2024届四川省成都石室阳安学校高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

这是一份2024届四川省成都石室阳安学校高三上学期10月月考数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．小于2的自然数集用列举法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据描述，应用列举法写出集合即可.
【详解】由题设，小于2的自然数有，
所以，列举法表示集合为.
故选：C
2．复数的虚部是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的相关概念，即可判断.
【详解】根据虚部的定义，可知，复数的虚部是.
故选：B
3．下列语句不是命题的有（ ）
①若，，则；②；③；④函数（，且）在上是增函数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用命题的定义逐一判断即可.
【详解】对于①，“若，，则”能判断真假，它是真命题，①是命题；
对于②，不能判断真假，②不是命题；
对于③，能判断真假，③是命题；
对于④，“函数（，且）在上是增函数”能判断真假，它是假命题，④是命题，
因此不是命题的个数为1.
故选：B
4．已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】,故
故选C
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．
5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简求解即可．
【详解】.
故选：B
6．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式性质判断B；举例说明判断ACD即可.
【详解】对于A，如，而，A错误；
对于B，由，得，而，则，B正确；
对于C，如，而，C错误；
对于D，如，而，D错误.
故选：B
7．运行程序框图，如果输入的，则输出（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据程序框图的执行逻辑求出的范围.
【详解】当时，；
当时，；
综上，.
故选：C
8．已知角的终边过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.
【详解】由角的终边过点，得，，
所以.
故选：A
9．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=，可得答案.
【详解】解：由题意可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为，
可得d==b=2a，可得c==，
可得离心率e=，
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.
10．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知，所以，
因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，
由(2)可得：，所以，
因此有，所以函数是减函数，
，所以选项A符合.
故选：A.
11．三棱锥的顶点都在球的球面上，，，．若三棱推的体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，取中点,过点作平面的垂线,当三棱推的体积的最大时，均在直线上,且在球心的两侧，进而根据几何关系求解即可.
【详解】解:因为，，,
所以为直角三角形,且面积为,,
因为三棱推的体积的最大值为,
所以到平面的最大距离为,
由于为直角三角形,故取中点,过点作平面的垂线,
当三棱推的体积的最大时，均在直线上,且在球心的两侧,
如图,所以，设球的半径为，
则，，，
所以在中，，即，解得：，
所以球的体积为.
故选：D
12．已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性数形结合判定范围即可.
【详解】函数有零点，
即与有交点即可，
易知单调递增，
在时，，时，，
可得函数的大致图象如图，易得.
故选：C
二、填空题
13．函数（且）的图象恒过点 ．
【答案】
【分析】根据题意，令，求得，即可求解.
【详解】由函数，令，即，
可得，所以函数恒过定点.
故答案为：.
14． ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】.
故答案为：1
15．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为 .
【答案】
【分析】求得正弦不等式，根据几何概型的概率计算，即可容易求得.
【详解】∵在区间上，，
则，
因此其概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角不等式的求解，以及几何概型的概率求解，属综合基础题.
16．若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分析每段函数是增函数时的取值范围，然后考虑在分段点处两段函数值的大小关系.
【详解】∵函数在上单调递增，
∴函数在区间上为增函数，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为．
【点睛】求解分段函数的单调性，不仅要考虑到每段函数的单调性，还需要分析在分段点处两段函数的函数值的大小比较.
三、解答题
17．已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）首先解方程求出，再根据同角三角函数的商数关系求解即可.
（2）利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】（1），解得，，
因为是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，
所以.
所以.
（2）因为，是第三象限角，
所以，解得.
所以.
18．如图，在三棱锥中，底面．点分别为棱，的中点，是线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线性质、平行公理得到，然后利用线面平行的判定定理证明；（2）利用线面垂直判定定理可得平面，进而得到底面，利用中位线定理得到到底面的距离，利用体积转化法计算体积.
【详解】（1）证明：分别是中点，，
同理，
又平面平面，
平面．
（2）解：底面平面，
平面，
平面，
分别为中点，，
平面，点到平面的距离为，
，
即三棱锥的体积为．
19．今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：
（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？（2）计算这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；
（3）为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取位男生和位女生逐个进行采访，最后再随机选取次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的次采访对象中至少有一位男生的概率.
参考公式：.
附表：
【答案】（1）不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为““扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关”；（2）人；（3）．
【分析】（1）计算观测值k2，即可得出结论；（2）由图表中的数据计算不相同的频率, 据此估算该校名在读大学生不相同的人数；（3）根据古典概型求概率的方法即可求出.
【详解】（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为
故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为““扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关”．
（2）这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率为
据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数为.
（3）设选取的位男生和位女生分别记为，，，，，随机选取次采访的所有结果
为，，，，，，，，，共有10个基本事件，
至少有一位男生的基本事件有个，故所求概率为
【点睛】本题考查了独立性检验原理及古典概型求概率的方法的应用问题，属于基础题．
20．已知点是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，，，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)直线的方程为.
【分析】（1）根据三角形面积公式得到，即，再结合余弦定理和椭圆的定义得到的值即可.
（2） 设，，用点坐标表示斜率，得到的表达式，再求函数值域即可.
【详解】（1）易知，由，
，，
由余弦定理及椭圆定义有：

，又，∴，从而.
（2）
①当直线的斜率为0时，则；
②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，
将代入，整理得，
则，，又，，
所以，
，
令，则，
当即时，；
当时，，
∴或.
当且仅当，即时，取得最大值.
由①②得直线的方程为.
21．已知函数，.
(1)设，求函数的极大值点；
(2)若对，不等式恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数及其导数，再探讨导数值为正为负的取值区间作答.
（2）验证时，不等式成立，当时，变形给定不等式，构造函数，利用导数分类讨论求解作答.
【详解】（1）函数，求导得，由，得，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
因此函数在处有极大值，
所以函数的极大值点为.
（2）依题意，，，不等式，
当时，成立，则，
当时，，，
令，，求导得，
令，，求导得，
因此在上单调递增，即有，而，
又函数在上的值域是，则函数，即在上的值域是,
当时，，当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，
对，，因此，
当时，存在，使得，当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
所以m的取值范围为.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为，以极点为直角坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，将曲线向左平移个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为，（为参数），点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先化为，利用变换得即可；（2）
设，得求最大值即可.
【详解】（1）由得，
所以曲线的方程为，
设曲线上任意一点，变换后对应的点为，
则 即
代入曲线的方程中，整理得,
所以曲线的直角坐标方程为；
（2）设，则到直线：的距离为，
其中为锐角，且，
当时，取得最大值为，
所以点到直线l距离的最大值为．
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，图像变换，点到直线距离，熟记图像变换原则，熟练计算点线距是关键，是中档题.
23．已知函数．
(1)解不等式；
(2)对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）写出的分段函数的形式，分类讨论即可求得不等式的解集.
（2）利用均值不等式，根据，求得的最小值，再结合绝对值三角不等式，即可将问题转化为关于的不等式，则问题得解.
【详解】（1）依题意，，
当时，由，解得，则；
当时，，解得，无解；
当时，由，解得，则，
所以不等式的解集为.
（2）由，得，
当且仅当，即时取等号，则当时，，
依题意，，，
而当时，，
当且仅当，且时取等号，
因此，解得，
所以.
不相同
相同
合计
男
女
合计