2023-2024学年广东省广州市天河区骏景中学九年级上学期数学期中考试卷

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注：解答题答案仅供参考，有不同做法的请根据实际酌情给分。
17.解：x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0， …… 2分
可得x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1． …… 4分
旋转
∠A’=∠A＝45°,∠A’CA=45°， …… 1分
∠＝100°
∠ CA’=180°-- ∠ --∠A’ =35°…… 3分

∠ CA’=∠ CA’ +∠A’CA=80° …… 4分

19.解：（1）．…… 2分
…… 5分
（2）如图，△A1B1C即为所求，A1（﹣3，﹣2）…… 6分
20.解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x． …… 1分
可列方程：1000（1+x）2＝1210． …… 2分
解方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． …… 3分
所以每年绿化面积的平均增长率为10%． …… 4分
（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．…… 5分
答：2024年的绿化面积是1331万平方米． …… 6分
（1）设解析式为 …… 1分
∵y1＝ax2﹣2x+c
∴
∴ …… 3分
∴ …… 4分（用待定系数法列方程组可得2分，解对1分，答1分）
x>4 或x<-1 (前面那个3分，后面这个1分，只写一个就按各分给)…… 8分
22.
解：（1）∵关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5≥0，…3分（每个等号或不等号对给1分）
解得m≥﹣； …… 4分
（2）∵x＝0是方程的一个根，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1， …… 5分
此时原方程为x2+3x＝0或x2﹣x＝0． …… 7分
设方程的另一个根为t，
对于方程x2+3x＝0有0+t＝﹣3，解得t＝﹣3； …… 8分
对于方程x2﹣x＝0有0+t＝1，解得t＝1； …… 9分
∴方程的另一个根为x＝﹣3或x＝1． …… 10分（少一种情况扣3分）
23.解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9）， …… 1分
∴﹣＝﹣1，＝1或9，
解得m＝﹣2，n＝0或8， …… 2分
∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8； …… 4分（少一种情况扣2分）
（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2＝5x+10． …… 7分
②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2＝x+． …… 10分
24.（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
由旋转可得：∠BAQ＝∠DAE， …… 1分
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，…… 2分
∵∠BAQ＝∠DAE，
∴∠BAQ+∠BAF＝45°，
即∠QAF＝∠EAF，
∴FA平分∠QAE． …… 3分
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴AB＝AD，BQ＝DE，∠ABQ＝∠D＝90°， …… 4分
∴∠ABQ+∠ABF＝90°+90°＝180°，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵AQ＝AE，∠QAF＝∠EAF，AF＝AF，
∴△QAF≌△EAF（SAS）， …… 6分
∴QF＝EF，
∴EF＝BF+DE； …… 7分
（3）解：BH、HG、GD三条线段间的数量关系为HG2＝GD2+BH2．
证明：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝∠ADG＝45°．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM．连接GM．
∴△ABH≌△ADM，
∴DM＝BH，AM＝AH，∠ADM＝∠ABH＝45°，∠DAM＝∠BAH．
∴∠ADB+∠ADM＝45°+45°＝90°，
即∠GDM＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAH+∠DAG＝45°，
∴∠DAM+∠DAE＝45°，
即∠MAG＝45°，
∴∠MAG＝∠HAG．
在△AHG和△AMG中，
，
∴△AHG≌△AMG（SAS），
∴MG＝HG．
∵∠GDM＝90°，
∴MG2＝GD2+DM2， …… 12分
25.解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），
∴， …… 1分
∴b＝﹣2a﹣1（a＞0）． …… 3分
（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+，a＞0，在1≤x≤4时，y的最大值为2，
①当，即时，…… 4分
则有当x＝1时，y＝2
∴2＝a﹣（2a+1）+
解得a＝﹣（舍弃） …… 5分
②当，即时，
则有x＝4时，y＝2，
即2＝16a﹣4（2a+1）+，得a＝． …… 6分
∴a＝． …… 7分
（3）∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，
∴A′（2，），B′（4，﹣），
∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x+，
∵抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x++4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点，
∴即方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+在2≤x≤4的范围内仅有一个根，
整理得ax2﹣2ax+4a﹣3＝0在2≤x≤4的范围内只有一个解，
即抛物线y＝ax2﹣2ax+4a﹣3在2≤x≤4的范围内与x轴只有一个交点，
观察图象可知，x＝2时，y≤0，x＝4时，y≥0，
∴，
解得，≤a≤，
∴≤a≤．
当方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+有等根时，Δ＝0，
∴ax2﹣2ax+4a﹣3＝0，
∴4a2﹣4a（4a﹣3）＝0，
解得a＝1或0（舍弃），
当a＝1时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
∴≤a≤． …… 12分
分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
D
B
C
D
A
C
题号
11
12
13
14
15
16
答案
2
（-3，-4）
4
18