2024届四川省广安市广安友谊中学高三上学期10月月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届四川省广安市广安友谊中学高三上学期10月月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则集合的元素个数为
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据已知列举出集合B,即得集合B的元素个数.
【详解】由集合中元素的属性，，，
可得集合中的元素有，，，共3个.
故选B.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．若复数满足,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.
【详解】因为,
所以,
则,
故选:B.
3．已知条件p：；条件q：，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求得条件q中x的范围，解一元二次不等式求得条件p中x的范围，再根据q是p的充分不必要条件列出不等关系，解不等式求出m的取值范围.
【详解】由q：，得，
由p：，得或，
因为q是p的充分不必要条件，
所以或，
解得.
故选：B
4．帕普斯：（Pappus）古希腊数学家，3﹣4世纪人，伟大的几何学家，著有《数学汇编》．此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料．如图1，图2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用题设中的图形即可得出结果.
【详解】如图，知，，，
结合图形知，，即，
故选：C.
5．已知，，，，则下列关系正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，由于，函数为减函数，故.故选C.
6．下列不等式中，对任意的不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】ACD选项，作差后构造函数，求导，利用函数的性质判断；B选项用特值法判断.
【详解】令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，则．故A不合题意；
当时，，故B符合题意；
令，则，
则在上单调递增，故，则．故C不合题意；
令，则，
则在上单调递增，故，则．故D不合题意.
故选：B.
7．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义域、奇偶性、函数值分析运算判断即可得解.
【详解】解：设，定义域为，则有
，
所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故选项A、C错误；
因为，
所以选项B错误；
综上知，选项D正确.
故选：D.
8．已知为偶函数且，则等于（ ）
A．0B．4C．8D．16
【答案】D
【分析】利用奇偶函数的对称性并依据积分运算规则去求即可解决
【详解】令，则
则为奇函数，则
又为偶函数且，则
则
故选：D
9．已知是函数的一个极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.
【详解】，
∴，∴，
∴
故选：D
10．已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的最小正周期求出的值，根据三角函数的对称性可得出，求出的值，然后利用辅助角公式结合正弦型函数的最值可求得函数的最大值.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为直线是函数图象的一条对称轴，则，
即，所以，，
所以，，
则，合乎题意，
故函数的最大值为.
故选：A.
11．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出的轨迹经过重心.
【详解】设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以，
根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线，
此对角线与三角形中线重合，所以在三角形的中线上，也即点的轨迹一定通过三角形的重心.
故选：C
【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题.
12．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于对称
C．的最大值为D．函数有8个零点
【答案】D
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，由于是定义域为且周期为4的奇函数，故，，
同理，+，故选项A正确；
对于选项C，因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，
当时，，
所以时，，故，
得到时，，
当时，，，
得到时，，
则当时，， ，
当时，，，
当时，，，
则当时，，
所以，，
易知，也是周期为4的周期函数，函数图像如图所示，在x处有最大值，
故，故选项C正确；
对于选项B，由图像知，对称轴为，
易知，k＝1时，，故选项B正确；
对于选项D，画出与的图像，
因为时，，时，；时，；时，，
如图所示，y＝g(x)与y共由9个交点，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用函数的周期性，从而得出的图像，利用图像，数形结合来解决问题.
二、填空题
13．命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】由全称命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为全称命题，它的否定为“，”.
故答案为：，.
【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.
14．如图所示，在地面上有一旗杆OP，测得它的高度10m，在地面上取一基线，在A处测得P点的仰角，在B处测得P点的仰角，则 ．
【答案】/
【分析】分别在直角三角形和直角三角形中，求得，，进而在中，由勾股定理得到结论．
【详解】在直角中，得．
在直角中，得，
在中，，．
故答案为：．
15．已知函数，则的值是 .
【答案】11
【分析】根据所求值的自变量的关系，先求的值，即可求出结果.
【详解】=
，
，，
=11
故答案为:11
【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究的值，属于中档题.
16．意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标，计算向量的数量积得到，均为锐角，为钝角，故，解得答案.
【详解】由题可知：，，
，则，，
则：，
同理：，故，
所以，
于是，
因为，所以，
所以，均为锐角，从而为钝角.
由得：，
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据三角形形状求参数，属于较难题.
方法点睛：
当三角形中为钝角时，转化为；
当三角形中为直角时，转化为；
当三角形中为锐角时，转化为；
三、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后求得.
（2）根据是的真子集求得的取值范围.
【详解】（1）或，
所以，，
当时，，
所以.
（2）若是的充分不必要条件，
则是的真子集，
所以，所以的取值范围是.
18．已知函数的部分图象如图所示．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)见解析;(2)-1,2.
【详解】试题分析：第一问根据题中所给的函数图像中最高点和最低点的纵坐标可直接得出，根据最高点的横坐标和平衡位置的横坐标，求得函数的周期，求出，再根据最高点的坐标代入求得的值，从而得到函数的解析式，第二问根据解析式，以及定义域，可求得，可求得最大值与最小值.
由题意可知，，
，得，解得．
，即，
所以，故；
当时，，
故；
19．已知函数，函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若当，恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）奇函数；（2）1.
【详解】试题分析：（1）利用函数奇偶性的定义，判断函数g（x）的奇偶性；（2）利用函数的单调性求函数的最值即可．
试题解析：（1）由条件得：
其定义域是关于原点对称
，故是奇函数；
（2）由得
当时，
式化为，而
又，
因此恒成立等价于，故实数的最大值为1.
【解析】函数奇偶性的判断;恒成立问题
20．今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中正整数表示月份且，例如时表示1月份，和是正整数，.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；
③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.
【答案】(1)，
(2)第月是该地区的旅游旺季，理由见解析
【分析】（1）根据题意首先求出，再根据周期求出，最后根据求出，即可得到函数解析式；
（2）令，结合余弦函数的性质计算可得，注意为正整数.
【详解】（1）因为和是正整数，由②可知，解得；
由③可得：，则，且，解得；
所以，又，
即，解得；
所以，.
（2）令，则，
因为，则，
可得，解得，
且，则，
所以第月是该地区的旅游旺季.
21．已知向量，，令．
(1)求函数的对称轴方程；
(2)设，当时，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积、差角公式、余弦函数的图象与性质运算即可得解.
（2）利用二倍角公式、二次函数的图象与性质分类讨论运算即可得解.
【详解】（1）解：∵，，
∴
，
由，解得：，
∴函数的对称轴方程为：，.
（2）解：函数，
∵
，
∴令，
∵，则，，
∴.
则，
对称轴为.
当即时，函数在处取得最小值为．
当即时，函数在处取得最小值为.
当即时，函数在处取得最小值为．
∴.
22．已知函数
(1)若，证明：；
(2)若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数的取值集合；
(3)设，若函数有两个极值点，且，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数，并利用导数去证明即可解决；
（2）先分别写出与切线方程，再构造函数，利用导数求其只有一个零点时实数的取值即可解决；
（3）构造函数，并利用导数去证明即可解决
【详解】（1）时，，即
令，则
当x变化时，，变化情况如下表
则是唯一的极值点且是极小值点，所以.
故
（2）令在的切线方程与在，处的切线方程重合
与切线方程分别为.
有且仅有一解，则，故，
代入第二个方程得：，
记，则，
时单调递减；时单调递增，
，
当时，即，且，
则，
若有唯一解，则，易得，
综上，实数的取值集合为；
（3），
，
当，即时，函数单调增，无极值点.
当，即时，由得：两根，又，
当时，只有一根，不合题意，舍去，
当时，有两个极值点，且，
，
要证，即证，
只需证，
令，则，
在上单调递增，故，
，即原不等式得证.
1
0
极小0