湖北省武汉外国语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉外国语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，6cm，9cmB．4cm，3cm，8cm
C．5cm，6cm，7cmD．5cm，5cm，10cm
3．（3分）点A（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（﹣4，﹣3）
4．（3分）安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．三角形内角和为180°
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点确定一条直线
5．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD．以下是四个同学补充的条件（ ）
A．AC＝BDB．CB＝DAC．∠C＝∠DD．∠ABC＝∠BAD
6．（3分）用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
8．（3分）如图，AB＝4厘米，BC＝6厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，△ABP与△CQP全等，则t的值是（ ）
A．1B．1.5C．1或1.5D．1或2
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，则四边形ABCD的面积不可能的是（ ）
A．16B．17C．18D．19
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为三角形内一点，连接CD，点E为线段BD的中点．若∠ACD＝∠BAE，则∠DAE的度数为（ ）
A．180°﹣αB．α﹣90°C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若一个多边形的每一个内角都是120°，则它的边数为 ．
12．（3分）等腰三角形中有一个内角为110°，则其底角的度数为 ．
13．（3分）如图，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA，OB，再分别以点A，B为圆心长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（3a，a+8） ．
14．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC上的点，且BD＝BF，∠DFE＝55°，则∠A的度数为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，BD交于O，AB∥CD；②AD∥BC；③AB⊥BC ．
16．（3分）如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处），舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，若∠EOF＝75°，EF＝210海里 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠A+60°
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E在边BC上，且BD＝CE．
求证：AD＝AE．
19．（8分）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，MN经过点O，与AB，N，且MN∥BC．
（1）若∠A＝60°，请直接写出∠BOC的度数；
（2）已知AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E为AD上一点，点F为BA延长线上一点，CE．
（1）若∠F＝∠ACE，直接写出图中与∠CEF相等的角；
（2）若EF＝EC，求证：∠F＝∠ACE．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的8×5网格，已知点A，B，C均为格点，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）：
（1）图中△ABC的面积为 ；
（2）在图1中作出△ABC的高BD；
（3）在图2中的BC边上找一点E，使∠CAE＝45°；
（4）在（3）的条件下，已知AB＝5，使BF＝BE．
22．（10分）已知△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，E为线段BD的中点，F为线段CD的垂直平分线上一点
（1）如图1，若点B，D，F在同一条直线上，
①求证：点A在线段CD的垂直平分线上；
②请直接写出∠EDC的度数．
（2）如图2，若点B，D，F不在同一条直线上，先画出△AEF关于EF对称的图形，再求∠DFC的度数．
23．（10分）在△ABC中，点D，E分别为BC
（1）如图1，连接BE，点F在BE上，求证：∠BAF＝∠EBC；
（2）在（1）的条件下，若BD＝BA，求证：∠DEC+2∠BED＝180°；
（3）如图2，∠BAC＝90°，∠C＝30°，则当AD+BE的值最小时，∠BEC与∠BAD之间的数量关系为 ．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，以AB为腰作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图2，点B在x轴负半轴上，AC交x轴于点D，且点C的纵坐标是﹣3，求线段BD的长；
（3）如图3，点B在x轴正半轴上，以BC为边在BC左侧作等边△BCE，CO，若∠COE＝60°，求△AOC的面积．
2023-2024学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，6cm，9cmB．4cm，3cm，8cm
C．5cm，6cm，7cmD．5cm，5cm，10cm
【分析】根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：A、∵3+6＝3，不符合题意；
B、∵4+3＝8＜8，不符合题意；
C、∵5+4＞7，符合题意；
D、∵5+7＝10，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．（3分）点A（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点A（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（2．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．（3分）安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．三角形内角和为180°
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点确定一条直线
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形具有稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解题的关键．
5．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD．以下是四个同学补充的条件（ ）
A．AC＝BDB．CB＝DAC．∠C＝∠DD．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴可以添加的条件是：AC＝BD，∠C＝∠D，
可分别根据SAS、AAS，
添加条件CB＝DA，不能根据SSA证明△ABC≌△BAD，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质判定定理是解题的关键．
6．（3分）用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
【分析】利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB
【解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
8．（3分）如图，AB＝4厘米，BC＝6厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，△ABP与△CQP全等，则t的值是（ ）
A．1B．1.5C．1或1.5D．1或2
【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△ABP≌△PCQ和②当△ABP≌△QCP时，设运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．
【解答】解：设P．Q两点的运动时间为t秒，
则BP＝2tcm，PC＝（6﹣4t）cm．
∵AB＝4cm，
①当△ABP≌△PCQ时，
BA＝CP，BP＝CQ．
∴6﹣3t＝4，
∴t＝1．
∴CQ＝BP＝2．
∴x＝2；
②当△ABP≌△QCP时，
BA＝CQ＝4cm，BP＝CP＝4cm，
∴2t＝3，
∴t＝．
∴x＝4，
∴x＝．
综上，当点Q的运动速度为2或，t的值是1或时．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，则四边形ABCD的面积不可能的是（ ）
A．16B．17C．18D．19
【分析】过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，S四边形ABCD＝S四边形AECF，当四边形AECF的面积最大时，四边形AECF是正方形，根据正方形的性质得到EF＝AC，EF⊥AC，于是得到结论．
【解答】解：过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠E＝∠AFD＝90°，
∵∠ADF+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABE，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，S四边形ABCD＝S四边形AECF，
∵四边形AECF的面积最大时，四边形AECF是正方形，
∴EF＝AC，EF⊥AC，
∴四边形ABCD的面积最大值＝AC2＝×22＝18，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，正方形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为三角形内一点，连接CD，点E为线段BD的中点．若∠ACD＝∠BAE，则∠DAE的度数为（ ）
A．180°﹣αB．α﹣90°C．D．
【分析】由“SAS”可证△AED≌△HEB，可得BH＝AD，∠H＝∠DAE，由“SAS”可证△ABF≌△CAD，可得AD＝BF，∠DAC＝∠ABF，由角的数量关系可求解．
【解答】解：如图，延长AE至H，连接BH，
∵点E为线段BD的中点，
∴BE＝DE，
在△AED和△HEB中，
，
∴△AED≌△HEB（SAS），
∴BH＝AD，∠H＝∠DAE，
在△ABF和△CAD中，
，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴AD＝BF，∠DAC＝∠ABF，
∴AD＝BF＝BH，
∴∠H＝∠BFH，
∴∠DAE＝∠BFH＝∠BAE+∠ABF＝∠BAE+∠DAC，
∵∠BAC＝α，
∴∠DAE＝，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若一个多边形的每一个内角都是120°，则它的边数为 6 ．
【分析】根据多边形相邻的内角与外角互为补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数计算即可得解．
【解答】解：∵多边形每一个内角都是120°，
∴多边形每一个外角都是180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．
12．（3分）等腰三角形中有一个内角为110°，则其底角的度数为 35° ．
【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵110°＞90°，
∴110°的角为等腰三角形的顶角，
∴这个等腰三角形的两个底角的度数都＝＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA，OB，再分别以点A，B为圆心长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（3a，a+8） 4 ．
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，以大于，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（6a，a+8），
∴3a＝a+5，
∴a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC上的点，且BD＝BF，∠DFE＝55°，则∠A的度数为 70° ．
【分析】根据平角的定义求出∠BFD+∠CFE的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出∠B+∠C＝110°，根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵BD＝BF，
∴∠BDF＝∠BFD，
∴∠B＝180°﹣2∠BFD；
同理，得：∠C＝180°﹣2∠CFE，
∴∠B+∠C＝360°﹣4（∠BFD+∠CFE），
∵∠DFE＝55°，
∴∠BFD+∠CFE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠B+∠C＝360°﹣2（∠BFD+∠CFE）＝360°﹣2×125°＝110°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．有效地进行等角的转移时解答本题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，BD交于O，AB∥CD；②AD∥BC；③AB⊥BC ①②③④ ．
【分析】由轴对称的性质可知；AD＝AB，DC＝BC，∠DAC＝∠BCA，由平行线的性质可知∠BAC＝∠DCA，从而得到∠ACB＝∠BAC，故此AB＝BC，从而可知四边形ABCD为菱形，最后依据菱形的性质判断即可．
【解答】解：由轴对称的性质可知；AD＝AB，∠DAC＝∠BCA．
∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA．
∴∠BCA＝∠BAC．
∴AB＝BC．
∴AB＝BC＝CD＝AD．
∴四边形ABCD为菱形．
∴AD∥BC，AB＝CD，AO＝CO．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
16．（3分）如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处），舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，若∠EOF＝75°，EF＝210海里 80 ．
【分析】延长AE、BF相交于点C，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：
延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝150°，∠EOF＝75°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，
∴EF＝AE+BF，
即EF＝4.5×（60+m）＝210．
解得m＝80．
故答案为：80．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确作出辅助线是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠A+60°
【分析】首先由三角形的内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，然后将∠B＝3∠A，∠C＝2∠A+60°代入即可解出∠A，进而再求出∠B，∠C即可．
【解答】解：由三角形的内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝3∠A，∠C＝2∠A+60°，
∴∠A+8∠A+2∠A+60°＝180°，
解得：∠A＝20°，
∴∠B＝3∠A＝60°，∠C＝3∠A+60°＝2×20°+60°＝100°，
∴△ABC各个内角的度数分别为：∠A＝20°，∠B＝60°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，理解三角形的三个内角和等于180°是解决问题的关键．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E在边BC上，且BD＝CE．
求证：AD＝AE．
【分析】本题可通过等腰三角形三线合一来证简单的线段相等．在△ABD和△ACE中，已知了AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵BD＝CE，
∴DF＝EF，
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；根据等腰三角形的性质来得出全等三角形的判定条件是解题的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，MN经过点O，与AB，N，且MN∥BC．
（1）若∠A＝60°，请直接写出∠BOC的度数；
（2）已知AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，再根据等角对等边可得BM＝OM，
（2）同理ON＝NC，由MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠CBO＝∠ABC∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）
＝180°﹣60°
＝120°，
（2））∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO
又∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠ABO＝∠CBO
∴OM＝BM；OM＝MB，
∴△AMN周长＝AM+MN+AN＝AM+OM+ON+AN＝AB+AC＝13．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出三角形AMN的周长是AB+AC．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E为AD上一点，点F为BA延长线上一点，CE．
（1）若∠F＝∠ACE，直接写出图中与∠CEF相等的角；
（2）若EF＝EC，求证：∠F＝∠ACE．
【分析】（1）作EG⊥AB于点G，EH⊥AC于点H，则∠GEH+∠GAH＝180°，而∠CAF+∠GAH＝180°，所以∠GEH＝∠CAF，根据等腰三角形的“三线合一”得EG＝EH，再证明△EFG≌△ECH，得∠GEF＝∠HEC，所以∠GEH＝∠GEF+∠FEH＝∠HEC+∠FEH＝∠CEF，则∠CAF＝∠CEF；
（2）作EG⊥AB于点G，EH⊥AC于点H，则∠EGF＝∠EHC＝90°，即可由EF＝EC，EG＝EH，根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△EFG≌Rt△ECH，则∠F＝∠ACE．
【解答】（1）解：∠CAF＝∠CEF，理由如下：
作EG⊥AB于点G，EH⊥AC于点H，
∴∠GEH+∠GAH＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠CAF+∠GAH＝180°，
∴∠GEH＝∠CAF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴EG＝EH，
在△EFG和△ECH中，
，
∴△EFG≌△ECH（AAS），
∴∠GEF＝∠HEC，
∴∠GEH＝∠GEF+∠FEH＝∠HEC+∠FEH＝∠CEF，
∴∠CAF＝∠CEF．
（2）证明：作EG⊥AB于点G，EH⊥AC于点H，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴EG＝EH，
在Rt△EFG和Rt△ECH中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△ECH（HL），
∴∠F＝∠ACE．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的8×5网格，已知点A，B，C均为格点，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）：
（1）图中△ABC的面积为 7.5 ；
（2）在图1中作出△ABC的高BD；
（3）在图2中的BC边上找一点E，使∠CAE＝45°；
（4）在（3）的条件下，已知AB＝5，使BF＝BE．
【分析】（1）由三角形面积公式可得答案；
（2）取格点G，连接BG并延长交AC于D，线段BD即为所求；
（3））取格点N，连接AN并延长交BC于E，点E即为所求；
（4）延长CN交AB于F，点F即为所求．
【解答】解：（1）由图可知，S△ABC＝×4×3＝7.5，
故答案为：7.5；
（2）取格点G，连接BG并延长交AC于D，如图5：
理由：△ACM≌△BGH可得∠ACM＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CBG＝90°，
∴∠ACM+∠CBG＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴BD是△ABC的高；
（3）取格点N，连接AN并延长交BC于E，如图3，
理由：由图知△ANC是等腰直角三角形，
∴∠CAN＝45°，即∠CAE＝45°；
（4）延长CN交AB于F，点F即为所求，
理由：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠NAC＝∠NCA＝45°，
∴∠BAE＝∠BCF，
∵∠B＝∠B，AB＝AC，
∴△BAE≌△BCF（ASA），
∴BE＝BF．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征．
22．（10分）已知△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，E为线段BD的中点，F为线段CD的垂直平分线上一点
（1）如图1，若点B，D，F在同一条直线上，
①求证：点A在线段CD的垂直平分线上；
②请直接写出∠EDC的度数．
（2）如图2，若点B，D，F不在同一条直线上，先画出△AEF关于EF对称的图形，再求∠DFC的度数．
【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD＝AC，可得结论；
②由等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB，∠ACD＝∠ADC，由四边形内角和定理可求解；
（2）由“SAS”可证△AEB≌△HED，可得HD＝AB，∠BAE＝∠DHE，由“SAS”可证△AEB≌△HED，可得HD＝AB，∠BAE＝∠DHE，由角的数量关系可求解．
【解答】（1）证明：①如图，连接AD，
∵∠AEF＝90°，点E是BD的中点，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AD＝AC，
∴点A在CD的垂直平分线上；
②解：∵AB＝AD＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB，∠ACD＝∠ADC，
∵∠BAC+∠ABD+∠ADB+∠ADC+∠ACD＝360°，
∴∠ADB+∠ADC＝130°；
（2）如图，作△AEF关于EF的对称图形△HEF，
∵△AEF关于EF对称图形为△HEF，，
∴AE＝EH，∠AEF＝∠HEF＝90°，∠EAF＝∠EHF，
∴∠HED＝90°+∠DEF，∠AED＝90°﹣∠DEF，
∴∠AEB＝90°+∠DEF，
∴∠AEB＝∠HED，
又∵BE＝DE，AE＝HE，
∴△AEB≌△HED（SAS），
∴HD＝AB，∠BAE＝∠DHE，
∴AB＝AC＝HD，
又∵CF＝DF，AF＝HF，
∴△ACF≌△BDF（SSS），
∴∠AFC＝∠HFD，∠CAF＝∠DBF，
∴∠BAE+∠CAF＝∠EHF＝∠EAF，∠DFC＝∠AFH，
∴∠FAE＝50°＝∠EHF，
又∵EF⊥AE，
∴∠AFE＝∠HFE＝40°，
∴∠FAH＝80°＝∠DFC．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（10分）在△ABC中，点D，E分别为BC
（1）如图1，连接BE，点F在BE上，求证：∠BAF＝∠EBC；
（2）在（1）的条件下，若BD＝BA，求证：∠DEC+2∠BED＝180°；
（3）如图2，∠BAC＝90°，∠C＝30°，则当AD+BE的值最小时，∠BEC与∠BAD之间的数量关系为 ∠BEC＝∠BAD+60° ．
【分析】（1）由外角的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△BGD≌△AFB，可得∠BGD＝∠AFB，DG＝BF，可证AF＝EF，GE＝DG，由等腰三角形的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△BCE≌△HBD，可得BE＝DH，∠BEC＝∠BDH，则AD+BE＝AD+DH，当点A，点D，点H三点共线时，AD+DH有最小值，即AD+BE有最小值，
【解答】（1）证明：∵∠AFE 是△ABF的外角，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF，
又∵∠ABD＝∠ABF+∠EBC，∠AFE＝∠ABD，
∴∠BAF＝∠EBC；
（2）证明：如图1，在BE上截取BG＝AF，
在△BGD和△AFB中，
，
∴△BGD≌△AFB（SAS），
∴∠BGD＝∠AFB，DG＝BF，
∵BG＝AF，FA＝FE，
∴BG＝FE，
∴BG﹣GF＝FE﹣GF，
∴BF＝GE，
∴DG＝GE，
∴∠GDE＝∠GED，
∴∠BGD＝∠GDE+∠GED＝2∠GED，
∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴∠AFB＝∠FAE+∠FEA＝6∠FEA，
又∵∠AFB＝∠BGD，
∴∠FEA＝∠GED，
∴∠DEC+∠AEF+∠GED＝∠DEC+2∠BED＝180°；
（3）解：过点B作BH∥AC，且BH＝AC，
∴∠ACB＝∠DBH，
又∵BD＝CE，
∴△BCE≌△HBD（SAS），
∴BE＝DH，∠BEC＝∠BDH，
∴AD+BE＝AD+DH，
∴当点A，点D，AD+DH有最小值，
∴∠BDH＝∠BAD+∠ABC＝∠BAD+60°，
∴∠BEC＝∠BAD+60°，
故答案为：∠BEC＝∠BAD+60°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，以AB为腰作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图2，点B在x轴负半轴上，AC交x轴于点D，且点C的纵坐标是﹣3，求线段BD的长；
（3）如图3，点B在x轴正半轴上，以BC为边在BC左侧作等边△BCE，CO，若∠COE＝60°，求△AOC的面积．
【分析】（1）作CG⊥x轴于点G，则OC＝GC＝2，可证明△AOB≌△GCA，则OA＝GC＝2，所以OB＝GA＝4，则A（0，2），B（﹣4，0）；
（2）作CL⊥x轴交BA的延长线于点H，可证明△HBL≌△CBL，则HL＝CL＝3，所以CH＝6，再证明△BAD≌△CAH，得BD＝CH＝6；
（3）在OC上截取OF＝OE，连接EF，设OC交BE于点P，则△EOF是等边三角形，可证明△OEB≌△FEC，得∠OBE＝∠FCE，则∠BOC＝∠BPC﹣∠OBE＝∠BPC﹣∠FCE＝∠BEC＝60°，所以∠AOC＝30°，作CK⊥y轴于点K，则CK＝OC＝4，再证明△CKA≌△AOB，得CK＝AO＝4，即可求得S△AOC＝AO•CK＝8．
【解答】解：（1）A（0，2），4），
理由：如图1，作CG⊥x轴于点G，
∵C（2，﹣5），
∴OC＝GC＝2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OBA＝∠GAC＝90°﹣∠BAG，
在△AOB和△GCA中，
，
∴△AOB≌△GCA（AAS），
∴OA＝GC＝2，
∴OB＝GA＝3+2＝4，
∴A（4，2），0）．
（2）如图8，作CL⊥x轴交BA的延长线于点H，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBL＝∠CBL，
在△HBL和△CBL中，
，
∴△HBL≌△CBL（ASA），
∵点C的纵坐标是﹣3，
∴HL＝CL＝3，
∴CH＝HL+CL＝5+3＝6，
∵∠BAC＝∠BLH＝90°，
∴∠BAD＝∠CAH＝90°，∠ABD＝∠ACH＝90°﹣∠H，
在△BAD和△CAH中，
，
∴△BAD≌△CAH（ASA），
∴BD＝CH＝6，
∴线段BD的长为6．
（3）如图3，在OC上截取OF＝OE，设OC交BE于点P，
∵∠COE＝60°，
∴△EOF是等边三角形，
∴OE＝FE，∠OEF＝60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠BEC＝60°，
∴∠OEB＝∠FEC＝60°﹣∠BEF，
在△OEB和△FEC中，
，
∴△OEB≌△FEC（SAS），
∴∠OBE＝∠FCE，
∴∠BOC＝∠BPC﹣∠OBE＝∠BPC﹣∠FCE＝∠BEC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
作CK⊥y轴于点K，则∠CKA＝∠AOB＝∠BAC＝90°，
∴CK＝OC＝，∠KAC＝∠OBA＝90°﹣∠OAB，
在△CKA和△AOB中，
，
∴△CKA≌△AOB（AAS），
∴CK＝AO＝4，
∴S△AOC＝AO•CK＝，
∴△AOC的面积是5．
【点评】此题重点考查图形与坐标、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．