2024届天津市滨海新区塘沽第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届天津市滨海新区塘沽第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合A，B，利用交集的概念计算即可.
【详解】由题意可得，，
即.
故选：B
2．设是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性以及充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】若，则，
若，则，即，当时，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用换底公式，结合对数函数、指数函数、幂函数的单调性进行判断即可
【详解】由在上单调递减，
在单调递增，
.
故选：A
4．如图，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）

A．样本相关系数r变小
B．残差平方和变大
C．决定系数变大
D．解释变量x与响应变量 y的相关性变弱
【答案】C
【分析】根据题意，结合散点图与相关系数，残差平方和以及决定系数的定义，即可得到结果.
【详解】由散点图可知，去掉点后，与的相关性变强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小.
故选：C
5．函数的大致图象为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由及函数在特殊点处的导数的符号可得出正确选项．
【详解】解：由，可排除A、D；
当时，，
，
当时，令，，
故为减函数，则，故，
所以即，故排除C，选B．
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的性质确定函数图象，属于基础题．
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．的最小正周期为
D．若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象
【答案】D
【分析】利用代入检验法判断AB；直接求最小正周期判断C；利用三角函数的变换性质判断D.
【详解】因为，
所以，，故AB错误；
显然的最小正周期为，故C错误．
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确．
故选：D.
7．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由题可以算出圆心到双曲线其中一条渐近线的距离，设出渐近线方程再结合点到直线之间的距离公式即可列出方程解出，进一步即可求出离心率.
【详解】一方面：设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，
又根据题意有，因此根据垂径定理可得，
另一方面：不妨设渐近线方程为（其中），又圆的圆心坐标为圆，
因此根据点到直线之间的距离公式有圆.
结合以上两方面有，解得，又，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
8．如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面，由两个部分组成，上部分近似为圆锥，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分上部分为圆锥，利用其侧面积公式求出其侧面积；下部分为圆柱，利用其侧面积公式求出其侧面积，最后得到正面外表面面积.
【详解】根据题意，上部分圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
下部分圆柱的侧面积为，
所以该整流罩的外表面的面积约为．
故选：B.
9．函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得为方程的一个根，则当时，直线与函数仅有一个交点，作出的图象，结合图象求解即可.
【详解】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，
当时，由，得，
由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取到最大值，
当时，，
作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点，则
，或，或
故选：A
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数与导数的综合问题，解题的关键是根据函数解析式画出函数图象，结合图象可求得结果，考查数形结合的思想，属于较难题.
二、填空题
10．已知是虚数单位，若复数满足，则 .
【答案】
【分析】先根据复数的除法算出，然后用模长公式进行求解.
【详解】由题意，，于是.
故答案为：
11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为
【答案】
【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
12．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
三、双空题
13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ．
【答案】
【分析】根据独立事件的乘法公式即可求解第一空，根据全概率公式即可求解第二空.
【详解】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为
记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，，
由全概率公式可得，
故答案为：
14．已知向量，，，若，则 ；若与的夹角为钝角，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求得的坐标，再由共线向量的性质求解；由夹角为钝角可得且满足，求解即可.
【详解】由题，，
若，所以，则；
若与的夹角为钝角，则且，
所以且，即，
故答案为：；
四、填空题
15．已知函数，若不等式恒成立，则a的最小值为 .
【答案】/
【分析】变形给定函数，构造函数，探讨函数的性质，再脱去给定不等式中的法则“f”，构造函数并借助导数求解恒成立的不等式作答.
【详解】依题意，，
，在R上单调递增，
且，为奇函数，
，
令，求导得，函数在上单调递增，
当时，有，于是，当时，显然成立，
因此，即，令，求导得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此当时，，则，而，有，
所以a的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
五、解答题
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，，求a，c；
(3)若，求.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得结合三角形内角性质求；
（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a，c；
（3）由题设及（1）得，注意为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系得：，
显然，则，又，故；
（2）由，则①，
由（1）得：②，
由①②得：，；
（3）由正弦定理得：，则，
∵，即，则，故A为锐角，
∴，
∴，，
∴.
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间、最值．
(3)设在上有两个零点，求的范围.
【答案】(1)；
(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为，最小值为；
(3).
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）由求出增区间，由求出减区间，再根据单调性求出最值即可；
（3）根据函数的性质结合条件即可求出的范围.
【详解】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.
所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.
所以，又，，
所以.
（3）在上有两个零点，即有两个不等根，
由（2）知.
18．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，，连接，即可得到，从而得证；
（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】（1）证明：连接，，连接，
在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面．
平面．
（2）解：，，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）解：设到平面的距离为，则；
19．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)若，求函数的值域．
【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为，；
(2).
【分析】（1）先把表达式化为正弦型函数，再利用求出最小正周期；利用整体代换求出单调递增区间；
（2）根据，求出，进而得到的取值范围即可.
【详解】（1），
所以的最小正周期为；
由，得，，
所以的单调增区间为，.
（2）因为，所以，所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，故函数的值域.
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明当时；
(3)若有两个零点，，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性；
（2）依题意即证，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证；
（3）首先结合（1）的结果，结合，将不等式转化为，再构造函数，利用导数证明不等式，再根据，结合函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）函数定义域为且，
当时，，恒成立，
此时在区间单调递增，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间单调递增，
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）当时，
要证，即证，
令，，
则，
令，，
则，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，即当时恒成立，
所以，
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以当时即，当时即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，得证.
（3）若有两个零点，，
由（1）知时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
且当时，，当时，，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以只需证明，即有，
下面证明，
设，
，
设，则，
令，解得：，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以，则在区间上单调递增，
又因为，所以，
即，
因为，所以，
而，，在上单调递减，
所以，即，命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性，以及双变量问题，不等式恒成立问题，第三问的关键是判断，不等式转化为证明，再通过构造函数即可求解.