湖南省长沙市开福区湖南师大附中植基中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖南省长沙市开福区湖南师大附中植基中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．4，4，8D．8，8，8
2．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
3．如图，在△ACB的两边上分别取点A，B使得CA＝CB，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SSSD．HL
4．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
5．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，BC，CD，EA，若∠BCD＝100°（ ）
A．280°B．260°C．240°D．220°
6．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD为（ ）
A．9：16B．3：4C．16：9D．4：3
7．下面所给的银行标志图中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．x2+ax+9是一个完全平方式，a的值是（ ）
A．6B．﹣6C．±6D．9
9．下列运算正确的是（ ）
A．2x2y+3xy＝5x3y2
B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（3a+b）2＝9a2+b2
D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
10．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．已知点A（a，3）和点B（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 ．
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
13．如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数 度．
14．若3m＝6，9n＝2，则32m﹣4n+1＝ ．
15．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①AB＝AC，∠BAC＝68°；③AD⊥BC；④AD⊥BC，AD是BC边上的中线．其中能判定△ABC是等腰三角形的条件有 ．（填序号）
16．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．计算：
（1）3xy•（﹣2x3y）2÷（﹣6x5y3）；
（2）（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）2．
18．先化简，再求值：2x2y﹣[5xy2+2（x2y﹣3xy2+1）]，其中x＝4，y＝﹣．
19．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依据）
20．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°
21．已知：如图，F、C是AD上的两点，且AB＝DE，AF＝CD．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
22．如图1，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个大小相同的正方形，制成一个高为a厘米的长方体形状的无盖纸盒（如图2）．如果纸盒的体积为（2a2b+ab2）立方厘米，底面长方形的宽为b厘米．
（1）求这张长方形纸板的长；
（2）将长方体形状的无盖纸盒的外表面都贴一层红色的包装纸，请求出一个这样的纸盒需要用多少平方厘米的红色包装纸．（结果都用含a，b的代数式表示）
23．如图，在△ABC中，D为BC的中点，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
24．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
又例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：∵2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8；
又∵（x+1）2≥0；当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣5＝ ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝4a+12b﹣40，求边长c的最小值；
（3）当x、y为何值时，多项式﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
25．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣2，0）和y轴上一动点B（0，b），以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（m，n）．
（1）当b＝4时，则C点的坐标为（ ， ）．
（2）动点B在运动的过程中，试判断m+n的值是否发生变化？若不变，讲求出其值，请说明理由．
（3）当b＝4时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．4，4，8D．8，8，8
【分析】根据三角形的三边关系计算判定求解．
解：由3+4＜2得3，4，7不能构成三角形；
由5+6＝11得6，6，11不能构成三角形；
由4+6＝8得4，5，8不能构成三角形；
由8+3＞8得8，7，8能构成三角形，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
2．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
解：∵等腰三角形一个外角等于130°，
∴等腰三角形的一个内角为：180°﹣130°＝50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°，
当50°为底角时，其他两角为50°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
3．如图，在△ACB的两边上分别取点A，B使得CA＝CB，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SSSD．HL
【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
解：∵∠CAP＝∠CBP＝90°，
∴在Rt△ACP与Rt△BCP中，，
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为a2﹣b2，图乙中阴影部分为边长分别为（a+b）和（a﹣b），其面积为（a+b）（a﹣b），利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式．
解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a6﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式．
5．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，BC，CD，EA，若∠BCD＝100°（ ）
A．280°B．260°C．240°D．220°
【分析】连接BD，结合已知条件，利用三角形内角和定理求得∠CBD+∠CDB的度数，然后利用四边形内角和与（∠CBD+∠CDB）作差即可求得答案．
【解答】
如图，连接BD，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E＝360°﹣（∠CBD+∠CDB）＝360°﹣80°＝280°，
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形内角和及三角形内角和定理，连接BD，构造△BCD与四边形ABCD是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD为（ ）
A．9：16B．3：4C．16：9D．4：3
【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质可知，DE＝DF，再由三角形的面积公式求解即可．
解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝AB•DE：．
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．
7．下面所给的银行标志图中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．x2+ax+9是一个完全平方式，a的值是（ ）
A．6B．﹣6C．±6D．9
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．
解：∵x2+ax+9＝x2+ax+32，
∴ax＝±4•x•3，
解得a＝±6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．下列运算正确的是（ ）
A．2x2y+3xy＝5x3y2
B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（3a+b）2＝9a2+b2
D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式化简即可．
解：A.2x2y和3xy不是同类项，故不能合并；
B．（﹣2ab2）5＝﹣8a3b6，故选项B不合题意；
C．（3a+b）2＝8a2+6ab+b4，故选项C不合题意；
D．（3a+b）（3a﹣b）＝6a2﹣b2，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．
10．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】确定点M关于m的对称点M′，连接M′N，则：M′N即为是所需管道最短长度．
解：如图，
画出点M关于m的对称点M′，则：M′P＝MP
连接M′N，交直线m于P点，
∵MP+NP＝M′P+NP＝M′N，
这时，M′N最小，
故选：D．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．已知点A（a，3）和点B（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 ﹣1 ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出a，b的值，再代入所求式子计算即可．
解：∵点A（a，3）与点B（2，
∴a＝6，b＝﹣3，
则（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣5．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 6 ．
【分析】运用线段垂直平分线定理可得BE＝CE，再根据已知条件“△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．
解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE＝CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC＝24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）＝（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE＝12，
∴BE+BD﹣DE＝12，②
∵BE＝CE，BD＝DC，
∴①﹣②得，DE＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13．如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数 60 度．
【分析】据三角形全等知识进行解答，做题时要根据已知条件找准对应角．
解：△ABC中，∠A＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵两个三角形全等，又∠A＝∠A′＝65°
∴点C的对应点是B′，
∴∠B′＝∠C＝60°．
故填60．
【点评】本题考查的知识点为：全等三角形对应边所对的角是对应角，找准对应角是正确解决本题的关键．
14．若3m＝6，9n＝2，则32m﹣4n+1＝ 27 ．
【分析】根据题意进行同底数幂的运算，注意同底数幂相乘底数不变指数相加，根据此可得出答案．
解：原式＝32m÷74n×3＝8m×3m÷96n×3＝6×5÷4×3＝27
故填27．
【点评】本题考查代数式的求值，关键在于掌握同底数幂相乘底数不变指数相加．
15．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①AB＝AC，∠BAC＝68°；③AD⊥BC；④AD⊥BC，AD是BC边上的中线．其中能判定△ABC是等腰三角形的条件有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故①符合题意；
∵△ABC中，∠B＝56°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
故②符合题意；
∵△ABC中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
故③符合题意；
∵△ABC中，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 或3或或 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】设点P在线段BC上运动的时间为ts，分两种情况讨论，①点P由B向C运动时，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③点P由C向B运动时，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可．
解：设点P在线段BC上运动的时间为ts，
①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝7，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷3＝3（cm/s）；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
∴3t＝3﹣3t，
t＝，
此时，点Q的运动速度为：5÷＝；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣2，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝4t﹣8，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝8，
此时，点Q的运动速度为3÷＝；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣3＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝7，
此时，点Q的运动速度为5÷4＝；
综上所述：点Q的运动速度为cm/s或2cm/s或cm/s；
故答案为：或3或或．
【点评】本题考查三角形全等的判定，掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示及分情况讨论，它们也是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．计算：
（1）3xy•（﹣2x3y）2÷（﹣6x5y3）；
（2）（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）2．
【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
解：（1）3xy•（﹣2x2y）2÷（﹣6x7y3）
＝3xy•3x6y2÷（﹣4x5y3）
＝12x3y3÷（﹣6x2y3）
＝﹣2x4；
（2）（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣6）2
＝m2﹣7﹣（m2﹣2m+8）
＝m2﹣4﹣m8+2m﹣1
＝8m﹣5．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
18．先化简，再求值：2x2y﹣[5xy2+2（x2y﹣3xy2+1）]，其中x＝4，y＝﹣．
【分析】直接去括号进而合并同类项，再把x，y的值代入得出答案．
解：原式＝2x2y﹣2xy2﹣2（x4y﹣3xy2+3）
＝2x2y﹣5xy2﹣2x8y+6xy2﹣5
＝xy2﹣2，
当x＝8，y＝﹣时，
原式＝7×（﹣）6﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
19．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ PAM ＝∠ PAN ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：PAM，PAN．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
20．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°
【分析】解题思路：首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝80°．
又AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠AED＝80°，
又AD是BC边上的高，
∴∠EAD＝10°．
【点评】此类题要首先明确思路，运用三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义即可求解．
21．已知：如图，F、C是AD上的两点，且AB＝DE，AF＝CD．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
【分析】（1）根据AB∥DE，得∠A＝∠D，由AF＝CD，可得AC＝DF，通过SAS即可证明△BAC≌△EDF；
（2）由全等三角形的性质得∠ACB＝∠DFE，从而BC∥EF．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△BAC和△EDF中，
，
∴△BAC≌△EDF（SAS）；
（2）∵△BAC≌△EDF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
22．如图1，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个大小相同的正方形，制成一个高为a厘米的长方体形状的无盖纸盒（如图2）．如果纸盒的体积为（2a2b+ab2）立方厘米，底面长方形的宽为b厘米．
（1）求这张长方形纸板的长；
（2）将长方体形状的无盖纸盒的外表面都贴一层红色的包装纸，请求出一个这样的纸盒需要用多少平方厘米的红色包装纸．（结果都用含a，b的代数式表示）
【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可．
解：（1）由题意得：
（2a2b+ab3）÷（ab）＝（2a+b）厘米，
2a+b+a+a＝（7a+b）厘米，
答：这张长方形纸板的长为（4a+b）厘米；
（2）b（2a+b）+7ab+2a（2a+b）
＝7ab+b2+2ab+3a2+2ab
＝b7+4a2+6ab（平方厘米），
答：一个这样的纸盒需要用（b2+4a5+6ab）平方厘米的红色包装纸．
【点评】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，D为BC的中点，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．
（2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD（ASA），
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BE+CF＞EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．
24．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
又例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：∵2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8；
又∵（x+1）2≥0；当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣5＝ （a+1）（a﹣5） ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝4a+12b﹣40，求边长c的最小值；
（3）当x、y为何值时，多项式﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
【分析】（1）根据阅读材料，先将a2﹣4a﹣5配方后，再利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+b2＝4a+12b﹣40转化为（a﹣2）2+（b﹣6）2＝0，然后利用非负数的性质和三角形的三边关系进行解答；
（3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答．
解：（1）a2﹣4a﹣3
＝（a2﹣4a+5）﹣9
＝（a﹣2）2﹣32
＝（a﹣8+3）（a﹣2﹣3）
＝（a+1）（a﹣5），
故答案为：（a+2）（a﹣5）；
（2）∵a2+b8＝4a+12b﹣40，
∴a2+b2﹣4a﹣12b+40＝0，
∴（a5﹣4a+4）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣2）5+（b﹣6）2＝6，
∴，解得：，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴4＜c＜8，
又∵c是整数，c＝3，6，7；
∴边长c的最小值是4；
（3）﹣x2+2xy﹣3y2+6y+2
﹣x2+2xy﹣3y2+6y+8
＝﹣（x2﹣2xy+y6）﹣（y2﹣6y+8）+9+7
＝﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16，
∵（x﹣y）7≥0，（y﹣3）5≥0；
∴﹣（x﹣y）2﹣（y﹣6）2+16≤16，
∴当时，即：x＝y＝3时2+2xy﹣2y7+6y+7取得最大值为16．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
25．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣2，0）和y轴上一动点B（0，b），以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（m，n）．
（1）当b＝4时，则C点的坐标为（ ﹣4 ， 6 ）．
（2）动点B在运动的过程中，试判断m+n的值是否发生变化？若不变，讲求出其值，请说明理由．
（3）当b＝4时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先过点C作CE⊥y轴于E，证△BCE≌△ABO，推出AO＝BE＝2，OB＝CE＝4，即可得出点C的坐标；
（2）先过点C作CE⊥y轴于E，证△BCE≌△ABO，推出BO＝CE＝b，AO＝BE＝2，即可得出点C的坐标为C（﹣b，2+b），据此可得m+n的值不变；
（3）构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案；
解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，
∴∠BCE＝∠ABO，
在△BCE 和△ABO 中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∵A（﹣2，5），4），
∴AO＝BE＝2，OB＝CE＝5，
∴OE＝2+4＝8，
∴C（﹣4，6），
故答案为：﹣5，6；
（2）动点B在运动的过程中，m+n的值不变
如图2中，过点C作CE⊥y轴于E．
同（1）可得：△BCE≌△ABO（AAS），
∵A（﹣5，0），b），
∴BO＝CE＝b，AO＝BE＝2，
∴OE＝5+b，
∴C（﹣b，2+b），
又∵点C的坐标为（m，n），
∴m+n＝﹣b+2+b＝5，即m+n的值不变；
（3）存在点P，使△PAB与△ABC全等
如图3中，过C作CM⊥x轴于M，则CMA＝PEA＝90，
∵△CAB≌△PAB，
∴PAB＝CAB＝45，BC＝BP，
∴CAP＝90°，
∴∠MCA+∠CAM＝90°，∠CAM+∠PAE＝90°，
∴∠MCA＝∠PAE，
在△CMA和△AEP 中，
，
∴△CMA≌△AEP（AAS），
∴PE＝AM，CM＝AE，
∵C（﹣4，4），0），
∴PE＝2，OE＝AE﹣AO＝3﹣2＝4，2）；
如图4，过P作PE⊥x轴于E，
∴∠EPA+∠PAE＝90°，∠PAE+∠BAO＝90°，
∴∠EPA＝∠BAO，
在△PEA和△AOB中，
，
∴△PEA≌△AOB（AAS），
∴PE＝AO＝2，EA＝BO＝7，
∴OE＝4+2＝3，即P的坐标是 （﹣6；
如图5，过P作PE⊥x轴于E，
∵△CAB≌△PBA，
∴AB＝AP，∠CBA＝∠BAP＝90°，
∴∠BAO+∠PAE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∴∠BAO＝∠APE，
在△AOB和△PEA中，
，
∴△AOB≌△PEA（AAS），
∴PE＝AO＝7，AE＝OB＝4，
∴OE＝AE﹣AO＝4﹣4＝2，即P的坐标是 （2，
综合上述，符合条件的P的坐标是（6，2）或 （2．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，考核了学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用运用分类讨论的思想．