2024届广东省佛山市顺德区容山中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届广东省佛山市顺德区容山中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】跟据补集的定义做题即可.
【详解】解：因为全集，集合,
所以或.
故选：D
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知，利用复数的除法，求出，得到，可知的虚部.
【详解】复数满足，则，
所以，的虚部为.
故选：A
3．设，.若是与的等比中项，则的最小值（ ）
A．2B．4C．D．8
【答案】B
【分析】是与的等比中项，可得．利用及其基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：是与的等比中项，
，
．
，．
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．已知数列满足．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逐项计算找到数列的周期即可.
【详解】由题意，，，，，…
故数列周期为4，则.
故选：B
5．已知，且，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】切化弦后交叉相乘，由两角和的余弦公式变形后，结合诱导公式得值，从而可得结论．
【详解】由题意，∴，
，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴．
故选：A．
6．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

7．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
8．已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出函数的图象，由图像可确定，，，由此可将所求式子转化为，根据二次函数单调性求得取值范围．
【详解】函数的图象如图所示：



又
设
当时，单调递增
，又，
的取值范围是
本题正确选项：
【点睛】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
二、多选题
9．已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．是递减数列B．是等比数列
C．D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用作差法判断即可；对于BCD，利用与的关系求得，从而对选项逐一分析检验即可.
【详解】对于A，因为，所以，
故，则，
所以是递减数列，故A正确；
对于B，当时，，
当时，，
经检验，满足，
所以，
故当时，，所以是等比数列，故B正确；
对于C，由选项B知，故C正确；
对于D，因为，，
所以，故D错误.
故选：ABC.
10．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为97.5
D．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
【答案】BC
【分析】根据二项分布的期望公式，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断B；根据百分位数的定义，判断C，根据相关系数的定义，即可判断D.
【详解】对于A，随机变量,则,
故,故A错误；
对于B,∵随机变量,,
∴；故B正确；
对于C,先把原数据从小到大排列：90,92,92,93,93,94,95,96,99,100,,第80百分位数为,故C正确；
对于D,样本相关系数人的范围在-1和1之间,有正有负,相关有正相关和负相关,
相关系数的绝对值的大小越接近1,两个变量的线性相关性越强,反之,线性相关性越弱,故D错误；
故选：BC
11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．，
C．在区间上恰好有三个零点
D．若锐角满足，则
【答案】ACD
【分析】利用三角函数的图象变换求得的解析式，再根据余弦函数的图象性质求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
对A，，
所以的图象关于点对称，A正确；
对B，，B错误；
对C，，
所以当时，，
所以在区间上恰好有三个零点，C正确；
对D，，
所以，
因为，所以，解得，
所以，D正确；
故选:ACD.
12．在正方体中，点在线段上，且，动点在线段上（含端点），则下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若直线平面，则
C．不存在点使平面平面
D．存在点使直线与平面所成角为
【答案】AB
【分析】选项A连接，设正方体的棱长为，说明平面，可说明点到平面的高度为定值，为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C，当处于处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点使直线与平面所成角为，根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.
【详解】选项A，连接，如图所示：设正方体的棱长为，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
即平面
所以直线上的所有点到平面的距离都相等都等于正方体的棱长为定值，
所以点到平面的高度为，
由为定值，
所以为定值，
故A正确，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，设正方体的棱长为1，
因为点在线段上，且，所以在线段的中点，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，
令，则，
所以平面的法向量为，
由，设，
所以，又，
所以，
所以，
所以，所以
直线平面，所以 ，
即，
解得，，故B选项正确，
当处于点时，平面即为平面，
而在正方体中平面平面，
故存在点，使得平面平面，
故C错误，
由B选项知，由平面,
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
由线面角的性质有：
，
假设存在点使直线与平面所成角为，
则，
即，
因为，无实数解，
所以不存在点使直线与平面所成角为，
故D选项不正确，
故选：AB.
三、填空题
13．在的二项展开式中，第项的系数为 ．
【答案】
【分析】将代入展开式通项公式即可确定第项的系数.
【详解】展开式通项公式为：，
第项的系数为.
故答案为：.
14．已知，函数是奇函数，那么 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】因为为奇函数，则，
即，即，所以，解得.
故答案为：
15．直线被圆截得的弦长为2，则实数的值是 ．
【答案】
【详解】圆=,则圆心(a,0),半径为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为,即=,则.
故答案为-2
16．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，以为基底，将分别用表示，再结合数量积的运算律把用表示，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，
设，
则
，
，
则
，
对于，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以为基底，将分别用表示，是解决本题的关键.
四、解答题
17．已知中，角所对的边分别为，且，外接圆的半径为.
(1)求A的值；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式和正弦定理边化角结合两角和的正弦公式即可求得，即得答案；
（2）根据三角形外接圆半径和角A可求得a，再利用余弦定理求得，即可求得答案.
【详解】（1）依题意由，可得，
由正弦定理得，则，
故，而，
故，则，
而，故.
（2）因为外接圆的半径为，即，，
故由正弦定理，得，
又，解得，
由余弦定理，，得，
又，故，则，
则的周长为.
18．在直三棱柱中，、、、分别为中点，.
（1）求证：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）取中点，连接，根据直棱柱的特征，易知，再由、分别为的中点，根据中位线定理，可得，得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则．，再分别求得平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量公式
求解.
【详解】（1）证明：如图所示：
取中点，连接，易知，
、分别为的中点，∴，
∴．
故四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
平面．
（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示：
则．
∴，
设平面的法向量为，
则，
即，取，得，
易知平面的一个法向量为，
∴，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和面面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．已知数列满足，且≥
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1)见解析;(2).
【详解】分析：（1）两边同时除以，构造的递推表达式，求解通项公式．
（2）用裂项相消法求解．
详解：（1）∵ ∴
∴， 即
∴数列是等差数列，首项，公差为1.
∴
∴
(2)由（1），==
∴数列的前项和=
=+++++
=
点睛：，两边同时除以，构造新数列，化简为数列的递推表达式，推出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式．求分式结构，数列为等差数列的前项和，用裂项相消．
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程：
(2)动直线：与椭圆相切，点，是直线上的两点，且，，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程可得到，，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，消去，得到的二次方程，运用直线与椭圆相切的条件求出，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式即可得到所求值.
【详解】（1）由题意可得，，
将点代入椭圆方程得，解得，，，
椭圆方程为；
（2）由可得，
直线与椭圆相切，
，
解得，
由对称性可取直线，
焦点，
，，，
四边形的面积为.
21．已知．
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）对，有恒成立，求的最大整数解．
【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．
【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；
（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；
【详解】解：（1）
所以定义域为
，
；，
所以切线方程为，即；
，又，
令解得，令解得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）等价于；
，
记，，所以为上的递增函数，
且，，所以，使得
即，
所以在上递减，在上递增，
且；
所以的最大整数解为.
22．湘潭是伟人故里， 生态宜居之城， 市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度， 随机抽取了 120 位市民进行调查， 其结果如下: 回答 “满意” 的 “工薪族”人数是 40 人， 回答 “不满意” 的“工薪族”人数是 30 人， 回答“满意”的“非工薪族”人数是 40 人， 回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是 10 人．
(1)请根据以上数据填写下面 列联表， 并依据 的独立性检验， 分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?
(2)用上述调查所得到的满意度频率估计概率， 机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定: 抽样的次数不超过， 若随机抽取的市民属于不满意群体， 则抽样结束; 若随机抽取的市民属于满意群体， 则继续抽样， 直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.记此时抽样次数为 ．
(i) 若 ， 求 的分布列和数学期望;
(ii) 请写出 的数学期望的表达式 （不需证明）， 根据你的理解说明 的数学期望的实际意义．
附:
参考公式: ， 其中 ．
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)(i) 分布列见解析，数学期望为；(ii)答案见解析
【分析】（1）根据题意，补全分布列，根据公式计算出的值即可得到答案；
（2）利用独立事件的乘法公式计算概率即可得到分布列，既而得到的数学期望.
【详解】（1）由题意可知
．
根据的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0．01；
（2）(i)当时，的取值为1，2，3，4，5．
由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，
所以，
．
所以的分布列为
所以；
(ii)由①得
令，①
所以②
①-②得
所以
当n趋向于正无穷大时趋向于3，可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不满意的市民．
满意
不满意
合计
工薪族
非工薪族
合计
0．050
0．010
0．005
3．841
6．635
7．879
满意
不满意
合计
工薪族
40
30
70
非工薪族
40
10
50
合计
80
40
120
1
2
3
4
5
P