2024届上海市格致中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市格致中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则 （用列举法表示）
【答案】
【分析】解不等式得到，从而求出交集.
【详解】，故.
故答案为：
2．已知复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】
【解析】求出，再根据复数模的求法即可求解.
【详解】，所以.
故答案为：
3．已知，则 ．
【答案】2
【分析】由两角和的正切公式，有，解得.
4．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据可求得，由此可得解析式；将所求不等式化为，根据幂函数的单调性解不等式即可求得结果.
【详解】，，即，在上单调递增，
又，可化为，，
解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
5．在中，若，，，则 .
【答案】
【解析】由内角和求得，然后由正弦定理求得．
【详解】，
由正弦定理得，所以.
故答案为：．
6．若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成角为，则该圆锥的体积为 ．
【答案】
【分析】设出圆锥的底面半径，表达出母线长和圆锥的高，根据圆锥的侧面积列出方程，求出半径，从而求出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，
因为母线与底面所成角为，所以圆锥母线长为，
由勾股定理得：圆锥的高为，
故，解得：，
故圆锥的高为，圆锥的体积为
故答案为：.
7．在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的的值，从而确定其概率.
【详解】展开式的通项为，
，
当且仅当为偶数时，该项系数为有理数，
故有满足题意，
故所求概率.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
8．若随机变量服从正态分布，，则 .
【答案】/
【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
则.
故答案为：.
9．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .
【答案】/
【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．
【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．
设，，
则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，
即，
即，
解得，即．
故答案为：
【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.
10．已知，，函数的图像与y轴相交于点､与函数的图像相交于点，的面积为(为坐标原点)，则 .
【答案】6
【解析】根据题意先画出大致图象，当时，先确定趋近于，再确定趋近于，从而可知的值就是的面积.
【详解】依题意画出大致图象，如下图：
易得，
因为，，
当时，直线趋近于，趋近于，
当时，曲线趋近于渐近线，趋近于，
所以.
故答案为：6.
【点睛】方法点睛：当时，先确定，再确定，从而求得极限值.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则 .
【答案】
【分析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值.
【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示：
在双曲线中，，，则，即点、，
因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且，
因为，故、、三点共线，
所以，，故，
由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、，
联立，可得，
所以，，可得，
由韦达定理可得，，可得，
，
整理可得，即，解得或（舍），
所以，，解得.
故答案为：.
12．对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】讨论的范围得出的表达式，求出的值域即可.
【详解】①当时，，
由，得，所以，
此时，即，则，即；
②当时，，
由，得，
此时，即；
③当时，，
由，得，所以，
此时，则，即；
④当时，，则，
由，得不成立，此时不存在；
⑤当时，，
由，得，所以，
此时，则，即；
⑥当时，，
由，得，
综上，由有且仅有一个正数使得成立，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论的范围，根据的不同取值范围得出的表达式，再利用三角函数的性质求解.
二、单选题
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，但，不充分，
时，必要性满足，故是必要不充分条件．
故选：B．
14．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）

A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误
故选：C
15．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论.
【详解】由，,，两边同时除以，得，
又展开式中的系数为，
所以，
所以
故选：A
16．双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题：
①是奇函数；
②的图象过点或；
③的值域是；
④函数有两个零点．
则其中所有真命题的序号为（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
【答案】B
【分析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出的图象（位于一三象限），对选项一一判断，由对称性可得的图象在二四象限的情况，即可得到答案．
【详解】解：双曲线关于坐标原点对称，
可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，
即有为奇函数，故①对；
由双曲线的顶点为，，渐近线方程为，
可得的图象的渐近线为和，
图象关于直线对称，
可得的图象过点，或，
由对称性可得的图象按逆时针旋转位于一三象限；
按顺时针旋转位于二四象限；
故②对；
的图象按逆时针旋转位于一三象限，
由图象可得顶点为点，或，
不是极值点，则的值域不是；
的图象按顺时针旋转位于二四象限，
由对称性可得的值域也不是．
故③不对；
当的图象位于一三象限时，的图象与直线有两个交点，
函数有两个零点；
当的图象位于二四象限时，的图象与直线没有交点，
函数没有零点．
故④错．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查函数的奇偶性和对称性、值域的求法，考查运算能力．
三、解答题
17．如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，P是棱CD上一点，AB＝2，AD＝，AA1＝3，CP＝3，PD＝1.
(1)求异面直线A1P与BC1所成的角的余弦值；
(2)求证：PB⊥平面BCC1B1.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示出和，利用向量的夹角即可求出所求角；
（2）利用线面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，.
于是，，
设异面直线A1P与BC1所成的角为，
则，
异面直线与所成的角的余弦值大小等于.
（2）过作交于，在中，，，则，，，
，
，.又，平面.
18．函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数性质，根据周期公式即可得答案；
（2）结合题意得，进而根据正弦和角公式求解即可.
【详解】（1）解：
，
因为为正三角形，且高为，
所以，，
所以，函数的周期，即，解得；
所以
（2）解：因为，
所以，，即，
因为，所以
所以，，
所以，
19．某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了件，它们的质量指标值统计如下：
附：，其中 .
(1)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表（表中数据单位：件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.
【答案】(1)
(2)列联表答案见解析，有
【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果全部相加可得出质量指标值的平均数的估计值；
（2）根据题中信息完善列联表，结合临界值表可得出结论.
【详解】（1）由题中所给数据，各组的频率分别为、、、、，
所以，该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为：
.
（2）由题意可得：列联表如下：
所以，，
因此，有的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.
20．已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于、、、，且，分别是弦，的中点.
（1）求椭圆的方程.
（2）求证：直线过定点.
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为.
【解析】（1）由题知，再结合椭圆过点，待定系数求解即可得答案；
（2）设直线的方程为，，与椭圆联立方程并结合韦达定理得，进而用替换坐标中的得，再分
当和两种情况分别求的方程即可得直线过定点；
（3）由（2）得面积，进而令，故，再结合函数的单调性后即可求解.
【详解】解：（1）∵ 椭圆经过点，∴，
又∵，与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，
∴ ，，
∴ ，解得，，
∴ 椭圆方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，，则，，
∴，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，
直线的方程为：，
整理得：，令，可得，即有，
所以直线过定点，且为.
综上，直线过定点，且为.
（3）方法一：面积为
.
令，
由于的导数为，且大于0，
所以在上递增.
所以在上递减，
∴当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为.
方法二：，
，
则面积，
令，则，
当且仅当，即时，面积的最大值为.
∴面积的最大值为.
【点睛】易错点点睛：本题第二问通过点斜式求解直线的方程时，由于时，直线斜率不存在，需要分类讨论，再解题的过程中容易忽略讨论而致错.本题考查椭圆方程的求解，直线过定点问题，面积最值，考查运算求解能力，化归转化思想，是难题.
21．已知函数，，．
(1)求的最大值；
(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)证明不等式（其中是自然对数的底数）．
【答案】(1)0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得到单调区间，计算最值得到答案.
（2）题目转化为存在，使得，考虑，，，分别考虑函数的单调性计算最值得到答案.
（3）根据前面结论得到，，代入式子结合等比数列求和公式化简得到证明.
【详解】（1），，，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，即．
（2）对，总存在使得成立，
等价于存在使得成立，
由（1）可知，问题转化为存在，使得，
，，当时，
①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意；
②当时，，使得，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
即，则，使得，符合题意；
③当时，若，，函数单调递增，，
则，使得，符合题意；
综上可知，所求实数的取值范围是
（3）由（2）可得当时，若，，令，，有；
再由（1）可得：，则，
即，也即，∴，
．
则
所以．
【点睛】本题考查了利用导数求最值，根据函数不等式求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，分类讨论求单调区间进而求最值是解题的关键，利用不等式放缩证明不等式是本题的难点.
质量指标值
甲车间（件）
15
20
25
31
9
乙车间（件）
5
10
15
39
31
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
合计
甲车间
乙车间
合计
合计
甲车间
乙车间
合计