2024届黑龙江省鸡西市第一中学校高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省鸡西市第一中学校高三上学期10月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，然后利用交集的定义求解.
【详解】，即，得，即，
，
所以．
故选：B．
2．若，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知利用诱导公式求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解．
【详解】由题意，得，
又由为第二象限角，所以，所以．
故选：A.
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义及常见函数的奇偶性与单调性判断即可.
【详解】的定义域是，是奇函数，在定义域上不具有单调性，故A错误；
既不是奇函数也不是偶函数，在上单调递减，故B错误；
的定义域为，∵，∴是奇函数，
∵均为上的减函数，∴在上单调递减，故C正确；
的定义域为，是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.
故选：C.
4．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可
【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；
故选：D
5．在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是
A．9B．10
C．11D．12
【答案】D
【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可知：，
三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值是12.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.
【详解】因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
7．函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正切型函数的对称性分析可得，进而可求得，再代入点，运算求解即可.
【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，
设函数的最小正周期为，则，
由题意可得：，解得，
故，可得，
即，
可知的图象过点，即，
∵，则，
∴，解得.
故选：A.
8．已知函数，若在存在零点，则实数a的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】由题意得，令，，求导，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【详解】令，即，
令，，
而，
令，，
则，即函数在上单调递增，
因为，，即，
所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
所以，
要使在存在零点，则，
所以实数a的最小值为1.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的零点问题常常转化为函数与函数交点问题，结合函数的单调性求解.
二、多选题
9．对于实数a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据不等式的基本性质判断ABC选项，根据作差法判断D选项.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，由，且，所以，故B正确；
对于C，由，可得，故C正确；
对于D，由，
又，所以，，，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）
A．在中，若，，，则
B．若，则为锐角三角形
C．，，，则BC边上的高为
D．若，，则的值为
【答案】BCD
【分析】由余弦定理即可判断A；先利用两角和的正切公式可得，进而判断B；由余弦定理可得，进而利用等面积法求解判断B；结合二倍角公式及正弦定理化简可得，进而结合余弦定理求解判断D.
【详解】对于A，由余弦定理得，即，
解得或，故A错误；
对于B，因为，所以，
整理可得，
所以，即为锐角三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理得，即，
而，，设BC边上的高为，
由，得，
解得，即BC边上的高为，故C正确；
对于D，由，即，
由正弦定理得，，即，
又，
整理得，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、单选题
11．已知函数的定义域为 ，，是偶函数，且当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．在内的值域为B．
C．在区间内单调递减D．在]内零点之和为16
【答案】A
【分析】根据题意，画出函数的部分图象，结合图象，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数满足，可得函数的周期为，
又由是偶函数，可得函数关于对称，
因为时，，可得函数的部分图象，如图所示，
由图象可知，函数的值域为，所以A正确；
由，所以B错误；
由函数的周期为，则函数在与在区间上的单调性相同，
结合图象，可得函数在上单调递增，所以C错误；
由函数，令，可得，
则的零点个数，即为函数与的交点个数，
在区间有6个零点，且关于对称，所以零点之和为6，所以D错误.
故选：A.
四、多选题
12．函数的部分图像如图所示，则下列说法中，正确的有（ ）
A．，
B．向左平移个单位后得到新函数是奇函数
C．若方程在上共有4个根，则
D．图像上动点M到直线的距离最大时，M的横坐标为
【答案】BCD
【分析】选项A，把图像上的点代入函数解析式，可以求出；选项B，利用图像的平移，得到新函数解析式，再判断奇偶性；选项C，解出方程的根，结合三角函数的性质确定的范围；选项D，作与平行的直线，把点到直线距离的最值问题，转化成曲线的切线问题解决，利用导数求切点，计算距离即可．
【详解】因为经过点，所以，
又在的单调递减区间内，所以①，
因为经过点，所以，，
又是在时最小的解，所以②，
联立①②，可得，即，
代入①，可得，又，所以，故A错误；
，
向左平移个单位后得到的新函数为，是奇函数，故B正确．
由，，
则或，即或，
当时，的值从小到大依次为，
若方程在上共有4个根，则，故C正确；
作与平行的直线，
，
当直线与相切时，，
则，解得或，
∵，∴，
，切点为；
，切点为，
，切点为；
，切点为，
点到距离为，
点到距离为，
点到距离为，
点到距离为，
∵，
∴的坐标为时，到直线的距离最大，此时M的横坐标为，故D正确．
故选：BCD．
五、填空题
13． ．
【答案】
【分析】根据指数及对数运算律计算化简即可.
【详解】.
故答案为： .
14．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
【答案】8
【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.
【详解】由，
设，，
则，
所以函数在上为奇函数，
所以，
由题意，得，
所以.
故答案为：8.
15．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
因为函数在区间上有两个极值点，
即在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
即函数和的图象有两个交点，
又由，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且当时，，当时，，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
16．已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后求出最值.
【详解】∵，，而，，
∴，∴，，如图所示，
若，，，，则，，
∴在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当，，三点共线且时，最小为.
【点睛】平面向量中的最值问题我们通常采用数形结合的方式，把向量模的最值问题转化为距离的最值问题.
六、解答题
17．已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
【答案】(1)①或；②或
(2)
【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1），，
①若，则，即，解得或；
②若，则，解得或.
（2）由，解得或，
又时，或，
若向量与的夹角为钝角，则或或，
故的取值范围为.
18．已知向量，，且．
(1)求函数的最小正周期及的对称中心；
(2)若，求函数的单调递增区间．
【答案】(1)最小正周期为，对称中心为
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积得函数的表达式，通过二倍角公式及辅助角公式化简，根据三角函数的性质求最小正周期及对称中心；
（2）根据的范围，结合三角函数的性质求解．
【详解】（1），
∴函数的最小正周期，
令，得，
∴的对称中心为为．
（2）若，则，
当，和时，函数单调递增，
即当，和时，函数单调递增，
故函数的单调增区间为：．
19．西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，，为运动小道（不考虑宽度），，千米.
（1）求小道的长度；
（2）求球类活动场所的面积最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）连接BD，在△BCD中由余弦定理得BD的值，在Rt△BDE中，求解BE即可；
（2）设∠ABE＝α，在△ABE中，由正弦定理求解AB，AE，表示S△ABE，然后求解最大值．
【详解】如解图所示，连接，
（1）在三角形中，千米，，
由余弦定理得：，
所以
∵，，∴
∵，∴
在中，（千米）
∴小道的长度为千米；
（2）如图所示，设，∵，
∴
在三角形中，由正弦定理可得：，
∴，，
∴
，
，
，
∵，∴，
故当时，取得最大值，最大值为.
∴球类活动场所的面积最大值为平方千米.
【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．函数 .
(1)若函数在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求出，再由可求出，
（2）由题意将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可
【详解】（1）由
∴
∴
∴
∴
（2）由题意得恒成立
即
令
令
恒成立
∴在R上为减函数且
∴，
∴，
∴在上为增函数，在上为减函数
∴
∴
21．在中，AD为∠BAC的平分线，且．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求边AC的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由结合面积公式求解即可；
（2）设，，，结合可得，在中结合余弦定理可得，进而得到，进而求解即可.
【详解】（1）由题意，AD为∠BAC的平分线，可得，
由，得，
即，解得，
所以.
（2）设，，，
由，得，
即，
即，
即，又，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
因为，且，
所以，即，
则，
所以边AC的取值范围为.
22．已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值；
（2）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为，()，通过构造函数即可证明.
【详解】（1）因为，，
①当时，因为，所以，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；，
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；
④当，即时，，，函数在上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，.
（2）要证，只需证：，
若有两个极值点，即函数有两个零点，又，
所以是方程的两个不同实根，
即，解得，
另一方面，由，得，
从而可得，
于是．不妨设，
设，则．因此，．
要证，即证：，
即当时，有，
设函数，则，
所以为上的增函数．注意到，，因此，．
于是，当时，有．
所以成立，．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式合理变形，把双变量问题化为单变量问题.