2024届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

这是一份2024届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三上学期10月月考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合,，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合,，则或，
又因为全集，则.
故选：A.
2．已知平面向量.若，则实数的值为（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直与数量积的关系，结合数量积的坐标运算即可求解
【详解】因为，
所以，解得.
故选：A
3．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是
A．该地区在该月2日空气质量最好
B．该地区在该月24日空气质量最差
C．该地区从该月7日到12日持续增大
D．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关
【答案】D
【解析】利用折线图对每一个选项逐一判断得解.
【详解】对于选项A, 由于2日的空气质量指数最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；
对于选项B, 由于24日的空气质量指数最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；
对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日持续增大，所以该选项正确；
对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数与这段日期成正相关，所以该选项错误.
故选D
【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】判断由能否推出，再判断能否推出，结合充分条件和必要条件的定义即可判断结论.
【详解】当时，，但，故“”不是“”的充分条件；
当时，，但，故“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的、、的值分别为、、，则输出的的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据程序框图写出程序的每一步，可得出输出结果.
【详解】执行程序框图，第一次循环，，不成立，不成立，；
第二次循环，，成立，；
第三次循环，，不成立，成立，跳出循环体，输出的值为.
故选：C.
6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】讨论时，不等式显然成立；当时，运用参数分离和基本不等式求得最值，可得所求范围．
【详解】解：当时，不等式恒成立；
当时，由题意可得恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
所以，解得．
综上可得，的取值范围是．
故选：B．
7．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的正弦值和余弦值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.
【详解】因为，则，由已知条件可得，解得，
因此，.
故选：A.
8．如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由的长求出，由通径公式以及的长得到，再由，联立方程求出，即可得到双曲线的离心率.
【详解】因为，所以.因为，所以.
又，所以，解得或 (舍去)
故该双曲线的离心率
故选：B
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
9．在三棱锥中，已知底面，，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】取中点，且，可知为的外心；作且，，可验证出四边形为平行四边形，从而得到，又，可知为所求球的球心；利用勾股定理可求得球的半径，进而利用球的表面积公式求得结果.
【详解】取中点，连接，取点，满足
， 为等边三角形 为的外心
作且，作，交于
四边形为平行四边形
，又为外心
，即
为三棱锥外接球球心
外接球半径
该球的表面积
故选
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据球的性质确定球心一定在过底面三角形的外心且垂直于底面的直线上，进而根据长度关系确定球心的位置.
10．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估计、、的值或范围即可比较大小.
【详解】因为奇函数的图象关于直线对称，
所以，，
所以，即，
所以，即函数的周期，
当时，，
，所以，即，所以
，
又，所以，所以，
即，
又，，
所以.
故选：C
11．设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的图象可得，x2，x1关于点（，0）对称，|x2﹣x1|最小，进而可得结果.
【详解】根据函数f（x）＝sin（2 x +）
∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），
令x2＞x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2﹣x1|最小，
∵x1x2＜0，∴x2＞0，则x1．∴可得|x2﹣x1|，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于一般题目.
12．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】设即所以,令,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根，且，且则即可求解.
【详解】由方程，有
设即
所以
令 ，则
所以在上单调递增，在上单调递减,
且，，当时，其大致图像如下.
要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，
且.
结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根
且,
则.
所以


故选：D
【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.
二、填空题
13．若复数（i为虚数单位），则 .
【答案】
【解析】由复数的运算法则得，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题.
14．若实数、满足线性约束条件，则的最大值为 .
【答案】
【分析】令，作出不等式所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.
【详解】令，作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时，取最大值，即.
故答案为：.
15．如图，在直角梯形中，已知，是上一点，，，，，则线段的长度为 ．
【答案】6
【分析】先求得，利用正弦定理求得，进而求得的长.
【详解】由图可知，，则，
在中，，
．
在中，，得，
在中，，
∴
．
故答案为：6．
16．已知正方形的边长为，对角线、相交于点，动点满足，若，其中、．则的最大值为 ．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，可得出，设点，设，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出结果.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、，
，即点，
因为，则点在以为圆心，半径为的圆上，
设点，则，
则，整理可得，
所以，，其中，，
所以，，整理可得，解得，
因此，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查与参数相关的代数式的取值范围，本题的关键在于点的坐标的设取，可充分利用圆的参数方程，结合三角函数相关知识求解.
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，根据条件列出方程组求解即可；
（2）用裂项相消法进行求和即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，
所以，
所以数列的通项公式为
（2）因为，
所以.
所以数列的前n项和.
18．如图，在四面体中，，，，线段，的中点分别为，．
（1）求证：平面平面；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析, （2）4
【分析】（1）由，是中点，可得，再勾股定理证明，即可得线面垂直，从而有面面垂直；
（2）由（1）得平面，从而可计算出体积．
【详解】（1）证明:因为，是的中点，所以.
在中，，，且为直角三角形的斜边，
由勾股定理，得.
因为，是的中点，所以.
在中，因为，，由勾股定理，得.
因为，，，有，则.
且，平面，所以平面.
而平面，故平面平面.
（2）由（1）可知平面平面.
因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为在中，是的中点所以
所以.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积计算．立体几何中的线面、面面关系的证明可根据其判定定理进行，即先证得定理需要的条件，然后得出结论，注意条件缺一不可．三棱锥的体积计算中用换底法，关键是要棱锥的高容易确定计算．
19．某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的用水量的数据作为样本，得到的统计结果如表：
(1)求，，的值；
(2)已知样本中日用水量在内的这六个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这六个数据中随机抽取两个，求抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用频数，频率公式求解即可；
（2）求出基本事件总数和事件包含的基本事件个数，再代入古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）依题意，，，.
（2）这6个数据中大于86的有3个，
设“抽取的两个数据中至少有一个大于86”为事件，
基本事件的总数为，
事件包含的基本事件个数为，
所以，
所以抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率为
20．已知椭圆的右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，.若点在以线段为直径的圆上,求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）利用已知条件列出方程，求出即可得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，结合在以线段为直径的圆上，转化求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，，
椭圆的方程为；
（2）易知当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意，
当直线的斜率存在且不为时，
设直线的方程为，，
联立，可得，
，，，
在以线段为直径的圆上，
，
，，
，
，
整理得，
解得或，
直线的方程为，或.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当常数时，函数在上有两个零点、， 证明：.
【答案】（1）单调递增区间为、；单调递减区间为，（2）证明见解析.
【分析】（1）本题首先可根据题意得出，然后令，解得或，最后分别令、，即可得出结果；
（2）本题首先可根据求出函数的单调性和极值，然后根据函数在上有两个零点、得出，最后根据、得出，两者相减，即可证得结果.
【详解】（1）因为当时，
所以，
令，解得或，
当或时，，的单调递增区间为、；
当时，，的单调递减区间为.
（2），，
令，解得或，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
则的极小值为，
因为函数在上有两个零点、，
所以，，，
因为，，，
所以，，.
【点睛】本题考查根据导函数求函数单调性以及根据导函数研究函数零点，若函数的导函数为，则当时是增函数，当时是减函数，考查计算能力，是难题.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sinθ＝ρ.
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点M在直角坐标系中的坐标为（2，2），若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB|的值．
【答案】（1）直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0；曲线C的直角坐标方程为x2＝4y；（2）16.
【解析】（1）由直线的参数方程，消去参数t，即可求得直线l的普通方程，再结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入抛物线方程x2＝4y中，根据直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，得到t1t2＝－16，即可求解|MA|·|MB|的值．
【详解】（1）由为参数），消去参数t可得，
所以直线l的普通方程为.
因为，所以，
因为，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
（2）将代入抛物线方程x2＝4y中，可得（2＋t）2＝4（2＋t），
即t2＋（8－8）t－16＝0.
因为Δ>0，且点M在直线l上，
所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，
所以t1t2＝－16，
所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.
(1)当k＝1时，若不等式f(x)