2024届山东省枣庄市枣庄市第十六中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届山东省枣庄市枣庄市第十六中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合、，再由交集的定义求解即可
【详解】集合，，
则.
故选：B.
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【解析】直接根据基本初等函数的导数公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查基本初等函数的导数公式，属于基础题．
3．已知为实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反例可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.
【详解】取，则且，故AB错误.
取，则，故C错误.
根据不等式的性质可得成立，故D正确.
故选：D.
4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.
【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，
故选：D
5．若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.
【详解】，且，
，，
故选：A
6．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，，由此可知ln0.2的近似值为（ ）
A．－1.519B．－1.726C．－1.609D．－1.316
【答案】C
【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.
【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，
所以，
所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.
故选：C
7．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
8．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的图像关于（1，0）对称D．
【答案】A
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，
因为函数的定义域为R，关于对称，则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：A
二、多选题
9．已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可.
【详解】如图所示：
由图可得，故A正确；集合不是的子集，故B错误；
，故C错误；，故D正确．
故选：AD.
10．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（ ）
A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍
B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是
C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是
D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是
【答案】AC
【分析】根据题意，利用对数与指数的关系式即可求解，判断各选项的正误.
【详解】解：设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，，
对于A，，则A选项正确；
对于B，由得，，
所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误；
对于C，由得，，
所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确；
对于D，由得，，
所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误；
故选：AC.
11．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）

A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．是的极小值点
【答案】ABC
【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断；
【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．故A、C正确；
当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；
当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误．
故选：ABC．
12．已知函数，则（ ）
A．函数只有两个极值点
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】利用导数研究的单调性、极值并画出函数图象，利用函数交点、数形结合判断各项正误即可.
【详解】A：对求导得：，
当或时，，当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；
B：由上分析，曲线及直线，如下图，

由图知：当或时，直线与有2个交点，
所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；
C：由得：，解得，令且，
由图有两解分别为，，所以或，
而，则，则有两解；又，由图知也有两解，
综上：方程共有4个根，对；
D：因为直线过定点，且，，，
记，，，
所以，对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：导数研究函数性质并画出图象，利用函数的交点研究方程的根、不等式的解集.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数，结合对数运算依次计算作答.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
14．已知，则等于 .（用数字作答）
【答案】
【分析】求导得到，然后令解方程即可.
【详解】由题意得，令可得，解得.
故答案为：.
15．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 .
【答案】1
【分析】根据和的奇偶性可得是以4为周期的函数，进而得解.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以．
又为偶函数，所以，
则，故是以4为周期的函数，
故.
故答案为：1.
16．已知函数 有两个极值点，且，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】原题等价于 是导函数 的两个零点，求导，参数分离，构造函数，根据所够造的函数的导函数的图像求解.
【详解】原题等价于 是导函数 的两个零点， ，
即是方程 的两个不相等的实数根，显然不符合方程0，
所以和是方程 的两个根，
即函数 的图像与直线有两个不同的交点，
由于 ，所以当或时， ；当时， ，故的减区间为和，增区间为，
当x趋于时， 趋于0，且，当且x趋于0时，
趋于，当时，x趋于0时，趋于，
在处， 取得极小值 ；当时，x趋于时， 趋于 ，
作出的大致图像如下图所示，
由图可知， ，且，
因为，取，并令，则 ， 单调递增， ，解得 ，此时 ，即 ，
故答案为：.
四、解答题
17．求解下列问题
(1)计算：；
(2)解方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解；
（2）方程可化为，解得或，即可求解.
【详解】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（2）由方程，可得，
解得或，所以或．
18．已知集合,
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．
（2）由，得到，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】解：（1）∵集合，
或，，
∴，解得
∴实数a的取值范围是
（2）
或，
解得或．
∴实数a的取值范围是或
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题.
19．已知，.
(1)求的最小值；
(2)求的最大值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果；
（2）根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
（2）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
20．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)0；
(2).
【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
【详解】（1）依题意得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，
当时，在上单调递增，
.
（2）由（1）得，当时，，即，
当时，，即，
∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴，
∴的取值范围是．
21．La'eeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常鲜明的民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某中国企业可以生产世界杯吉祥物La'eeb，根据市场调查与预测，投资成本x（千万）与利润y（千万）的关系如下表
当投资成本x不高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本x（千万）的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)当投资成本x不高于12（千万）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)当投资成本x高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本工（千万）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千万）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）
（参考数据：）
【答案】(1)最符合实际的函数模型为
(2)
【分析】（1）将点与分别代入两函数模型，求得解析式，计算时的函数值，比较可得结论，从而确定函数模型；
（2）由题意可得利润y与投资成本x满足关系，分段接不等式，即可求得答案.
【详解】（1）最符合实际的函数模型是.
若选函数模型，
将点与代入得，解得，
所以，
当时，.
若选函数模型，
将点与代入得，解得，
所以，
当时，，
综上可得，最符合实际的函数模型为.
（2）由题意可知：
利润y与投资成本x满足关系,
要获得不少于一个亿的利润，即,
当时，，即，即
因为，所以.
又因为，所以.
当时，，解得，
又因为，所以，
综上可得，,
故要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千万）的范围是.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）研究函数的定义域，导数的符号，确定函数的单调性；
（2）分离参数，然后构造函数，利用导数研究该函数的最大值即可．
【详解】（1）定义域为，，
令，
①当时，恒成立，，是增函数；
②时，，
当，即时，由得，，
由或，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当，即时，恒成立，是增函数，
综上可知： 时，是增函数，时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）不等式恒成立，即恒成立，
整理得恒成立，
令，
则，易知，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
故，
故即为所求，故的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，研究参数的取值范围，能分离参数的一定要分离参数，
分离参数是本题的关键，分离参数后转化为求函数最大值问题，一般需要利用导数求最大值得解.
x（千万）
…
2
…
4
…
12
…
y（千万）
…
0.4
…
0.8
…
12.8
…