2024届黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高三上学期10月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求集合，再求集合的交集.
【详解】，解得：
所以，，
所以.
故选：A
2．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3．函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当时得出答案．
【详解】设，，
由，得为奇函数，故B,D错误；
由，故A正确，C错误，
故选：A．
4．已知，则（ ）
A．0B．C．-1D．
【答案】C
【分析】分子分母同时除以进行弦切互化即可求解.
【详解】由题知，，
则
.
故选：C.
5．设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1B．2C．1或2D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理求解即可；
【详解】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或.
检验或满足题意，
故选：C.
6．已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出即可作答.
【详解】方程和依次化为：和，
因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，
而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，
于是，函数，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
7．已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为，
令，即，
所以，在上有且只有5个零点，
因为，所以，
所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，
则，即，
所以实数的范围是.
故选：C
8．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数求得的最小值.
【详解】依题意，正数满足，
所以，即，
所以，
令，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
令，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以的最小值是，
所以的最小值为.
故选：B
【点睛】利用导数研究函数的最值，首先要确定函数的定义域，然后对函数进行求导，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值、最值.题目已知条件是一个等量关系，这个等量关系的作用一般是进行等量转化，如本题中，通过等量关系可将转化为.
二、多选题
9．在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A．B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的2倍D．若，则外接圆的半径为
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.
【详解】根据正弦定理由，因此选项A正确；
设，所以为最大角，
，所以为锐角，因此是锐角三角形，因此选项B不正确；
，显然为锐角，
，
因此有，因此选项C正确；
由，
外接圆的半径为：，因此选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.
10．已知，下列结论正确的是（ ）
A．与向量垂直且模长是2的向量是和
B．与向量反向共线的单位向量是
C．向量在向量上的投影向量是
D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用平面向量的运算性质即可求得结果.
【详解】对于A，向量的模不符合，故A不正确.
对于B，向量的相反向量为，与相反向量同向的单位向量是，故B正确.
对于C，向量在向量上的投影为，
与向量同向的单位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正确.
对于D，时，向量与同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.
故选：BC.
11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

A．的最小正周期是
B．的值为
C．在上单调递增
D．若为偶函数，则最小值为
【答案】BD
【分析】对于选项A，看图求周期即可；对于选项B，先求出解析式，再求；对于选项C，先求出的减区间，再做出判断即可；对于选项D，求出为偶函数时的取值，进而求出最小值.
【详解】由图可知，A=2，该三角函数的最小正周期，故A选项错误；
由于，则，由图知，
所以该函数的一条对称轴为.
将代入得出，解得，
所以，
所以，故B选项正确；
令解得.
当时，在上单调递减，故C选项错误；
若为偶函数，则为偶函数，
所以,解得，
则当时，取最小值，最小值为，故D选项正确.
故选：BD.
12．（改编题）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．开始转动后距离地面的高度为，下述结论正确的是（）
A．
B．
C．在运行一周的过程中，的时间超过
D．摩天轮设置有48个座舱，游客甲坐上摩天轮的座舱，游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱，在运行一周的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差最大为．
【答案】ACD
【分析】先根据题意建立三角函数模型，求出的解析式，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】由题意建立平面直角坐标系，如图所示：
不妨设摩天轮距地面最近点为，，
由题意知：，所以，
因为转一周大约需要，可知角速度大约为，即，
则，
由题意可知当时，游客位于点，
将点代入，解得，则.
所以，即A正确；
当时，，即B错误；
在运行一周的过程中，
由可得，设其解集为，
由，解得，
由正弦函数的图象可知：为的真子集，
所以，
所以在运行一周的过程中，的时间超过.即C正确；
设游客乙在游客甲所在位置的顺时针位置处，游客甲乙所在位置分别设为A、B两点，
因为游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱，则，
故分钟后，甲乙的高度分别为：，，
其高度差为：，
，即D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知向量，，若，则实数 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示计算作答.
【详解】由，得，，
由，得，所以.
故答案为：
14．函数向左平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】求解函数向左平移个单位后函数的解析式，再根据正弦函数的对称性求解的最小正值.
【详解】函数向左平移个单位后，
得，
因为所得图像关于轴对称，则，
即，
所以的最小值是.
故答案为：.
15．如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.

【答案】
【分析】先根据题目条件求出，，再在中，利用余弦定理求出.
【详解】由题意得，，，
，
在中，，在中，，
在中，由余弦定理得
，
故.
故答案为：
16．已知函数，关于x的方程恰有4个零点，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导分析函数的单调性，进而可得函数的图象，再根据，分别根据与和图象的关系列不等式求解即可.
【详解】当时，，由，得，
由，得，则在上单调递减，在上单调递增，
则，
故的大致图象如图所示.
，即，
解得或.
由图可知或或或，
解得或，即m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数（其中），直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，由题意得到函数的最小正周期，从而得到；
（2）先求出，再利用诱导公式得到答案.
【详解】（1），
设的最小正周期为，
因为直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
所以，
因为，所以，解得；
（2），由得，
，
即.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.

(1)求证：平面PCD；
(2)求平面BPD与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，得平面，再得线线垂直，再根据正三角形三线合一证，最后由线面垂直的判定，证得平面PCD；
（2）建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，则
由得
取，则，
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.

19．的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理可得角.
（2）把的面积表示为的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角、表示，再利用角、的关系消元转化为求一元函数的值域.
【详解】（1）解：根据题意，
由正弦定理得，
，
，故，
.
（2）因为是锐角三角形，由（1）知得到，
故，解得.
又由正弦定理得：
又，
故.故的取值范围是
20．记为数列的前n项和，已知.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意，总有，求k的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合变形，再推理作答.
（2）由（1）求出数列的通项公式，再借助恒成立的不等式求解作答.
【详解】（1）数列的前n项和，则，
于是，
即，因此，而，解得，
所以数列是首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，即，于是，
因此，而恒有成立，
所以不等式恒成立时，，即的最小值为2.
21．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为，，．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．
(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；
(2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）三道工序都不合格为废品，求事件的概率，利用对立事件，求不是废品的概率；
（2）由X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.
【详解】（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，
则，
则加工一件工艺品不是废品的的概率．
（2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300，
，
，
，
，
则随机变量X的分布列为：
故．
22．已知函数，.
(1)当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求的单调区间及在区间上的最值；
(2)若对，恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)（i）；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）求出，求导得到，由点斜式写出切线方程；
（ii）求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况；
（2）变形为对恒成立问题，令，求导得到其单调性，并画出函数图象，求出恒过点，且在处的切线方程为，刚好在切线上，结合图象在上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1）（i）当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（ii），，
，
令，解得，令，解得，
当时，，
又，，
其中，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
在区间上的最大值为，最小值为；
（2），
对，恒成立，
变形为对恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
其中，，当时，恒成立，
故画出的图象如下：

其中恒过点，
又，故在处的切线方程为，
又在上，
结合图象可得此时在上方，
另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小于0时，不合要求，
故要想满足，需要，
解得，
a的取值范围是
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
X
-100
-20
100
300
P