2024届上海市崇明区横沙中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市崇明区横沙中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合，，则 ．
【答案】
【详解】试题分析: 因为,所以,故应填答案.
【解析】集合的交集运算．
2．“”是“”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
【答案】必要不充分
【分析】根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确结论.
【详解】由于包含，故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为必要不充分
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
3．函数的最小正周期是
【答案】
【分析】根据正弦函数周期公式计算即可.
【详解】函数的最小正周期是.
故答案为：.
4．已知，则 .
【答案】3
【分析】将齐次式弦化切即可求解.
【详解】因为，
所以，
故答案为：3.
5．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由被开方数非负可求得答案
【详解】由题意得，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
6．化简： .
【答案】
【分析】利用诱导公式运算即可得解.
【详解】解：∵，
，，
，，
∴.
故答案为：.
7．已知函数是奇函数，则实数 ．
【答案】0
【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．
【详解】∵函数为奇函数，
∴，
即，
整理得在R上恒成立，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．
8．已知函数的图像恒过定点，则的坐标为 .
【答案】
【解析】由过定点（0,1），借助于图像平移即可.
【详解】过定点（0,1），
而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，
所以函数的图像恒过定点
即A
故答案为：
【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过（1,0）.
9．在中..则的面积等于 ．
【答案】
【解析】由余弦定理求得，然后由三角形面积得结论，
【详解】由余弦定理得，即，解得（舍去），
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，解三角形问题中要根据条件选择恰当的公式运算，本题也可先用正弦定理求，然后求出，再得结论．
10．若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】整理代数式满足运用基本不等式结构后，用基本不等式求最小值.
【详解】∵
∴
当且仅当，时，取最小值.
故答案为:
【点睛】用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，若不能取等，则要改变求最值的方法.
11．若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题知，再解不等式组即可得答案.
【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，
所以，即，解得,
所以，实数的取值范围是
故答案为：
12．一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解.
【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或
设的两根为，，不妨令，则，
由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为
故答案为：
二、单选题
13．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：在上单调递减，故A错误；
对于B： 在上单调递增，故B正确；
对于C： 在上单调递减，故C错误；
对于D： 在上单调递增，在上单调递减，故D错误；
故选：B.
14．若，则下列不等式成立的是( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴．
故选B．
15．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用绝对值的几何意义求解.
【详解】由题意得，因为 ，所以.
故选：B.
16．函数f（x）=x–3+ex的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）
【答案】A
【分析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解.
【详解】,
,,
所以函数 在区间上有零点.
故选A.
【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.
17．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．
【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D．
故选：A．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
18．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案.
【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，
是幂函数，可得，解得或，
当时，；当时，，不满足单调性，排除，
故，．
，，故恒成立．
故选：A
三、解答题
19．求不等式的解集（写出必要的过程）
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）将分式不等式转化为整式不等式，即可求解；
（2）利用对数函数的性质即可求解.
【详解】（1）由得，
即且，
解得或，
故的解集为或；
（2）由得，即，
故的解集为.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）函数的单调递减区间．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为，由周期公式即可求解.
（2）由正弦函数的单调递减区间，整体代入即可求解.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期，
（2），
解不等式可得，
所以函数的单调递减区间为
21．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，利用正余弦定理边角互化，结合，即可求得b的值；
（2）由余弦定理求得，继而求得，利用两角和的正弦公式即可求得答案.
【详解】（1）在中，，则，
结合以及正余弦定理得，
即，即；
（2）由余弦定理得，
而，
故
.
22．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.
(1)求的值；
(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)；
(2)日产量为8时，每吨产品的利润最大，最大利润为4.
【分析】（1）根据题意得到，然后根据除尘后当日产量时，列方程，解方程即可得到；
（2）根据题意得到每吨产品的利润，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由题意得除尘后的总成本，
因为除尘后当日产量时，，所以，解得.
（2）设除尘后每吨的利润为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.
23．设函数(，且)．
(1)若，判断的奇偶性和单调性；
(2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为-2，求实数的值．
【答案】(1)是奇函数且单调递减；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的定义即可判断和证明；
（2）由解得，由（1）知为减函数且为奇偶函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式等价于，利用二次函数恒成立即可求解；
（3）由可得，，令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解．
【详解】（1）的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的奇函数；
任取，，且，
，
因为，，所以，，
所以，，
所以，
所以在上单调递减，
（2）即，所以，
因为，所以，
由（1）知在上单调递减的奇函数，
原不等式等价于，
所以，即恒成立，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：
（3），即，
解得：或（舍）
所以，
令，则在单调递增，
所以，
，对称轴为，
当时，，解得：或（舍）
当时，，
解得：不符合题意，
综上所述：．
【点睛】对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围．