江苏省连云港市赣榆区2023—2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省连云港市赣榆区2023—2024学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。
A．B．C．D．
2．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，则CD等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（ ）
A．第4块B．第3块C．第2块D．第1块
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠AED＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．45°C．50°D．55°
5．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52D．a：b：c＝5：12：13
6．（3分）如图，在△ABC中，D为线段AB的垂直平分线与BC延长线的交点，若AD＝7，BC＝3（ ）
A．3B．4C．6D．7
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，以A为圆心，适当长为半径画弧，AB于D，E两点，E为圆心，大于，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2.8
8．（3分）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，△AEG的面积为，则BD2的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只
9．（3分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60° ．
10．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 ．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 ．
12．（3分）如图，一株荷叶高出水面1米，一阵风吹过来，这时它偏离原来位置有3米远，则荷叶原来的高度是 米．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝7cm，△BCN的周长是13cm，则BC的长为 cm．
14．（3分）如图，已知△ABC的周长是21，BO，OD⊥BC于点D，且OD＝3 ．
15．（3分）如图，“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，点O，A可在槽中滑动，则∠COA的度数是 °．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝5，点D是边AC上的动点，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，线段CE长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出
17．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2
18．（8分）如图，点E，F在BC上，AF＝DE，∠A＝∠D．
（1）证明：△ABF≌△DCE；
（2）若BC＝15，EF＝7，求BE的长．
19．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）求∠EDC的度数．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点M、N分别是BC、DE的中点．求证：MN⊥DE．（提示：连接EM、DM）
23．（10分）三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，如图所示，该“弦图”由四个完全相同的直角三角形拼在一起得到一个大正方形和一个小正方形．已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b）．
（1）请你直接写出大正方形的面积（用含a，b的代数式表示）；
（2）若 （a+b）2＝26，大正方形的面积为17，求小正方形的面积．
24．（12分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要
25．（12分）定义：点P是△ABC所在平面内任意一点（不与A、B、C重合），若点P与A、B、C中的某两点的连线夹角是直角，则称点P是△ABC的一个直角点．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，满足∠A＝60°，∠ACP＝20°，试说明点P是△ABC的一个直角点；
（2）如图2，△ABC的顶点都在格点上，AB＝AC，点P是直线AD上△ABC的直角点，请在图中标出所有符合条件的点P；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D是AB的中点，求CP的长．
26．（14分）【模型建立】（1）如图1，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°；
【模型应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC与BE交于点F，若点F为AC中点，
①求∠BEC的大小；
②CE＝3，求△AEF的面积；
【拓展提高】（3）如图3，在△ABC与△ADE中，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，DC＝DF，CD⊥DF，求AF的长．
2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，
1．（3分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、图形是轴对称图形；
B、图形不是轴对称图形；
C、图形不是轴对称图形；
D、图形不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．
2．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，则CD等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据等腰三角形的性质“三线合一”即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴CD＝BC＝5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，掌握“三线合一”是解题的关键．
3．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（ ）
A．第4块B．第3块C．第2块D．第1块
【分析】根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．
【解答】解：1、3、7块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，是符合题意的．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠AED＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED＝∠ACB，再根据三角形的内角和定理列式求出∠A．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝100°，
∴∠AED＝∠ACB＝100°，
∵∠B＝25°，
∴∠A＝180°﹣100°﹣25°＝55°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
5．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52D．a：b：c＝5：12：13
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项A、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°；
a＝38，b＝42，c＝42，则a2+b4≠c2，故选项C符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，则a3+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，D为线段AB的垂直平分线与BC延长线的交点，若AD＝7，BC＝3（ ）
A．3B．4C．6D．7
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD＝AD＝7，再求出答案即可．
【解答】解：∵D为线段AB的垂直平分线与BC延长线的交点，AD＝7，
∴BD＝AD＝7，
∵BC＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝7﹣3＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，以A为圆心，适当长为半径画弧，AB于D，E两点，E为圆心，大于，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2.8
【分析】过F点作FH⊥AB于H点，如图，利用基本作图得到AM平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到FH＝FC，再利用勾股定理计算出BC＝9，接着证明Rt△AFH≌Rt△AFC得到AH＝AC＝12，所以BH＝3，设BF＝x，则FC＝FH＝9﹣x，利用勾股定理得32+（9﹣x）2＝x2，然后解方程即可．
【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图，
由作图痕迹得AM平分∠BAC，
而FC⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FC，
∵∠C＝90°，AB＝15，
∴BC＝＝9，
在Rt△AFH和Rt△AFC中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△AFC（HL），
∴AH＝AC＝12，
∴BH＝AB﹣AH＝15﹣12＝3，
设BF＝x，则FC＝FH＝3﹣x，
在Rt△BHF中，32+（5﹣x）2＝x2，
解得x＝3，
即BF的长为5．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理和角平分线的性质．
8．（3分）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，△AEG的面积为，则BD2的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【分析】由折叠的性质可得AB＝AE＝5，BD＝DE，AD⊥EF，由三角形面积公式可求AD＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，
∴AB＝AE＝5，BD＝DE，
在Rt△AEF中，
EF＝＝3，
∵DG＝EG，△AEG的面积为，
∴S△ADE＝2×S△AEG＝9＝×EF×AD，
∴AD＝6，
∴DF＝2，
在Rt△DEF中，
DE2＝BD2＝EF3+DF2＝9+5＝13，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只
9．（3分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60° 20° ．
【分析】先根据全等三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝100°，
∴∠B＝∠E＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣60°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，能求出∠D的度数是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
10．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 10 ．
【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、5、4，
∵2+3＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为8、4、4，
能组成三角形，
周长＝6+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出BC2，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵S1＝20，S2＝11，
∴BC4＝AB2﹣AC2＝20﹣11＝5，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12．（3分）如图，一株荷叶高出水面1米，一阵风吹过来，这时它偏离原来位置有3米远，则荷叶原来的高度是 5 米．
【分析】设水面以下荷叶的高度为OH＝h5米，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）5米，在Rt△OHB中，BH＝35米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设水面以下荷叶的高度为OH＝h米，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）米
在Rt△OHB中，BH＝3米7+BH2＝BO2，
即h8+32＝（h+5）2，
解得：h＝4（米），
∴h+5＝5（米），
∴荷叶的高度为5米，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝7cm，△BCN的周长是13cm，则BC的长为 6 cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB＝NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB＝NA，
△BCN的周长＝BC+CN+BN＝13cm，
∴BC+AC＝13cm，
又∵AC＝7cm，
∴BC＝6cm，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）如图，已知△ABC的周长是21，BO，OD⊥BC于点D，且OD＝3 ．
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE、OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝3，
同理，OF＝OD＝3，
∴△ABC的面积＝×AB×OE+×AC×OF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如图，“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，点O，A可在槽中滑动，则∠COA的度数是 84 °．
【分析】设∠P＝x．则有∠P＝∠COP＝x，∠OCA＝∠OAC＝∠P+∠COP＝2x，构建方程求出x，可得结论．
【解答】解：设∠P＝x．
∵CP＝CO＝AO，
∴∠P＝∠COP＝x，∠OCA＝∠OAC＝∠P+∠COP＝2x，
∴∠AOB＝∠P+∠OAC＝3x＝72°，
∴x＝24°，
∴∠OCA＝∠OAC＝48°，
∴∠AOC＝180°﹣6×48°＝84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝5，点D是边AC上的动点，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，线段CE长度的最小值是 2.5 ．
【分析】取AB的中点Q，连接CQ，DQ．由“SAS”可证△EBC≌△DBQ，推出EC＝DQ，推出当QD⊥AC时，EC的值最小．
【解答】解：如图，取AB的中点Q，DQ，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBQ＝60°，
∵BQ＝AQ＝5，
∴CQ＝BQ＝AQ＝5，
∴△BCQ是等边三角形，
∴BC＝BQ，
∵∠DBQ＝∠CBQ＝60°，
∴∠EBC＝∠DBQ，
在△EBC和△DBQ中，
，
∴△EBC≌△DBQ（SAS），
∴EC＝DQ，
∴当QD⊥AC时，EC的值最小，
在Rt△AQD中，AQ＝2，
∴DQ＝AQ＝4.5，
∴CE的最小值为2.8，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化 的思想思考问题．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出
17．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2
【分析】首先依题意证明△ABC≌△ADC继而求得AB＝AD．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ADC．
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
∴AB＝AD．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
18．（8分）如图，点E，F在BC上，AF＝DE，∠A＝∠D．
（1）证明：△ABF≌△DCE；
（2）若BC＝15，EF＝7，求BE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得BF＝CE，即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∴BF＝CE，
∴BE＝CF，
∵BC＝15，EF＝7，
∴2BE＝8，
∴BE＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′C交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；
（3）根据网格即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×4﹣2×8﹣1×7＝．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质，准确找到点P．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）求∠EDC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DCB＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝72°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝36°，∠A＝36°，
∴CD＝AD，
即△ACD是等腰三角形；
（2）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣36°＝54°．
【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根据BD2﹣CD2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD7，
∴CB2＝BD2﹣CD5，
∴CB2+CD2＝BD4，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD4＝BC2，
∴（4﹣x）8﹣x2＝35，
解得：x＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
22．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点M、N分别是BC、DE的中点．求证：MN⊥DE．（提示：连接EM、DM）
【分析】连接EM，DM，根据垂直定义可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得DM＝BC，EM＝BC，从而可得DM＝EM，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【解答】证明：连接EM，DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵点M是BC的中点，
∴DM＝BCBC，
∴DM＝EM，
∵点N是ED的中点，
∴MN⊥DE．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，如图所示，该“弦图”由四个完全相同的直角三角形拼在一起得到一个大正方形和一个小正方形．已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b）．
（1）请你直接写出大正方形的面积（用含a，b的代数式表示）；
（2）若 （a+b）2＝26，大正方形的面积为17，求小正方形的面积．
【分析】（1）大正方形的面积就是直角三角形斜边的平方，由此即可写出大正方形的面积；
（2）小正方形的面积为（a﹣b）2，因此由已知条件求出（a﹣b）2的值即可．
【解答】解：（1）大正方形的面积为直角三角形斜边的平方，
∴大正方形的面积＝a2+b2，
（2）由（1）知a3+b2＝17，①
又（a+b）2＝26，即a6+b2+2ab＝26，②
②﹣①得4ab＝9，
∴（a﹣b）2＝a4+b2﹣2ab＝17﹣7＝8，
故小正方形的面积为8．
【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，弄清图形中线段的数量关系，灵活掌握勾股定理是解题的关键．
24．（12分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要
【分析】（1）根据勾股定理可直接求出AB；
（2）利用三角形的面积公式求得CD＝720米．再根据241米＜250米可以判断有危险，根据勾股定理求出DE，进而求出EF．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300米，
∴AB＝＝＝500（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D，250米为半径画弧，F，连接CE，
∵S△ABC＝AB•CD＝，
∴CD＝＝＝240（米）．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
∴EC＝FC＝250米，
∴ED＝
＝70（米），
故EF＝70米，
则需要封锁的路段长度为70米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出CD的长．
25．（12分）定义：点P是△ABC所在平面内任意一点（不与A、B、C重合），若点P与A、B、C中的某两点的连线夹角是直角，则称点P是△ABC的一个直角点．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，满足∠A＝60°，∠ACP＝20°，试说明点P是△ABC的一个直角点；
（2）如图2，△ABC的顶点都在格点上，AB＝AC，点P是直线AD上△ABC的直角点，请在图中标出所有符合条件的点P；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D是AB的中点，求CP的长．
【分析】（1）证明∠CPB＝90°即可解决问题．
（2）根据勾股点的定义解决问题即可．
（3）分三种情形①∠APC＝90°时．②当∠CPB＝90°时．③当∠APB＝90°时．④当∠APB＝90°，分别讨论求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ACB+∠ABC＝120°．
∵∠ABP＝10°，∠ACP＝20°，
∴∠PCB+∠PBC＝90°．
∴∠CPB＝90°，
∴点P是△ABC的一个直角点．
（2）解：如图，点P1，P2，P2即为所求．
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．
∴AB＝10，
又∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝10，
①∠APC＝90°时，设CP＝x，
在Rt△APC和Rt△APD中，
∵AC2﹣CP3＝AD2﹣DP2，即：32﹣x2＝62﹣（5﹣x）8，
解得：x＝3.6．
②当∠CPB＝90°时，设CP＝x，
在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵BC6﹣CP2＝BD2﹣DP8，即82﹣x5＝52﹣（x﹣8）2，
解得：x＝6.5．
③当∠APB＝90°时，
在Rt△APB中，DP＝，
∴CP＝10，
④当∠ABP＝90°时，同法可得CP＝
综上所述，CP的长为3.6或2.4或10或．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．（14分）【模型建立】（1）如图1，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°；
【模型应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC与BE交于点F，若点F为AC中点，
①求∠BEC的大小；
②CE＝3，求△AEF的面积；
【拓展提高】（3）如图3，在△ABC与△ADE中，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，DC＝DF，CD⊥DF，求AF的长．
【分析】（1）首先得到∠EAC＝∠DAB，然后证明出△AEC≌△ADB（SAS）即可；
（2）首先由△AEC≌△ADB得到BD＝EC＝3，然后证明出△AGF≌△CEF（AAS），得到AG＝EC＝3，进而求解即可；
（3）连接EC，首先得到∠CDE＝∠FDA，然后证明出△CDE≌△FDA（SAS），然后得到S△AEF＝S△CFB＝18，设AF的长度为a，列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
 
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴∠ABE＝∠ACE，
∴∠BEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC﹣∠AEB
＝180﹣∠ABE﹣∠EAC﹣∠AEB
＝∠BAC
＝90°；
②作AG⊥BE于点G，如图2所示：
∵△AEC≌△ADB，
∴BD＝EC＝3，
在△AGF和△CEF中
，
∴△AGF≌△CEF（AAS），
∴AG＝EC＝8，
∴S△ACE＝S△ABD＝×6×3＝4.5，
∵点F为AC中点，
∴S△AEF＝S△ACE＝×4.3＝2.25；
（3）解：连接EC，如图3所示：
∵∠BAC＝∠ADE＝90°且CD⊥DF，
∴∠CDE＝∠FDA
在△CDE和△FDA中
，
∴△CDE≌△FDA（SAS），
∴CE＝AF，∠DCE＝∠AFD，
∵DC＝DF，CD⊥DF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠DCF＝∠CFD＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCE＝∠AFD＝135°，
∴∠ECA＝135°﹣45°＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△ECB，
∵△CEF是公共部分，
∴S△AEF＝S△CFB＝18，
设AF的长度为a，
则S△AEF＝＝18，
解得：a＝6（负值已舍去），
故AF的长度为5．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．