2024届黑龙江省大庆市东风中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省大庆市东风中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先求出集合，根据补集运算，即可求出.
【详解】由 得： ，又，所以 ，因此 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．
故选：B．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
4．函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当时得出答案．
【详解】设，，
由，得为奇函数，故B,D错误；
由，故A正确，C错误，
故选：A．
5．已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再换元，应用给定范围求二次函数最值即可.
【详解】,
,对称轴为,应用二次函数的对称性可知，
当时,
则的最大值为.
故选：C.
6．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
7．函数在处取得极值0，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据极值点的意义，列式求解即可.
【详解】，
所以，解得，
经检验，满足题意，
所以.
故选：A
8．设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造，求得导数，判断的单调性，结合的奇偶性，可得所求结论.
【详解】设，则，
可得在上递增，又为偶函数，
则，，
，，
由，可得，
即有.
故选：B.
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
二、多选题
9．下列命题中真命题的有（ ）
A．若a，b，，且，则B．若，则的最小值为2
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据不等式性质以及基本不等式取等的条件以及举反例即可得.
【详解】对于选项A，则，因此不等式两边同时除以，即可得，因此选项A正确；
对于选项B，，当且仅当时，等号成立，但此时无解，因此最小值不为2，所以选项B错误；
对于选项C，，而，，因此选项C正确；
对于选项D，当时，，因此选项D错误.
故选：AC
10．下列求导运算错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】A选项，利用基本初等函数求导公式直接求解；B选项，利用复合函数求导法则计算；C选项，利用求导除法法则计算；D选项，利用求导乘法法则计算.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：BD
11．设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．在上的最小值为0
【答案】ABC
【分析】AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值.
【详解】当时，，所以的图象关于点对称，A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，，在上单调递减，故C正确；
当时，，在上的最小值为，D错误.
故选：ABC
12．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为1
B．函数在上单调递增
C．当时，函数的最大值为
D．当时，方程恰有3个不等实根
【答案】AC
【分析】求导得，分析的单调性，进而可得极大值、极小值与最值，即可判断ABC是否正确；作出的图象，结合图象即可判断D是否正确.
【详解】对于AB：
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，
的极小值为，故A正确，B错误；
对于C：
由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，
且，，
故函数的最大值为，故C正确；
对于D：
当时，，时，，
且的极大值为，的极小值为，
由上述分析可知，的图象为：
由图象可得当或时，有1个实数根，
当或时，有2个实数根，
当时，有3个实数根，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】
【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
14．已知角的终边过点，则 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及三角函数的定义求得正确答案.
【详解】有角的终边过点，所以，
.
故答案为：
15．设函数 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
16．函数的所有零点之和为 ．
【答案】9
【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故答案为：9
四、解答题
17．设函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求函数的最大值及此时的值．
【答案】(1)；；
(2)最大值为，此时．
【分析】（1）根据两角差的余弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式和单调增区间进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）
所以的最小正周期为，
由，
所以函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以当时，即当时，函数有最大值.
18．在数列中，，.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；；
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列的通项公式化简，可得数列的通项公式；
（2）由分组求和法化简求解即可．
【详解】（1），
当时，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，；
（2）
数列的前项和
．
19．某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．

(1)请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．
附：，其中．
【答案】(1)列联表见解析；成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得的值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，求得抽取的10人中合格有人，优秀的为人，得到服从超几何分布，得出的可能值，求得相应的概率，列出分布列.
【详解】（1）解：根据题意，得到列联表
零假设：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关，
可得．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以的把握认为成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联.
（2）解：根据频率分布直方图，可得大于600分的频率为，
小于600分的频率为，
所以由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人，
则从这10人中随机抽取5人，优秀人数服从超几何分布，
由题意的可能值为0，1，2，3
可得，，，
所以随机变量分布列为
20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）由（1）中信息，以点A作原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.
【详解】（1）在四边形中，，取中点，连接，
由，得，则四边形是平行四边形，又，
因此是矩形，即有，有，，
从而，即，而平面，平面，则，
又平面，于是平面，而平面，
所以.

（2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
依题意，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设平面的一个法向量，则，令，得，
因此，显然二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
21．已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.
(1)求抛物线T的方程；
(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点到准线的距离可得，即可得解；
（2）可设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得，再根据求得，即可得解.
【详解】（1）解：因为点F到其准线l的距离为4，
所以，
所以抛物线T的方程为；
（2）解：若直线的斜率不存在时则与题意不符，
故直线的斜率必存在，不妨设直线的方程为，
将直线和抛物线联立，，
则，
所以直线m的方程为.
22．已知函数．
(1)若在处取得极值，求k的值；
(2)若，当时，判断函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)1个
【分析】（1）若在处取得极值，则，解方程即可得出答案；
（2）对求导，求出的单调性，讨论在，时函数值的正负和最值情况即可得出的零点个数.
【详解】（1），
若函数在处取得极值，则，解得，
所以，
经检验，此时函数在处取得极小值，所以．
（2），定义域为，
，令，显然在上单调递增，
当时，因为，，
所以存在唯一，使得，即，
即，所以．
当时，，故，
当时，，故，
当时，，故，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时，恰有1个零点．
当时，
，
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，即时，，所以，
故当时，无零点，
综上，当时，在上只有1个零点．
【点睛】方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
经常锻炼
不经常锻炼
合计
合格
25
优秀
10
合计
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
经常锻炼
不经常锻炼
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
合计
45
55
100
X
0
1
2
3
P