由已知得，则，
所以，
又，所以，
由函数最大值为，所以，
所以，
又函数过点，
所以，解得，
又因为，所以取，
所以，
则，
解得，
所以函数的单调增区间为；
（2）由（1）得，
又，则，
所以当，即时，函数取最大值为，
当，即时，函数取最小值为.
20．设函数，，且，．
(1)求的值及的定义城；
(2)判断的奇偶性，并给出证明；
(3)求函数在上的值域．
【答案】(1)定义域，
(2)函数为偶函数，证明见解析
(3)．
【分析】（1）根据真数大于0求解定义域，由求的值.
（2）根据奇偶性的定义判断.
（3），根据真数的范围求解.
【详解】（1）由可得，故函数的定义域，
因为，
由题意，故
（2）因为，
又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，
（3）由（1）可知，，
，所以，
所以函数的值域为．
21．为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）
(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；
（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可．
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时， ，
所以.
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值万元，
当时，，
此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元.
综上所述，由于，最大值为15万元.
所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
22．已知函数，．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的最小值；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先化简函数的解析式，结合对称轴可得答案；
（2）把零点问题转化为方程根的问题，利用三角函数的值域求法可得答案.
【详解】（1）
，
由，，解得，，
即函数的对称轴为，．
∵的图象关于直线对称，∴当时，有最小值．
（2）若函数在上有零点，
即在上有解，即在上有解，
当，，即，，
由，解得，故实数的取值范围是．
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】解出集合,利用集合交运算定义计算即可.
【详解】，
又，
，
故选：
2．命题的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】存在量词（特称）命题的否定是全称量词命题.
【详解】由命题“”是存在量词命题，
则它的否定是全称量词命题：.
故选：A.
3．已知是第三象限的角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】是第三象限的角，
.
故选：B.
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B
5．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】因为，所以，
而，
所以.
故选：C.
7．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及奇函数的性质，作出函数与大致图象，结合函数的图象即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数且在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，
由此可在坐标系中画出与的大致图象，如图所示，
由图象可知，当时，，
所以关于的不等式的解集为.
故选：C.
8．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求函数的解析式，代入函数的定义域，根据三角函数的图象，列式求的取值范围.
【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，
，，若函数在上恰有3个零点，则，解得：.
故选：B
二、多选题
9．下列四个命题中的假命题为（ ）
A．，
B．集合与集合是同一个集合
C．“为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
D．命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】A选项，当时，满足要求，故A为真命题；B选项，求出，，故B为假命题；CD选项，可举出反例.
【详解】A选项，当时，，故，，A为真命题；
B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题；
C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题；
D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题.
故选：BCD
10．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．是周期为4的周期函数
D．
【答案】AC
【分析】B选项，根据的图象关于直线对称，得到关于轴对称，B错误；A选项，赋值法得到，结合求出；C选项，求出，C正确；D选项，先得到在上单调递增，结合函数的奇偶性和周期性得到.
【详解】B选项，的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B错误；
A选项，中，令得：，
因为，所以，解得：，A正确；
C选项，由于，，故，
即是周期为4的周期函数，C正确；
D选项，对，，当时，都有，
故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，
故，，
因为，
所以，D错误.
故选：AC
11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．的最大值为1，最小值为0D．与的图象有2个交点
【答案】AB
【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接计算即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可判断，对于D，在同一个坐标系中作出两函数的图象判断.
【详解】对于A，由题意得，所以A正确，
对于B，，所以B正确，
对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，则当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误，
对于D，由选项C 可知，且的周期为1，
作出与的图象，由图象可知与的图象有无数个交点，所以D错误，
故选：AB
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．它是周期为的周期函数
B．它是偶函数
C．它在这个区间有且只有1个零点
D．它的值域为
【答案】BD
【分析】利用特殊值，判断A；根据偶函数的定义，判断B；分区间讨论函数的零点，以及函数的值域，判断CD.
【详解】A.，
，
，所以不是周期为的周期函数，故A错误；
B.函数的定义域为，，所以函数
是偶函数，故B正确；
C.当时，，得，无解，
当时，，得，无解，
当时，，得，无解，
当时，，得，，
时，，得，，
综上可知，它在这个区间有且只有2个零点，故C错误；
D.当时，，且，
当时，，
当时，，
当时，，
再结合函数是偶函数，可知，函数的值域是，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意得到“任意，”为真命题，在分类讨论求解即可.
【详解】因为“存在，”为假命题，
所以“任意，”为真命题，
当时，，满足题意.
当时，，
综上：.
故答案为：
14．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果.
【详解】设圆心角为，则，
所以，解得，所以，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
故答案为：
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简，根据齐次式的处理方法求解.
【详解】
.
故答案为：.
16．已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围.
【详解】当时，则，所以当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，，且时，当时，
当时，函数在上单调递增，
所以的图象如下所示：
对于函数，令，即，
令，则，
要使恰有个不相等的实数根，
即关于的有两个不相等的实数根，且，，
令，则有两个不相等的零点均位于之间，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题.
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)求集合；
(2)求，.
【答案】(1)
(2)，或
【分析】（1）根据函数的解析式有意义可求得集合；
（2）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为集合，
则.
（2）解：因为或，，
所以，，或，
则或.
18．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由已知可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
则，解得，故.
（2）解：由（1）可知，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
19．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的单调增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据函数图象的对称轴可得周期，再根据最高点可得函数解析式，再利用整体法可得单调递增区间；
（2）利用整体代入法求值域.
【详解】（1）由已知得，则，
所以，
又，所以，
由函数最大值为，所以，
所以，
又函数过点，
所以，解得，
又因为，所以取，
所以，
则，
解得，
所以函数的单调增区间为；
（2）由（1）得，
又，则，
所以当，即时，函数取最大值为，
当，即时，函数取最小值为.
20．设函数，，且，．
(1)求的值及的定义城；
(2)判断的奇偶性，并给出证明；
(3)求函数在上的值域．
【答案】(1)定义域，
(2)函数为偶函数，证明见解析
(3)．
【分析】（1）根据真数大于0求解定义域，由求的值.
（2）根据奇偶性的定义判断.
（3），根据真数的范围求解.
【详解】（1）由可得，故函数的定义域，
因为，
由题意，故
（2）因为，
又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，
（3）由（1）可知，，
，所以，
所以函数的值域为．
21．为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）
(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；
（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可．
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时， ，
所以.
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值万元，
当时，，
此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元.
综上所述，由于，最大值为15万元.
所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
22．已知函数，．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的最小值；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先化简函数的解析式，结合对称轴可得答案；
（2）把零点问题转化为方程根的问题，利用三角函数的值域求法可得答案.
【详解】（1）
，
由，，解得，，
即函数的对称轴为，．
∵的图象关于直线对称，∴当时，有最小值．
（2）若函数在上有零点，
即在上有解，即在上有解，
当，，即，，
由，解得，故实数的取值范围是．
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